Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Déterminer le domaine de définition de \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\).
Le dénominateur doit être non nul : \(x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3\).
\(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{3\} = \,]{-\infty}\,;\,3[\,\cup\,]3\,;\,+\infty[\).
Déterminer le domaine de définition de \(g(x) = \sqrt{x - 4}\).
L'expression sous la racine doit être positive ou nulle : \(x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4\).
\(\mathcal{D}_g = [4\,;\,+\infty[\).
Déterminer le domaine de définition de \(h(x) = \ln(5 - x) + \dfrac{1}{x}\).
Deux conditions :
Intersection : \(\mathcal{D}_h = \,]{-\infty}\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,5[\).
Étudier la parité des fonctions suivantes (définies sur \(\mathbb{R}\)) :
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}\).
Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) :
\(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5} = \dfrac{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \dfrac{4}{2} = 2\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x + 7}{x^2 - 1}\).
Degré du dénominateur (2) supérieur à celui du numérateur (1). Terme dominant : \(\dfrac{3x}{x^2} = \dfrac{3}{x}\).
\(\dfrac{3x + 7}{x^2 - 1} = \dfrac{x(3 + \frac{7}{x})}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \dfrac{3 + \frac{7}{x}}{x(1 - \frac{1}{x^2})} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0\).
La limite est \(0\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\,e^{-x}\) (croissances comparées).
Forme indéterminée \(\infty\times 0\). On écrit \(x^2\,e^{-x} = \dfrac{x^2}{e^x}\).
Par croissances comparées, \(e^x\) l'emporte sur toute puissance : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{e^x} = 0\).
Donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2\,e^{-x} = 0\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}\) puis \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x\).
Par croissances comparées, toute puissance de \(x\) l'emporte sur \(\ln x\) :
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\).
D'autre part, par limite de référence : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty\).
Soit \(f(x) = \dfrac{2x - 6}{x - 3}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\) et déterminer l'asymptote horizontale.
Pour \(x \neq 3\), on peut factoriser : \(\dfrac{2x - 6}{x - 3} = \dfrac{2(x - 3)}{x - 3} = 2\).
La fonction est donc constante égale à \(2\) sur son domaine, donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2\).
La courbe admet l'asymptote horizontale \(y = 2\).
Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\), définie et continue sur \(\mathbb{R}\). Calculer \(f(1)\) et \(f(2)\), puis justifier que l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution dans \([1\,;\,2]\).
\(f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 \lt 0\) et \(f(2) = 8 + 2 - 3 = 7 \gt 0\).
\(f\) est continue sur \([1\,;\,2]\) et \(0\) est compris entre \(f(1) = -1\) et \(f(2) = 7\). D'après le TVI, il existe \(c \in [1\,;\,2]\) tel que \(f(c) = 0\).
Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\). Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), puis en déduire que la solution de \(f(x) = 0\) dans \([1\,;\,2]\) est unique.
\(f'(x) = 3x^2 + 1\). Pour tout réel \(x\), \(3x^2 \geq 0\) donc \(f'(x) \geq 1 \gt 0\).
\(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Continue et strictement monotone sur \([1\,;\,2]\), avec \(0\) compris entre \(f(1)\) et \(f(2)\) : par le corollaire du TVI, la solution est unique.
On reprend \(f(x) = x^3 + x - 3\). Par balayage, on dispose des valeurs ci-dessous. En déduire un encadrement de la solution \(c\) de \(f(x) = 0\) à \(10^{-1}\) près.
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1,1 | \(-0{,}569\) |
| 1,2 | \(-0{,}072\) |
| 1,3 | \(+0{,}497\) |
\(f\) change de signe entre \(x = 1{,}2\) (\(f \lt 0\)) et \(x = 1{,}3\) (\(f \gt 0\)).
Comme \(f\) est strictement croissante, la solution vérifie \(1{,}2 \lt c \lt 1{,}3\).
Un encadrement à \(10^{-1}\) près est \(c \approx 1{,}2\) (la valeur exacte est \(c \approx 1{,}213\)).
Soit \(g(x) = e^x + x - 2\), continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Montrer que l'équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution sur \([0\,;\,1]\).
\(g(0) = e^0 + 0 - 2 = 1 - 2 = -1 \lt 0\).
\(g(1) = e + 1 - 2 = e - 1 \approx 1{,}718 \gt 0\).
\(g\) est continue et strictement croissante sur \([0\,;\,1]\), et \(0\) est compris entre \(g(0)\) et \(g(1)\). Par le corollaire du TVI, l'équation admet une unique solution sur \([0\,;\,1]\).
Dériver les fonctions suivantes :
Dériver \(f(x) = (3x - 1)\,e^x\) à l'aide de la règle du produit.
On pose \(u = 3x - 1\) (\(u' = 3\)) et \(v = e^x\) (\(v' = e^x\)).
\(f' = u'v + uv' = 3\,e^x + (3x - 1)\,e^x = (3 + 3x - 1)\,e^x = (3x + 2)\,e^x\).
Dériver \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\) à l'aide de la règle du quotient.
On pose \(u = x\) (\(u' = 1\)) et \(v = x^2 + 1\) (\(v' = 2x\)).
\(f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{1\cdot(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\).
Dériver les fonctions composées suivantes :
Soit \(f(x) = x\,e^{-x}\). Calculer \(f'(x)\), déterminer son signe et en déduire le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Produit : \(u = x\) (\(u' = 1\)), \(v = e^{-x}\) (\(v' = -e^{-x}\)).
\(f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)\).
Comme \(e^{-x} \gt 0\), le signe de \(f'\) est celui de \(1 - x\) : \(f' \gt 0\) si \(x \lt 1\), \(f' \lt 0\) si \(x \gt 1\).
\(f\) admet un maximum en \(x = 1\) : \(f(1) = 1\times e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368\).
Simplifier les expressions suivantes :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{2x - 1} = 5\).
\(e^{2x - 1} = 5 \Leftrightarrow 2x - 1 = \ln 5\).
\(2x = 1 + \ln 5\), donc \(x = \dfrac{1 + \ln 5}{2} \approx \dfrac{1 + 1{,}609}{2} \approx 1{,}30\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\ln(3x + 1) = 2\).
Condition d'existence : \(3x + 1 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt -\dfrac{1}{3}\).
\(\ln(3x + 1) = 2 \Leftrightarrow 3x + 1 = e^2\).
\(3x = e^2 - 1\), donc \(x = \dfrac{e^2 - 1}{3} \approx \dfrac{7{,}389 - 1}{3} \approx 2{,}13\).
Cette valeur vérifie \(x \gt -\dfrac{1}{3}\) : c'est la solution.
Résoudre l'inéquation \(0{,}9^n \leq 0{,}2\) (où \(n\) est un entier), pour déterminer le nombre d'années nécessaires à une décroissance.
On applique le logarithme (croissant) : \(\ln(0{,}9^n) \leq \ln(0{,}2)\), soit \(n\ln(0{,}9) \leq \ln(0{,}2)\).
Comme \(\ln(0{,}9) \lt 0\), on divise en changeant le sens : \(n \geq \dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)} \approx \dfrac{-1{,}609}{-0{,}10536} \approx 15{,}3\).
Le plus petit entier convenant est \(n = 16\).
Une chaudière se déprécie selon \(V(t) = 25\,000\,e^{-0{,}15\,t}\) (en euros, \(t\) en années). Déterminer au bout de combien d'années sa valeur descend à 5 000 €.
On résout \(25\,000\,e^{-0{,}15t} = 5\,000\), soit \(e^{-0{,}15t} = \dfrac{5\,000}{25\,000} = 0{,}2\).
\(-0{,}15\,t = \ln(0{,}2)\), donc \(t = \dfrac{-\ln(0{,}2)}{0{,}15} = \dfrac{\ln 5}{0{,}15} \approx \dfrac{1{,}609}{0{,}15} \approx 10{,}7\) ans.
La valeur atteint 5 000 € au bout d'environ 10,7 ans.