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Exercices – Chapitre 2

Fonctions d'une variable réelle  |  BTS — Tous groupements

Compétences travaillées :
Niveau 1 — Vérifier les bases
1Domaines de définition

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \dfrac{x+3}{x^2 - 4}\)
  2. \(g(x) = \sqrt{5 - 2x}\)
  3. \(h(x) = \ln(3x + 6)\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} + \ln(4-x)\)

a) Dénominateur : \(x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).

\(\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}\).

b) Condition : \(5 - 2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{5}{2}\).

\(\mathcal{D}_g = \left]-\infty\,;\,\frac{5}{2}\right]\).

c) Condition : \(3x + 6 > 0 \Leftrightarrow x > -2\).

\(\mathcal{D}_h = \left]-2\,;\,+\infty\right[\).

d) Racine au dénominateur : \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\). Logarithme : \(4 - x > 0 \Leftrightarrow x < 4\).

\(\mathcal{D}_k = \left]1\,;\,4\right[\).

2Parité de fonctions

Pour chaque fonction, dire si elle est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre. Justifier.

  1. \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\)
  2. \(g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\)
  3. \(h(x) = e^x + e^{-x}\)
  4. \(k(x) = x^3 + x + 2\)

a) \(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\). La fonction est paire.

b) \(g(-x) = \dfrac{-x}{(-x)^2+1} = \dfrac{-x}{x^2+1} = -g(x)\). La fonction est impaire.

c) \(h(-x) = e^{-x} + e^{x} = h(x)\). La fonction est paire. (C'est \(2\cosh x\).)

d) \(k(-x) = -x^3 - x + 2\). On a \(k(-x) \neq k(x)\) (car \(\neq x^3+x+2\)) et \(k(-x) \neq -k(x)\) (car \(-k(x) = -x^3 - x - 2 \neq k(-x)\)). Ni paire ni impaire.

3Calculs de limites directes

Calculer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - 2x}{3x^3 + 1}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2e^{-x} + 3)\)
  4. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(\ln x + x^2\right)\)

a) On factorise par \(x^3\) : \(\dfrac{5 - \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{1}{x^3}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \dfrac{5}{3}\).

b) Quand \(x \to 3^+\) : numérateur \(\to 4 > 0\) ; dénominateur \(\to 0^+\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = +\infty\).

c) \(e^{-x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\), donc la limite est \(0 + 3 = 3\).

d) \(\ln x \to -\infty\) et \(x^2 \to 0\) quand \(x \to 0^+\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (\ln x + x^2) = -\infty\).

4Dérivées — Fonctions simples

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7\)
  2. \(g(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}\)
  3. \(h(x) = (x^2+1)\,e^x\)
  4. \(k(x) = 5\ln x - \dfrac{1}{x}\)

a) \(f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5\).

b) Quotient : \(g'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}\).

c) Produit : \(h'(x) = 2x\,e^x + (x^2+1)\,e^x = e^x(x^2 + 2x + 1) = e^x(x+1)^2\).

d) \(k'(x) = \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{5x + 1}{x^2}\) pour \(x > 0\).

Niveau 2 — Appliquer le cours
5Formes indéterminées et croissances comparées

Calculer les limites suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{2x^2 + x - 5}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3\,e^{-2x}\)
  4. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln x\)

a) Forme \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) :

\(\dfrac{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \dfrac{1}{2}\).

b) Forme \(\infty - \infty\). On multiplie par l'expression conjuguée :

\(\sqrt{x^2+3x} - x = \dfrac{(x^2+3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\).

On factorise par \(x\) (\(x > 0\)) : \(\dfrac{3x}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)} = \dfrac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \dfrac{3}{2}\).

c) Forme \(\infty \times 0\). On écrit \(x^3\,e^{-2x} = \dfrac{x^3}{e^{2x}}\). On pose \(X = 2x\), alors \(x = \frac{X}{2}\) et \(\dfrac{x^3}{e^{2x}} = \dfrac{X^3}{8\,e^X}\). Par croissances comparées, \(\dfrac{X^3}{e^X} \to 0\), donc la limite est \(\boxed{0}\).

d) Forme \(0 \times (-\infty)\). On pose \(t = \frac{1}{x}\) (\(t \to +\infty\)) : \(x\,\ln x = \frac{1}{t}\,\ln\frac{1}{t} = -\frac{\ln t}{t}\). Par croissances comparées, \(\frac{\ln t}{t} \to 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\,\ln x = \boxed{0}\).

6Dérivées de fonctions composées

Calculer la dérivée des fonctions suivantes (préciser le domaine) :

  1. \(f(x) = e^{2x^2 - 3x}\)
  2. \(g(x) = \ln(x^2 + 2x + 5)\)
  3. \(h(x) = \sqrt{3x^2 - 12}\)
  4. \(k(x) = (2x-1)^5\)

a) \(u(x) = 2x^2 - 3x\), \(u'(x) = 4x - 3\).

\(f'(x) = (4x-3)\,e^{2x^2-3x}\), définie sur \(\mathbb{R}\).

b) \(u(x) = x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 > 0\) pour tout \(x\), donc \(\mathcal{D}_g = \mathbb{R}\).

\(g'(x) = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+5}\).

c) \(u(x) = 3x^2 - 12\). Condition : \(3x^2 - 12 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 4 \Leftrightarrow x \in ]-\infty;-2[\,\cup\,]2;+\infty[\).

\(h'(x) = \dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2-12}} = \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2-12}}\).

d) \(k'(x) = 5 \times 2 \times (2x-1)^4 = 10\,(2x-1)^4\), définie sur \(\mathbb{R}\).

7Application du TVI

Soit \(f(x) = x + e^{-x} - 2\).

  1. Calculer \(f(0)\) et \(f(3)\).
  2. Montrer que \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0\,;\,3]\).
  3. En déduire que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;\,3]\).
  4. Encadrer \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près.

1. \(f(0) = 0 + 1 - 2 = -1 < 0\). \(f(3) = 3 + e^{-3} - 2 \approx 1{,}05 > 0\).

2. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (somme de fonctions continues). Dérivée : \(f'(x) = 1 - e^{-x}\). Pour \(x > 0\), \(e^{-x} < 1\), donc \(f'(x) > 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. \(f(0) < 0 < f(3)\). Par le TVI (corollaire, car \(f\) continue et strictement croissante), l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [0\,;\,3]\).

4. Dichotomie : \(f(1) = 1 + e^{-1} - 2 \approx -0{,}632 < 0\), \(f(1{,}8) \approx 1{,}8 + e^{-1{,}8} - 2 \approx -0{,}035 < 0\), \(f(1{,}9) \approx 1{,}9 + e^{-1{,}9} - 2 \approx 0{,}050 > 0\).

Donc \(\boxed{1{,}8 < \alpha < 1{,}9}\).

8Équations logarithmiques et exponentielles

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

  1. \(e^{2x-1} = 7\)
  2. \(\ln(x-1) + \ln(x+3) = \ln 5\)
  3. \(3^x = 20\) (écrire \(x\) en fonction de \(\ln\))
  4. \(e^{2x} - 5\,e^x + 6 = 0\)

a) \(2x - 1 = \ln 7\), soit \(x = \dfrac{1+\ln 7}{2} \approx 1{,}47\).

b) Conditions : \(x > 1\) et \(x > -3\), soit \(x > 1\).

\(\ln\big[(x-1)(x+3)\big] = \ln 5\), donc \((x-1)(x+3) = 5\).

\(x^2 + 2x - 3 = 5 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 8 = 0\).

\(\Delta = 4 + 32 = 36\). \(x = \dfrac{-2 \pm 6}{2}\), soit \(x = 2\) ou \(x = -4\).

Condition \(x > 1\) : seul \(\boxed{x = 2}\) convient.

c) \(3^x = e^{x\ln 3}\), donc \(e^{x\ln 3} = 20\), soit \(x\ln 3 = \ln 20\).

\(x = \dfrac{\ln 20}{\ln 3} \approx 2{,}73\).

d) On pose \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 5X + 6 = 0\).

\(\Delta = 25 - 24 = 1\). \(X = \dfrac{5 \pm 1}{2}\), soit \(X = 3\) ou \(X = 2\).

\(e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3\) ; \(e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2\).

\(\mathcal{S} = \{\ln 2\,;\,\ln 3\}\).

Niveau 3 — Approfondir
9Étude complète — Fonction rationnelle

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\).

  1. Déterminer \(\mathcal{D}_f\) et étudier la parité de \(f\).
  2. Calculer les limites en \(\pm\infty\). En déduire l'existence d'une asymptote.
  3. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations.
  4. Déterminer \(f(0)\), les zéros de \(f\), et préciser l'image de \(f\).

1. \(x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\), donc \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\).

\(f(-x) = \dfrac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = f(x)\) : \(f\) est paire. On étudie sur \([0\,;\,+\infty[\).

2. \(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = \lim \frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} = 1\). Asymptote horizontale \(y = 1\) en \(\pm\infty\).

3. \(f'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x\big[(x^2+1)-(x^2-1)\big]}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\).

Signe : \(f'(x)\) est du signe de \(x\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).

Minimum en \(x=0\) : \(f(0) = -1\).

4. Zéros : \(x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Minimum \(f(0) = -1\), asymptote \(y = 1\) (non atteinte). Image : \(f(\mathbb{R}) = [-1\,;\,1[\).

\(x\)\(-\infty\)\(0\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)\(-\)\(0\)\(+\)
\(f(x)\)\(1\)\(\searrow\)\(-1\)\(\nearrow\)\(1\)
10Étude complète — Fonction avec exponentielle

Soit \(f(x) = (2x - 1)\,e^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  4. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\).
  5. Tracer l'allure de la courbe.

1.

  • En \(+\infty\) : \(f(x) = \dfrac{2x-1}{e^x}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^+\). Asymptote horizontale \(y = 0\).
  • En \(-\infty\) : \(2x - 1 \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

2. Produit : \(f'(x) = 2\,e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}\big[2 - (2x-1)\big] = e^{-x}(3-2x)\).

Comme \(e^{-x} > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(3 - 2x\).

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\). \(f'(x) > 0\) si \(x < \frac{3}{2}\), \(f'(x) < 0\) si \(x > \frac{3}{2}\).

3. Maximum en \(x = \frac{3}{2}\) : \(f\!\left(\frac{3}{2}\right) = (3-1)\,e^{-3/2} = 2\,e^{-3/2} \approx 0{,}45\).

\(x\)\(-\infty\)\(\frac{3}{2}\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)
\(f(x)\)\(-\infty\)\(\nearrow\)\(2e^{-3/2}\)\(\searrow\)\(0\)

4. \(f(0) = -1 \times 1 = -1\). \(f'(0) = e^0 \times 3 = 3\).

Tangente en \(x = 0\) : \(y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 3x - 1\).

5. Allure : la courbe vient de \(-\infty\), passe par \((0;-1)\) avec une pente \(3\), atteint un maximum en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,2e^{-3/2}\right)\), puis redescend vers l'asymptote \(y = 0\).

11Refroidissement d'un bâtiment

Un local industriel isolé est initialement à \(24\,°\text{C}\). Le chauffage est coupé alors que la température extérieure est de \(4\,°\text{C}\). On modélise la température intérieure par :

\[T(t) = 4 + 20\,e^{-0{,}08\,t}\]

où \(t\) est en heures.

  1. Vérifier que \(T(0) = 24\,°\text{C}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} T(t)\) et interpréter.
  2. Calculer \(T'(t)\). Quel est le signe de \(T'\) ? Interpréter.
  3. Au bout de combien de temps la température passe-t-elle sous \(15\,°\text{C}\) ?
  4. Calculer la vitesse de refroidissement (en °C/h) à \(t = 0\) et à \(t = 10\,\text{h}\).

1. \(T(0) = 4 + 20\,e^0 = 4 + 20 = 24\,°\text{C}\). Correct.

\(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} T(t) = 4 + 20 \times 0 = 4\,°\text{C}\). La température tend vers la température extérieure : le local finit par se mettre en équilibre thermique avec l'extérieur.

2. \(T'(t) = 20 \times (-0{,}08)\,e^{-0{,}08\,t} = -1{,}6\,e^{-0{,}08\,t}\).

\(T'(t) < 0\) pour tout \(t\) : la température est strictement décroissante, le local se refroidit en permanence.

3. \(T(t) = 15 \Leftrightarrow 4 + 20\,e^{-0{,}08\,t} = 15 \Leftrightarrow e^{-0{,}08\,t} = \dfrac{11}{20}\).

\(-0{,}08\,t = \ln\!\left(\dfrac{11}{20}\right) \Rightarrow t = \dfrac{-\ln(11/20)}{0{,}08} = \dfrac{\ln(20/11)}{0{,}08} \approx \dfrac{0{,}598}{0{,}08} \approx 7{,}5\,\text{h}\).

La température passe sous \(15\,°\text{C}\) au bout d'environ 7 h 30 min.

4.

  • \(T'(0) = -1{,}6\,e^0 = -1{,}6\,°\text{C/h}\) : le local se refroidit de \(1{,}6\,°\text{C}\) par heure au début.
  • \(T'(10) = -1{,}6\,e^{-0{,}8} \approx -0{,}72\,°\text{C/h}\) : le refroidissement a ralenti.

Plus l'écart avec la température extérieure diminue, plus le refroidissement est lent.

12Développements limités — Calculs

Déterminer le développement limité à l'ordre indiqué, au voisinage de \(0\) :

  1. \(f(x) = e^{2x}\) à l'ordre 3
  2. \(g(x) = \ln(1 + 3x)\) à l'ordre 3
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\) à l'ordre 4

a) On utilise le DL de \(e^u\) avec \(u = 2x\) :

\(e^{2x} = 1 + 2x + \dfrac{(2x)^2}{2} + \dfrac{(2x)^3}{6} + x^3\,\varepsilon(x) = \boxed{1 + 2x + 2x^2 + \dfrac{4x^3}{3} + x^3\,\varepsilon(x)}\).

b) On utilise le DL de \(\ln(1+u)\) avec \(u = 3x\) :

\(\ln(1+3x) = 3x - \dfrac{(3x)^2}{2} + \dfrac{(3x)^3}{3} + x^3\,\varepsilon(x) = \boxed{3x - \dfrac{9x^2}{2} + 9x^3 + x^3\,\varepsilon(x)}\).

c) On utilise \(\dfrac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots\) avec \(u = -x^2\) :

\(\dfrac{1}{1+x^2} = 1 + (-x^2) + (-x^2)^2 + x^4\,\varepsilon(x) = \boxed{1 - x^2 + x^4 + x^4\,\varepsilon(x)}\).

13DL — Tangente et position de la courbe

Soit \(f(x) = \ln(1+x)\).

  1. Écrire le DL de \(f\) à l'ordre 2 en \(0\).
  2. En déduire l'équation de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\).
  3. Étudier le signe de \(f(x) - y_{\mathcal{T}}(x)\) au voisinage de \(0\). La courbe est-elle au-dessus ou en dessous de sa tangente ?
  4. Vérifier graphiquement à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel.

1. DL d'ordre 2 : \(\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x)\).

2. La partie d'ordre 1 est \(x\). Donc la tangente est \(\mathcal{T} : y = x\).

(On vérifie : \(f(0) = \ln 1 = 0\), \(f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1\), d'où \(y = 0 + 1 \cdot x = x\).) ✓

3. \(f(x) - y_{\mathcal{T}}(x) = \ln(1+x) - x = -\dfrac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x) \approx -\dfrac{x^2}{2}\) au voisinage de \(0\).

Comme \(-\dfrac{x^2}{2} < 0\) pour \(x \neq 0\), la courbe de \(\ln(1+x)\) est en dessous de sa tangente au voisinage de \(0\).

Cela traduit la concavité de \(\ln(1+x)\) (\(f''(0) = -1 < 0\)).

4. La vérification graphique confirme : la courbe de \(\ln(1+x)\) passe sous la droite \(y = x\) de part et d'autre de \(0\).

14DL — Comparaison d'approximations (contexte BTS)

Un technicien en énergie utilise la formule \(P(x) = e^{-0{,}1x}\) pour modéliser la perte de puissance (en proportion) d'un signal dans un câble de longueur \(x\) mètres.

  1. Écrire le DL d'ordre 2 de \(e^{-0{,}1x}\) en \(x = 0\).
  2. Pour \(x = 2\,\text{m}\), comparer la valeur exacte \(P(2)\) avec l'approximation d'ordre 1 (\(P_1\)) et d'ordre 2 (\(P_2\)).
  3. Pour quelle longueur maximale l'approximation d'ordre 1 donne-t-elle une erreur inférieure à \(1\,\%\) ?

1. On pose \(u = -0{,}1x\). DL de \(e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \cdots\) :

\(e^{-0{,}1x} = 1 - 0{,}1x + \dfrac{(-0{,}1x)^2}{2} + \cdots = 1 - 0{,}1x + 0{,}005x^2 + x^2\,\varepsilon(x)\).

2. Pour \(x = 2\) :

  • Valeur exacte : \(P(2) = e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187\)
  • Ordre 1 : \(P_1(2) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8000\). Erreur : \(\frac{|0{,}8187 - 0{,}8000|}{0{,}8187} \approx 2{,}3\,\%\)
  • Ordre 2 : \(P_2(2) = 1 - 0{,}2 + 0{,}02 = 0{,}8200\). Erreur : \(\frac{|0{,}8187 - 0{,}8200|}{0{,}8187} \approx 0{,}16\,\%\)

L'approximation d'ordre 2 est nettement meilleure.

3. L'erreur de l'approximation d'ordre 1 est environ \(\frac{|0{,}005x^2|}{e^{-0{,}1x}} \approx 0{,}005x^2\) pour \(x\) petit.

Condition : \(0{,}005x^2 < 0{,}01\), soit \(x^2 < 2\), donc \(x < \sqrt{2} \approx 1{,}4\,\text{m}\).

L'approximation d'ordre 1 est fiable (erreur \(< 1\,\%\)) pour des câbles de longueur inférieure à environ 1,4 m.

15Courbe paramétrée — Tracé et vecteur tangent

On considère la courbe paramétrée :

\[\begin{cases} x(t) = t^2 - 1 \\ y(t) = 2t \end{cases} \qquad t \in [-2\,;\,2]\]

  1. Compléter le tableau de valeurs pour \(t = -2,\,-1,\,0,\,1,\,2\).
  2. Calculer le vecteur tangent \(\vec{V}(t)\). Existe-t-il un point singulier ?
  3. Déterminer l'équation de la tangente au point correspondant à \(t = 1\).
  4. Montrer que cette courbe est une parabole en éliminant le paramètre.
  5. Tracer la courbe dans un repère.

1. Tableau de valeurs :

\(t\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(x\)\(3\)\(0\)\(-1\)\(0\)\(3\)
\(y\)\(-4\)\(-2\)\(0\)\(2\)\(4\)

2. \(x'(t) = 2t\), \(y'(t) = 2\). Vecteur tangent : \(\vec{V}(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 2 \end{pmatrix}\).

Point singulier si \(x'(t) = 0\) et \(y'(t) = 0\) simultanément. Ici \(y'(t) = 2 \neq 0\) toujours : pas de point singulier.

En \(t = 0\) : \(\vec{V}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\), tangente verticale.

3. En \(t = 1\) : \(M(1) = (0\,;\,2)\), \(\vec{V}(1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Pente : \(p = \frac{2}{2} = 1\). Tangente : \(y - 2 = 1 \cdot (x - 0)\), soit \(\boxed{y = x + 2}\).

4. De \(y = 2t\), on tire \(t = \frac{y}{2}\). Substitution dans \(x\) : \(x = \left(\frac{y}{2}\right)^2 - 1 = \frac{y^2}{4} - 1\).

Soit \(x + 1 = \frac{y^2}{4}\), c'est-à-dire \(y^2 = 4(x+1)\). C'est une parabole de sommet \((-1\,;\,0)\), d'axe horizontal.

5. La courbe est une parabole « couchée » ouverte vers la droite, passant par \((-1;0)\), \((0;\pm 2)\), \((3;\pm 4)\).

16Courbe paramétrée — Tableau de variation conjoint

On considère la courbe paramétrée :

\[\begin{cases} x(t) = t^2 - 4t \\ y(t) = t^2 - 2t \end{cases} \qquad t \in [0\,;\,5]\]

  1. Calculer \(x'(t)\) et \(y'(t)\). Déterminer les valeurs de \(t\) où chaque dérivée s'annule.
  2. Construire le tableau de variation conjoint sur \([0\,;\,5]\).
  3. Calculer les coordonnées des points clés : \(t = 0, 1, 2, 3, 5\).
  4. Déterminer le vecteur tangent en \(t = 2\). Que se passe-t-il en ce point ?
  5. Tracer la courbe.

1. \(x'(t) = 2t - 4\), s'annule pour \(t = 2\). \(y'(t) = 2t - 2\), s'annule pour \(t = 1\).

2. Tableau de variation conjoint :

\(t\)\(0\)\(1\)\(2\)\(5\)
\(x'(t)\)\(-\)\(-\)\(0\)\(+\)
\(x(t)\)\(0\)\(\searrow\)\(-3\)\(\searrow\)\(-4\)\(\nearrow\)\(5\)
\(y'(t)\)\(-\)\(0\)\(+\)\(+\)
\(y(t)\)\(0\)\(\searrow\)\(-1\)\(\nearrow\)\(0\)\(\nearrow\)\(15\)

3. Points clés :

\(t\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(5\)
\(x\)\(0\)\(-3\)\(-4\)\(-3\)\(5\)
\(y\)\(0\)\(-1\)\(0\)\(3\)\(15\)

4. En \(t = 2\) : \(\vec{V}(2) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Le vecteur tangent est vertical.

Le point \((-4\,;\,0)\) est un point à tangente verticale (c'est le point le plus à gauche de la courbe, où \(x\) atteint son minimum).

5. La courbe part de \((0;0)\), descend vers la gauche jusqu'à \((-3;-1)\) en \(t=1\), continue à gauche mais remonte pour atteindre \((-4;0)\) en \(t=2\) (tangente verticale), puis repart vers la droite et vers le haut, passant par \((-3;3)\) en \(t=3\) et \((5;15)\) en \(t=5\).

On note que la courbe repasse par \(x = -3\) pour \(t = 1\) et \(t = 3\) : elle se « replie ».

17Courbe paramétrée — Trajectoire en charpente (contexte BTS)

Un élément de charpente est soulevé par une grue. Sa trajectoire est modélisée par :

\[\begin{cases} x(t) = 3t \\ y(t) = -2t^2 + 8t \end{cases} \qquad t \in [0\,;\,4]\]

où \(x\) et \(y\) sont en mètres et \(t\) en secondes.

  1. Calculer les coordonnées du point de départ (\(t=0\)) et du point d'arrivée (\(t=4\)).
  2. Déterminer le vecteur tangent \(\vec{V}(t)\). Calculer \(\vec{V}(0)\) et \(\vec{V}(4)\).
  3. Pour quelle valeur de \(t\) la hauteur \(y\) est-elle maximale ? Quelles sont les coordonnées du point le plus haut ?
  4. Montrer que la trajectoire est une parabole et donner son équation cartésienne.

1. Départ : \(M(0) = (0\,;\,0)\). Arrivée : \(M(4) = (12\,;\,0)\). L'élément part du sol et revient au sol.

2. \(x'(t) = 3\), \(y'(t) = -4t + 8\). Vecteur tangent : \(\vec{V}(t) = \begin{pmatrix} 3 \\ -4t + 8 \end{pmatrix}\).

  • \(\vec{V}(0) = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}\) : la trajectoire part vers la droite et vers le haut (pente \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\)).
  • \(\vec{V}(4) = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix}\) : la trajectoire arrive vers la droite et vers le bas (pente \(\frac{-8}{3}\)).

3. \(y'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\). Pour \(t < 2\), \(y'(t) > 0\) (montée) ; pour \(t > 2\), \(y'(t) < 0\) (descente).

Point le plus haut : \(M(2) = (6\,;\,8)\). La hauteur maximale est 8 m, atteinte à \(x = 6\,\text{m}\) horizontalement.

4. De \(x = 3t\), on tire \(t = \frac{x}{3}\). Substitution :

\(y = -2\left(\frac{x}{3}\right)^2 + 8 \cdot \frac{x}{3} = -\frac{2x^2}{9} + \frac{8x}{3}\).

Soit \(\boxed{y = -\dfrac{2x^2}{9} + \dfrac{8x}{3}}\). C'est une parabole de sommet \((6\,;\,8)\), ouverte vers le bas.

Niveau 4 — Expert / Synthèse
18Étude complète avec logarithme

Soit \(f(x) = x - \ln x\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\).

  1. Calculer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
  2. Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations.
  3. En déduire le minimum de \(f\) et montrer que \(f(x) \geq 1\) pour tout \(x > 0\).
  4. Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(x - \ln x = 3\).

1.

  • En \(0^+\) : \(x \to 0\) et \(-\ln x \to +\infty\), donc \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\).
  • En \(+\infty\) : \(f(x) = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)\). Par croissances comparées, \(\frac{\ln x}{x} \to 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\).

Pour \(x > 0\) : \(f'(x) < 0\) si \(0 < x < 1\), \(f'(x) = 0\) si \(x = 1\), \(f'(x) > 0\) si \(x > 1\).

\(x\)\(0\)\(1\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)\(-\)\(0\)\(+\)
\(f(x)\)\(+\infty\)\(\searrow\)\(1\)\(\nearrow\)\(+\infty\)

3. Minimum : \(f(1) = 1 - \ln 1 = 1\). La fonction atteint son minimum en \(x = 1\), et ce minimum vaut \(1\). Donc \(f(x) \geq 1\) pour tout \(x > 0\).

Remarque : l'inégalité \(x - \ln x \geq 1\) est équivalente à \(\ln x \leq x - 1\), inégalité classique.

4. L'équation \(f(x) = 3\) revient à chercher l'intersection de la courbe avec la droite \(y = 3\). Comme \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(1\) sur \(]0;1]\) puis croît de \(1\) à \(+\infty\) sur \([1;+\infty[\), et que \(3 > 1\), la droite \(y = 3\) coupe la courbe en exactement deux points (un sur chaque branche, par le TVI).

19Optimisation — Coût de fabrication

Une entreprise de charpente bois produit \(x\) lots de pièces par jour (\(x \in [1\,;\,12]\)). Le coût total de production (en euros) est modélisé par :

\[C(x) = x^3 - 12x^2 + 48x + 100\]

  1. Calculer le coût moyen par lot : \(\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}\).
  2. Montrer que \(\bar{C}'(x) = \dfrac{2x^3 - 12x^2 - 100}{x^2}\).
  3. Soit \(g(x) = 2x^3 - 12x^2 - 100\). Montrer que \(g\) admet un unique zéro \(x_0\) dans \([1\,;\,12]\) et que \(x_0 \in [7\,;\,8]\).
  4. En déduire les variations de \(\bar{C}\) et le nombre optimal de lots à produire.
  5. Calculer le coût moyen minimal (à l'euro près).

1. \(\bar{C}(x) = x^2 - 12x + 48 + \dfrac{100}{x}\).

2. \(\bar{C}'(x) = 2x - 12 - \dfrac{100}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 12x^2 - 100}{x^2}\).

3. \(g(x) = 2x^3 - 12x^2 - 100\). \(g'(x) = 6x^2 - 24x = 6x(x-4)\).

Pour \(x \geq 4\) : \(g'(x) \geq 0\), \(g\) croissante.

\(g(8) = 2(512) - 12(64) - 100 = 1024 - 768 - 100 = 156 > 0\).

Correction : recalculons. \(g(8) = 2 \times 512 - 12 \times 64 - 100 = 1024 - 768 - 100 = 156 > 0\).

\(g(7) = 2 \times 343 - 12 \times 49 - 100 = 686 - 588 - 100 = -2 < 0\).

\(g(1) = 2 - 12 - 100 = -110 < 0\). Aussi \(g(4) = 128 - 192 - 100 = -164 < 0\).

\(g\) est décroissante sur \([1;4]\) et croissante sur \([4;12]\). Son minimum est \(g(4) = -164 < 0\) et \(g(12) = 2(1728) - 12(144) - 100 = 3456 - 1728 - 100 = 1628 > 0\).

Donc \(g\) change de signe une seule fois sur \([4;12]\), entre \(7\) et \(8\) : \(g(7) = -2 < 0\) et \(g(8) = 156 > 0\).

Unique zéro \(x_0 \in [7\,;\,8]\) (et non \([8;9]\), rectification). Plus précisément, \(x_0 \approx 7{,}01\).

4. \(\bar{C}'(x)\) est du signe de \(g(x)\) : négatif pour \(x < x_0\), positif pour \(x > x_0\). Donc \(\bar{C}\) décroît sur \([1\,;\,x_0]\) et croît sur \([x_0\,;\,12]\). Minimum en \(x_0 \approx 7\).

Le nombre optimal de lots est environ 7 lots par jour.

5. \(\bar{C}(7) = 49 - 84 + 48 + \frac{100}{7} \approx 49 - 84 + 48 + 14{,}29 \approx 27{,}29\,€\) par lot.

Le coût moyen minimal est d'environ 27 euros par lot.

20Dépréciation et amortissement

Un compresseur d'air pour chantier est acheté \(18\,000\,€\). Sa valeur résiduelle après \(t\) années est modélisée par :

\[V(t) = 18\,000\,e^{-0{,}2\,t}\]

  1. Justifier que \(V\) est décroissante. Calculer \(V(5)\) et \(V(10)\).
  2. Déterminer la demi-vie de la valeur (temps pour perdre la moitié de la valeur initiale).
  3. L'entreprise décide de revendre le compresseur quand sa valeur passe sous \(3\,000\,€\). Après combien d'années cela se produit-il ?
  4. On définit le taux de dépréciation instantané par \(\dfrac{V'(t)}{V(t)}\). Calculer ce taux et commenter.

1. \(V'(t) = 18\,000 \times (-0{,}2)\,e^{-0{,}2t} = -3\,600\,e^{-0{,}2t} < 0\). \(V\) est bien décroissante.

  • \(V(5) = 18\,000\,e^{-1} \approx 6\,621\,€\)
  • \(V(10) = 18\,000\,e^{-2} \approx 2\,436\,€\)

2. \(V(t) = \frac{18\,000}{2} = 9\,000 \Leftrightarrow e^{-0{,}2t} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow -0{,}2t = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2\).

\(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{0{,}2} = 5\ln 2 \approx 3{,}47\,\text{ans}\), soit environ 3 ans et 6 mois.

3. \(V(t) = 3\,000 \Leftrightarrow e^{-0{,}2t} = \frac{3\,000}{18\,000} = \frac{1}{6}\).

\(-0{,}2t = \ln\frac{1}{6} = -\ln 6 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 6}{0{,}2} = 5\ln 6 \approx 8{,}96\,\text{ans}\).

Le compresseur passe sous \(3\,000\,€\) au bout d'environ 9 ans.

4. \(\dfrac{V'(t)}{V(t)} = \dfrac{-3\,600\,e^{-0{,}2t}}{18\,000\,e^{-0{,}2t}} = \dfrac{-3\,600}{18\,000} = -0{,}2 = -20\,\%\).

Le taux de dépréciation instantané est constant et égal à \(-20\,\%\) par an. C'est la caractéristique du modèle exponentiel : le taux relatif de variation est constant.

21Problème de synthèse — Ventilation et concentration de CO₂

Dans un atelier de menuiserie, la concentration en CO₂ (en ppm au-dessus du niveau extérieur) suit, après mise en marche de la ventilation mécanique, la loi :

\[c(t) = 800\,e^{-0{,}3t} + 200\left(1 - e^{-0{,}3t}\right)\]

où \(t\) est en heures. Le premier terme représente la décroissance du CO₂ initial, le second l'apport par les occupants (équilibre à 200 ppm).

  1. Simplifier \(c(t)\) sous la forme \(c(t) = A\,e^{-0{,}3t} + B\).
  2. Calculer \(c(0)\) et \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} c(t)\). Interpréter physiquement.
  3. Calculer \(c'(t)\) et montrer que \(c\) est strictement décroissante.
  4. La norme impose une concentration inférieure à \(400\,\text{ppm}\). Au bout de combien de temps la norme est-elle respectée ?
  5. Représenter graphiquement \(c(t)\) et la droite \(y = 400\). Vérifier la cohérence.

1. \(c(t) = 800\,e^{-0{,}3t} + 200 - 200\,e^{-0{,}3t} = 600\,e^{-0{,}3t} + 200\).

Donc \(A = 600\) et \(B = 200\).

2. \(c(0) = 600 \times 1 + 200 = 800\,\text{ppm}\) : concentration initiale avant ventilation.

\(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} c(t) = 600 \times 0 + 200 = 200\,\text{ppm}\) : concentration d'équilibre atteinte quand la ventilation compense exactement les apports des occupants.

3. \(c'(t) = 600 \times (-0{,}3)\,e^{-0{,}3t} = -180\,e^{-0{,}3t}\).

Comme \(e^{-0{,}3t} > 0\), on a \(c'(t) < 0\) pour tout \(t\) : \(c\) est strictement décroissante.

4. \(c(t) = 400 \Leftrightarrow 600\,e^{-0{,}3t} + 200 = 400 \Leftrightarrow e^{-0{,}3t} = \dfrac{200}{600} = \dfrac{1}{3}\).

\(-0{,}3t = \ln\dfrac{1}{3} = -\ln 3 \Rightarrow t = \dfrac{\ln 3}{0{,}3} \approx \dfrac{1{,}099}{0{,}3} \approx 3{,}66\,\text{h}\).

La norme est respectée au bout d'environ 3 h 40 min.

5. Voir le graphique ci-dessous.