Fonctions d'une variable réelle | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Lors de la charge d'un condensateur à travers une résistance, un technicien de maintenance modélise l'intensité du courant transitoire dans le circuit, en milliampères, par :
\[i(t) = 4t\,e^{-0{,}5t} \qquad (t \geq 0,\ t \text{ en secondes})\]
1. Calculer \(i'(t)\) et montrer que, pour tout \(t \geq 0\) : \[i'(t) = 2(2-t)\,e^{-0{,}5t}\] (1,5 pt)
2. Étudier le signe de \(i'(t)\) sur \([0\,;\,+\infty[\), puis dresser le tableau de variations de \(i\). (2 pts)
3. En déduire la valeur exacte du maximum de \(i(t)\), puis en donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) mA près. (1 pt)
4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} i(t)\) et interpréter ce résultat pour le circuit. (0,5 pt)
5. Justifier que l'équation \(i(t) = 2\) admet une unique solution sur \([0\,;\,2]\). (1 pt)
1. On pose \(u(t) = 4t\) et \(v(t) = e^{-0{,}5t}\), donc \(u'(t) = 4\) et \(v'(t) = -0{,}5\,e^{-0{,}5t}\). Par la formule \((uv)' = u'v + uv'\) :
\[i'(t) = 4\,e^{-0{,}5t} + 4t \times (-0{,}5)\,e^{-0{,}5t} = 4\,e^{-0{,}5t} - 2t\,e^{-0{,}5t} = e^{-0{,}5t}(4 - 2t) = 2(2-t)\,e^{-0{,}5t}\]2. Pour tout \(t \geq 0\), \(e^{-0{,}5t} > 0\) : le signe de \(i'(t)\) est donc celui de \(2 - t\).
3. Le maximum est atteint en \(t = 2\) :
\[i(2) = 4 \times 2 \times e^{-1} = 8\,e^{-1} = \frac{8}{e} \approx 2{,}94\ \text{mA}\]4. \(i(t) = \dfrac{4t}{e^{0{,}5t}}\) : par croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur \(t\), donc :
\[\lim_{t \to +\infty} i(t) = 0\]Le courant transitoire s'éteint progressivement : passé le régime transitoire, le condensateur est chargé et il ne circule plus de courant dans le circuit.
5. La fonction \(i\) est continue sur \([0\,;\,2]\) (produit de fonctions continues) et strictement croissante sur cet intervalle (question 2). Or :
\[i(0) = 0 < 2 \qquad \text{et} \qquad i(2) = \frac{8}{e} \approx 2{,}94 > 2\]Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(i(t) = 2\) admet donc une unique solution sur \([0\,;\,2]\).
Un ingénieur en mécanique étudie le freinage d'un chariot automatisé sur une ligne de production. Après le déclenchement du frein à l'instant \(t = 0\), la vitesse du chariot, en mètres par seconde, est modélisée par :
\[v(t) = 30\,e^{-0{,}2t} \qquad (t \geq 0,\ t \text{ en secondes})\]
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} v(t)\) et interpréter physiquement ce résultat. (1 pt)
2. Calculer \(v'(t)\). Justifier que \(v\) est strictement décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\) et interpréter le signe de \(v'(t)\) dans le contexte du freinage. (1,5 pt)
3. Calculer la valeur exacte de \(v'(0)\) et interpréter ce nombre comme une décélération (en \(\text{m/s}^2\)). (1 pt)
4. Résoudre l'équation \(v(t) = 5\) dans \([0\,;\,+\infty[\) ; en déduire, à \(10^{-2}\) s près, au bout de combien de temps le chariot roule à \(5\,\text{m/s}\). (1,5 pt)
1. \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} e^{-0{,}2t} = 0\), donc :
\[\lim_{t \to +\infty} v(t) = 0\]La vitesse du chariot tend vers \(0\) : à terme, le chariot s'immobilise complètement.
2. \(v\) est de la forme \(e^{u(t)}\) avec \(u(t) = -0{,}2t\), donc \(u'(t) = -0{,}2\) et \(v'(t) = u'(t)\,e^{u(t)}\) :
\[v'(t) = -0{,}2 \times 30\,e^{-0{,}2t} = -6\,e^{-0{,}2t}\]Pour tout \(t \geq 0\), \(e^{-0{,}2t} > 0\), donc \(v'(t) < 0\) : \(v\) est strictement décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Ce signe négatif traduit une décélération constante en signe (le chariot ralentit sans jamais réaccélérer) : c'est cohérent avec un mouvement de freinage.
3. \(v'(0) = -6\,e^{0} = -6\). La décélération à l'instant du freinage est de \(6\,\text{m/s}^2\) (le signe négatif de \(v'(0)\) traduisant la diminution de la vitesse).
4. On résout \(30\,e^{-0{,}2t} = 5\) :
\[e^{-0{,}2t} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad -0{,}2\,t = \ln\!\left(\frac{1}{6}\right) = -\ln 6\] \[t = \frac{\ln 6}{0{,}2} = 5\,\ln 6 \approx 5 \times 1{,}7918 \approx 8{,}96\ \text{s}\]Le chariot atteint la vitesse de \(5\,\text{m/s}\) au bout d'environ 8,96 s.
Un contrôleur de gestion étudie l'évolution du chiffre d'affaires d'une entreprise. Pour une variation relative \(x\) proche de \(0\) (par exemple \(x = 0{,}05\) pour une hausse de \(5\,\%\)), l'indice de correction logarithmique associé est modélisé par la fonction :
\[f(x) = \ln(1+x) \qquad \text{définie sur } ]-1\,;\,+\infty[\]
On rappelle le développement limité usuel en \(0\) : \(\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots\)
1. Calculer \(f'(x)\) et en déduire \(f'(0)\). (1 pt)
2. Donner le développement limité d'ordre 2 en \(0\) de \(f\), puis en déduire l'équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\). (1 pt)
3. Déterminer, en le justifiant, la position de la courbe de \(f\) par rapport à \(T\) au voisinage de \(0\). (1,5 pt)
4. À l'aide du développement limité d'ordre 2, donner une valeur approchée de \(f(0{,}05) = \ln(1{,}05)\) ; comparer avec la valeur donnée par une calculatrice (\(\ln(1{,}05) \approx 0{,}04879\)). (1 pt)
5. Conclure : pour une petite variation positive \(x\), l'approximation affine \(x\) surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle l'indice réel \(\ln(1+x)\) ? (0,5 pt)
1. \(f(x) = \ln(1+x)\) est de la forme \(\ln(u(x))\) avec \(u(x) = 1+x\), donc \(u'(x) = 1\) et \(f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\) :
\[f'(x) = \frac{1}{1+x} \qquad\Longrightarrow\qquad f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1\]2. En tronquant le développement rappelé à l'ordre 2 :
\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x)\]La partie régulière d'ordre 1 donne l'équation de la tangente \(T\) : \(y = f(0) + f'(0)\,x = 0 + 1 \times x\), soit :
\[\boxed{T : y = x}\]3. La différence entre la courbe et la tangente est donnée par les termes de degré \(\geq 2\) du DL :
\[f(x) - y_T = -\frac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x) \approx -\frac{x^2}{2}\]Comme \(-\dfrac{x^2}{2} < 0\) pour tout \(x \neq 0\), la courbe de \(f\) est en dessous de sa tangente \(T\) au voisinage de \(0\) (cohérent avec la concavité de \(\ln(1+x)\)).
4. Avec le DL d'ordre 2 pour \(x = 0{,}05\) :
\[f(0{,}05) \approx 0{,}05 - \frac{0{,}05^2}{2} = 0{,}05 - 0{,}00125 = 0{,}04875\]La calculatrice donne \(\ln(1{,}05) \approx 0{,}04879\). L'écart est d'environ \(0{,}00004\) : l'approximation d'ordre 2 est donc excellente pour une petite variation.
5. D'après la question 3, la courbe de \(f\) est toujours en dessous de sa tangente \(T : y = x\) au voisinage de \(0\), donc \(\ln(1+x) < x\) pour \(x\) proche de \(0\) (\(x \neq 0\)). L'approximation affine \(x\) surestime donc l'indice réel \(\ln(1+x)\) pour une petite variation.
Un ingénieur en robotique programme le déplacement de l'extrémité d'un bras articulé lors d'une opération de manutention. Dans un plan vertical, la trajectoire de ce point est donnée par le paramétrage :
\[\begin{cases} x(t) = 3t \\ y(t) = -t^2 + 4t \end{cases} \qquad t \in [0\,;\,4]\]
où \(t\) est le temps en secondes et \(x\), \(y\) sont exprimés en mètres.
1. Calculer \(x'(t)\) et \(y'(t)\). (0,5 pt)
2. Étudier le signe de \(x'(t)\) puis de \(y'(t)\) sur \([0\,;\,4]\), et dresser les tableaux de variations de \(x(t)\) et de \(y(t)\). (1 pt)
3. Déterminer le vecteur tangent \(\vec{V}(2)\) à la trajectoire à l'instant \(t = 2\), et interpréter graphiquement ce résultat. (1 pt)
4. En exprimant \(t\) en fonction de \(x\), montrer que la trajectoire admet pour équation cartésienne \(y = -\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{4x}{3}\), puis représenter cette courbe. (1,5 pt)
1. \(x(t) = 3t\) est affine donc \(x'(t) = 3\). \(y(t) = -t^2 + 4t\) est polynomiale donc \(y'(t) = -2t + 4\).
2. \(x'(t) = 3 > 0\) pour tout \(t\) : \(x\) est strictement croissante sur \([0\,;\,4]\).
\(y'(t) = 0 \Leftrightarrow -2t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2\). \(y'(t) > 0\) si \(t < 2\), \(y'(t) < 0\) si \(t > 2\) : \(y\) est croissante sur \([0\,;\,2]\) puis décroissante sur \([2\,;\,4]\).
Valeurs remarquables : \(x(0)=0\), \(x(4)=12\) ; \(y(0)=0\), \(y(2)=-4+8=4\), \(y(4)=-16+16=0\).
3. Le vecteur tangent est \(\vec{V}(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}\), donc :
\[\vec{V}(2) = \begin{pmatrix} x'(2) \\ y'(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2\times 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]La composante verticale est nulle : la tangente à la trajectoire est horizontale en \(t = 2\). Le bras atteint donc son altitude maximale à cet instant, avec un déplacement purement horizontal.
4. De \(x = 3t\), on tire \(t = \dfrac{x}{3}\). En substituant dans \(y(t) = -t^2+4t\) :
\[y = -\left(\frac{x}{3}\right)^2 + 4 \times \frac{x}{3} = -\frac{x^2}{9} + \frac{4x}{3}\]C'est l'équation d'une parabole d'axe vertical, tournée vers le bas, de sommet \((6\,;\,4)\) — ce qui correspond bien au point où \(t=2\) (question 3).