Chapitre 1 – Suites numériques

La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 3n^2 - 2n + 1\) est explicite.

On calcule directement : \(u_0 = 1\), \(u_1 = 2\), \(u_5 = 3 \times 25 - 10 + 1 = 66\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 3\).

Alors : \(u_1 = 2 \times 5 - 3 = 7\), \(u_2 = 2 \times 7 - 3 = 11\), \(u_3 = 2 \times 11 - 3 = 19\).

Un équipement de chantier d'une valeur de 45 000 € est amorti linéairement sur 9 ans. Chaque année, sa valeur diminue de \(\dfrac{45\,000}{9} = 5\,000\) €.

Soit \(V_n\) la valeur résiduelle après \(n\) années : \(V_0 = 45\,000\) et \(r = -5\,000\).

Alors \(V_n = 45\,000 + n \times (-5\,000) = 45\,000 - 5\,000\,n\).

Après 6 ans : \(V_6 = 45\,000 - 30\,000 = 15\,000\) €.

Calculer \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\).

C'est une suite arithmétique de raison 1. Premier terme : 1, dernier terme : 100, nombre de termes : 100.

\(S = \dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5\,050\).

Un artisan du bâtiment place 10 000 € à un taux annuel de 4 % (intérêts composés).

Soit \(C_n\) le capital après \(n\) années. Chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}04\).

Donc \(C_n = 10\,000 \times 1{,}04^n\). C'est une suite géométrique de premier terme \(C_0 = 10\,000\) et de raison \(q = 1{,}04\).

Après 10 ans : \(C_{10} = 10\,000 \times 1{,}04^{10} \approx 14\,802\) €.

Reprenons le placement de 10 000 € à 4 %. Calculons la somme des capitaux annuels sur 5 ans (pour un calcul fiscal par exemple) :

\(S = C_0 + C_1 + \cdots + C_4 = 10\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}04^5}{1 - 1{,}04}\)

\(S = 10\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}2166...}{-0{,}04} = 10\,000 \times \dfrac{-0{,}2166...}{-0{,}04} \approx 54\,163\) €.

Problème : La suite géométrique \((u_n)\) est définie par \(u_n = 1000 \times 0{,}95^n\). À partir de quel rang a-t-on \(u_n < 100\) ?

Approche tableur :

On recopie vers le bas et on cherche la première valeur de \(u_n\) inférieure à 100.

Approche algorithmique (Python) :

n = 0
u = 1000
while u >= 100:
    n = n + 1
    u = 1000 * 0.95**n
print("Le plus petit rang est n =", n)

Résultat : On trouve \(n = 45\), car \(u_{44} = 1000 \times 0{,}95^{44} \approx 103{,}5\) et \(u_{45} = 1000 \times 0{,}95^{45} \approx 98{,}3 < 100\).

Vérification algébrique : \(0{,}95^n < 0{,}1 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}95)} \approx 44{,}9\), soit \(n = 45\). ✓

Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 + 5n - 1}{2n^2 + 7}\).

Les termes dominants sont \(3n^2\) et \(2n^2\). On factorise :

\(\dfrac{3n^2 + 5n - 1}{2n^2 + 7} = \dfrac{n^2\left(3 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \frac{7}{n^2}\right)} = \dfrac{3 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{7}{n^2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \dfrac{3}{2}\)

Un entrepreneur investit 25 000 € dans un stock de matériaux de construction. Cet investissement se valorise de 3,5 % par an en raison de la hausse des prix.

Valeur après \(n\) ans : \(V_n = 25\,000 \times 1{,}035^n\).

Après 8 ans : \(V_8 = 25\,000 \times 1{,}035^8 \approx 25\,000 \times 1{,}3168 \approx 32\,921\) €.

Le gain réalisé est de \(32\,921 - 25\,000 = 7\,921\) €.

Un chef d'entreprise emprunte \(C_0 = 120\,000\) € sur 5 ans au taux annuel \(t = 3{,}6\,\% = 0{,}036\).

Annuité constante :

\(a = 120\,000 \times \dfrac{0{,}036}{1 - 1{,}036^{-5}} = 120\,000 \times \dfrac{0{,}036}{1 - 0{,}8379} = 120\,000 \times \dfrac{0{,}036}{0{,}1621} \approx 26\,653\) €.

Il remboursera environ 26 653 € par an pendant 5 ans, soit un total de 133 265 €, dont 13 265 € d'intérêts.

Données : \(T_0 = 20\) °C, \(T_{\text{ext}} = 5\) °C, \(q = 0{,}92\) (bâtiment moyennement isolé).

\(T_n = 5 + 15 \times 0{,}92^n\)

Comme \(|q| = 0{,}92 < 1\), on a \(0{,}92^n \to 0\), donc \(T_n \to 5\) °C. La température intérieure converge vers la température extérieure.