Maîtriser les définitions et modes de génération d'une suite (explicite, par récurrence)
Reconnaître et exploiter les suites arithmétiques et géométriques
Calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique
Étudier le sens de variation et la convergence d'une suite
Déterminer la limite d'une suite
Appliquer les suites à des problèmes concrets : intérêts composés, amortissements, modèles d'évolution
Situation professionnelle
Investissement et amortissement dans le bâtiment
Un chef d'entreprise du bâtiment contracte un emprunt de 120 000 € pour l'achat d'un engin de chantier. Le remboursement s'effectue par mensualités constantes sur 5 ans au taux annuel de 3,6 %. Comment calculer le montant de chaque mensualité ? Comment évolue le capital restant dû au fil des mois ?
Par ailleurs, un technicien en génie climatique observe que la température d'un local non chauffé diminue de 8 % par heure lorsque la température extérieure est de 5 °C. Comment modéliser cette évolution ?
Ces deux problèmes se résolvent grâce aux suites numériques.
1. Généralités sur les suites
Définition — Suite numérique
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) (ou d'une partie de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathbb{R}\). On la note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\). Le nombre réel \(u_n\) est appelé le terme de rang \(n\) (ou terme général) de la suite.
1.1 Modes de génération
Définition — Suite définie explicitement
Une suite est définie de manière explicite lorsque \(u_n\) est exprimé directement en fonction de \(n\) :
\[u_n = f(n)\]
On peut alors calculer n'importe quel terme indépendamment des autres.
Exemple
La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = 3n^2 - 2n + 1\) est explicite.
Attention
Avec une définition par récurrence, pour calculer \(u_{100}\), il faut d'abord calculer tous les termes de \(u_0\) à \(u_{99}\). Ce n'est pas le cas avec une définition explicite.
Mini-exercice 1
Calculer des termes de suites
1) Soit \((u_n)\) définie par \(u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n + 3}\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_{10}\).
2) Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = 100\) et \(v_{n+1} = 0{,}9\,v_n + 5\). Calculer \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
Définition
Une suite \((u_n)\) est arithmétique s'il existe un réel \(r\) (appelé raison) tel que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[u_{n+1} = u_n + r\]
On passe d'un terme au suivant en ajoutant la raison \(r\).
Propriété — Terme général
Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\), alors :
\[\boxed{u_n = u_0 + n\,r}\]
Plus généralement, pour tout \(p \in \mathbb{N}\) :
\[u_n = u_p + (n - p)\,r\]
Terme général d'une suite arithmétique
\(u_n = u_0 + n\,r\)
Exemple — Amortissement linéaire
Un équipement de chantier d'une valeur de 45 000 € est amorti linéairement sur 9 ans. Chaque année, sa valeur diminue de \(\dfrac{45\,000}{9} = 5\,000\) €.
Soit \(V_n\) la valeur résiduelle après \(n\) années : \(V_0 = 45\,000\) et \(r = -5\,000\).
Alors \(V_n = 45\,000 + n \times (-5\,000) = 45\,000 - 5\,000\,n\).
Après 6 ans : \(V_6 = 45\,000 - 30\,000 = 15\,000\) €.
Application — Exploiter le terme général d'une suite arithmétique
Le remplissage d'une cuve de process est régulier : on note \(u_n\) le volume (en litres) après \(n\) minutes, et \((u_n)\) est arithmétique. Deux relevés donnent \(u_3 = 27\) et \(u_{11} = 67\).
Déterminer la raison \(r\), le volume initial \(u_0\), puis \(u_{20}\).
Propriété — Somme des \(n\) premiers termes
La somme des \((n+1)\) premiers termes d'une suite arithmétique \((u_0, u_1, \ldots, u_n)\) est :
\[\boxed{S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}}\]
Autrement dit : nombre de termes \(\times\) moyenne du premier et du dernier terme.
Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique
Définition
Une suite \((u_n)\) est géométrique s'il existe un réel \(q \neq 0\) (appelé raison) tel que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[u_{n+1} = q \times u_n\]
On passe d'un terme au suivant en multipliant par la raison \(q\).
Attention
Pour qu'une suite géométrique soit bien définie, tous ses termes doivent être non nuls. Si un seul terme est nul, la suite ne peut pas être géométrique (on ne peut pas diviser par zéro pour retrouver \(q\)).
Propriété — Terme général
Si \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\), alors :
\[\boxed{u_n = u_0 \times q^n}\]
Plus généralement, pour tout \(p \in \mathbb{N}\) :
\[u_n = u_p \times q^{n-p}\]
Terme général d'une suite géométrique
\(u_n = u_0 \times q^n\)
Exemple — Intérêts composés
Un artisan du bâtiment place 10 000 € à un taux annuel de 4 % (intérêts composés).
Soit \(C_n\) le capital après \(n\) années. Chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}04\).
Donc \(C_n = 10\,000 \times 1{,}04^n\). C'est une suite géométrique de premier terme \(C_0 = 10\,000\) et de raison \(q = 1{,}04\).
Après 10 ans : \(C_{10} = 10\,000 \times 1{,}04^{10} \approx 14\,802\) €.
Évolution d'un capital de 10 000 € à 4 % d'intérêts composés
Application — Dépréciation d'un équipement
Une machine-outil achetée 24 000 € perd 15 % de sa valeur chaque année. On note \(V_n\) sa valeur (en euros) après \(n\) années.
Justifier que \((V_n)\) est géométrique, préciser sa raison, puis calculer \(V_5\) arrondi à l'euro.
Une baisse de 15 % revient à multiplier par \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\) : pour tout \(n\), \(V_{n+1} = 0{,}85 \times V_n\).
La suite est donc géométrique de raison \(\mathbf{q = 0{,}85}\) et de premier terme \(V_0 = 24\,000\), d'où :
\[V_n = 24\,000 \times 0{,}85^{\,n}\]
\[V_5 = 24\,000 \times 0{,}85^{5} = 24\,000 \times 0{,}443705\ldots \approx \mathbf{10\,649 \text{ €}}\]
3.1 Somme des termes consécutifs
Propriété — Somme des \((n+1)\) premiers termes
Si \(q \neq 1\), la somme des \((n+1)\) premiers termes d'une suite géométrique est :
\[\boxed{S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}}\]
Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique (\(q \neq 1\))
Attention — Nombre de termes
Dans la formule, l'exposant de \(q\) est le nombre de termes de la somme, pas le rang du dernier terme. Si on somme de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \((n+1)\) termes, donc l'exposant est \((n+1)\).
Méthode — Calculer une somme de termes d'une suite géométrique
Vérifier que la suite est géométrique (rapport constant).
Identifier le premier terme, la raison \(q\) et le nombre de termes.
Un technicien en génie climatique observe que la température intérieure d'un local non chauffé passe de 20 °C à 18,4 °C en une heure lorsque la température extérieure est de 0 °C. On modélise la température intérieure par une suite géométrique \((T_n)\) où \(T_n\) est la température (en °C) après \(n\) heures.
1) Calculer la raison \(q\) de cette suite géométrique.
2) Exprimer \(T_n\) en fonction de \(n\).
3) Quelle sera la température après 5 heures ? Après 10 heures ?
\((u_n)\) est croissante si, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \geq u_n\).
\((u_n)\) est décroissante si, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \leq u_n\).
\((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Méthode — Étudier le sens de variation
On dispose de plusieurs techniques :
Étude du signe de \(u_{n+1} - u_n\) : si \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) pour tout \(n\), la suite est croissante.
Étude du rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) (pour une suite à termes strictement positifs) :
si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1\), la suite est croissante.
Étude de la fonction associée : si \(u_n = f(n)\) et \(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\), alors \((u_n)\) est croissante.
Propriété — Cas des suites arithmétiques et géométriques
Type de suite
Croissante si...
Décroissante si...
Arithmétique de raison \(r\)
\(r > 0\)
\(r < 0\)
Géométrique de raison \(q\), \(u_0 > 0\)
\(q > 1\)
\(0 < q < 1\)
Géométrique de raison \(q\), \(u_0 < 0\)
\(0 < q < 1\)
\(q > 1\)
Application — Reconnaître le sens de variation
Sans calcul, donner le sens de variation de chacune de ces suites :
\((u_n)\) arithmétique, \(u_0 = 80\) et \(r = -2{,}5\) (usure d'un outil en centièmes de mm) ;
\((v_n)\) géométrique, \(v_0 = 1\,200\) et \(q = 1{,}03\) (production annuelle en pièces) ;
\((w_n)\) géométrique, \(w_0 = 500\) et \(q = 0{,}88\) (amplitude d'un signal amorti).
1) Suite arithmétique de raison \(r = -2{,}5 < 0\) : elle est décroissante.
2) Suite géométrique avec \(v_0 = 1\,200 > 0\) et \(q = 1{,}03 > 1\) : elle est croissante.
3) Suite géométrique avec \(w_0 = 500 > 0\) et \(0 < q = 0{,}88 < 1\) : elle est décroissante.
Mini-exercice 4
Sens de variation
Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}\) pour \(n \geq 0\).
Donc \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{(n+3)(n+2)} > 0\) pour tout \(n \geq 0\).
La suite \((u_n)\) est strictement croissante.
5. Limites de suites
Définition — Suite convergente
On dit qu'une suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) si, à partir d'un certain rang, les termes \(u_n\) deviennent aussi proches de \(\ell\) que l'on veut. On note :
\[\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\]
La suite est dite convergente et \(\ell\) est sa limite.
Définition — Suite divergente
Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Elle peut :
tendre vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) (divergence vers l'infini),
osciller sans tendre vers aucune limite (ex. : \(u_n = (-1)^n\)).
5.1 Limites de référence
Limites de référence à connaître
Suite
Condition
Limite
\(q^n\)
\(-1 < q < 1\)
\(0\)
\(q^n\)
\(q > 1\)
\(+\infty\)
\(q^n\)
\(q = 1\)
\(1\) (suite constante)
\(q^n\)
\(q \leq -1\)
pas de limite
\(\dfrac{1}{n}\)
\(0\)
\(\dfrac{1}{n^2}\)
\(0\)
\(n\), \(n^2\), \(\sqrt{n}\)
\(+\infty\)
Application — Utiliser les limites de référence
Donner, en justifiant par la valeur de \(q\), la limite en \(+\infty\) des suites de terme général :
a) \(0{,}97^{\,n}\) b) \(1{,}05^{\,n}\) c) \((-2)^{\,n}\)
a) \(-1 < 0{,}97 < 1\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}97^{\,n} = \mathbf{0}\).
b) \(1{,}05 > 1\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 1{,}05^{\,n} = \mathbf{+\infty}\).
c) \(-2 \leq -1\) : la suite \(\left((-2)^{\,n}\right)\) n'a pas de limite (les termes changent de signe et leur valeur absolue augmente).
5.2 Limites des suites arithmétiques et géométriques
Propriété — Limite d'une suite arithmétique
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\).
Si \(r > 0\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
Si \(r < 0\), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).
Si \(r = 0\), la suite est constante : \(u_n = u_0\) pour tout \(n\).
Une suite arithmétique non constante diverge toujours.
Propriété — Limite d'une suite géométrique
Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_0 \neq 0\).
Si \(-1 < q < 1\) (ou \(|q| < 1\)), alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\) : la suite converge vers 0.
Si \(q > 1\), la suite diverge vers \(\pm\infty\) (selon le signe de \(u_0\)).
Si \(q = 1\), la suite est constante.
Si \(q \leq -1\), la suite n'a pas de limite.
Comportement de la suite géométrique \(u_n = u_0 \times q^n\) selon la valeur de \(q\)
5.3 Recherche de seuil — Approche algorithmique et tableur
Méthode — Déterminer un seuil à l'aide d'un algorithme ou d'un tableur
Lorsqu'on cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \leq A\) (ou \(u_n \geq A\)), on peut utiliser :
Un tableur : on crée une colonne pour \(n\) et une colonne pour \(u_n\), puis on repère visuellement (ou avec une mise en forme conditionnelle) le rang cherché.
Un algorithme (pseudo-code ou Python) : on utilise une boucle tant que qui incrémente \(n\) jusqu'à ce que la condition soit vérifiée.
Cette méthode est particulièrement utile quand la résolution algébrique (par logarithme) n'est pas demandée ou quand la suite est définie par récurrence.
Exemple — Recherche de seuil
Problème : La suite géométrique \((u_n)\) est définie par \(u_n = 1000 \times 0{,}95^n\). À partir de quel rang a-t-on \(u_n < 100\) ?
Approche tableur :
Cellule A
Cellule B
Formule en B
A1 : n
B1 : u_n
A2 : 0
B2 : 1000
=1000*0,95^A2
A3 : =A2+1
B3 : =1000*0,95^A3
recopier vers le bas
On recopie vers le bas et on cherche la première valeur de \(u_n\) inférieure à 100.
Approche algorithmique (Python) :
n = 0
u = 1000
while u >= 100:
n = n + 1
u = 1000 * 0.95**n
print("Le plus petit rang est n =", n)
Résultat : On trouve \(n = 45\), car \(u_{44} = 1000 \times 0{,}95^{44} \approx 103{,}5\) et \(u_{45} = 1000 \times 0{,}95^{45} \approx 98{,}3 < 100\).
Vérification algébrique : \(0{,}95^n < 0{,}1 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}95)} \approx 44{,}9\), soit \(n = 45\). ✓
5.4 Opérations sur les limites
Propriété — Opérations
Si \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\) et \(\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'\) (avec \(\ell, \ell' \in \mathbb{R}\)), alors :
\(\lim_{n \to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell' \neq 0\)
Attention — Formes indéterminées
Certaines combinaisons de limites ne permettent pas de conclure directement. Les formes indéterminées sont :
\[+\infty - \infty, \quad 0 \times \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}\]
Dans ces cas, il faut transformer l'expression (factoriser, diviser par le terme dominant...) pour lever l'indétermination.
Méthode — Limite d'une fraction rationnelle
Pour calculer \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_p n^p + \cdots}{b_q n^q + \cdots}\) :
Identifier le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Factoriser par \(n^p\) au numérateur et \(n^q\) au dénominateur.
Simplifier et appliquer les limites de référence.
Résultat : la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré \(\dfrac{a_p\, n^p}{b_q\, n^q}\).
a) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{5n - 3}{2n + 1}\) b) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + 1}{3n + 2}\) c) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(3 \times 0{,}95^n + 7\right)\)
a) Termes dominants : \(\dfrac{5n}{2n} = \dfrac{5}{2}\). Donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{5n - 3}{2n + 1} = \dfrac{5}{2}\).
b) Degré du numérateur (2) > degré du dénominateur (1). Terme dominant : \(\dfrac{n^2}{3n} = \dfrac{n}{3} \to +\infty\). La suite diverge vers \(+\infty\).
c) \(|0{,}95| < 1\), donc \(0{,}95^n \to 0\). Alors \(3 \times 0{,}95^n + 7 \to 3 \times 0 + 7 = 7\). La suite converge vers 7.
5.5 Théorèmes de convergence
Théorème — Suite croissante majorée
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
Théorème des gendarmes (théorème d'encadrement)
Si, à partir d'un certain rang, on a \(v_n \leq u_n \leq w_n\) et si \(\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell\), alors :
\[\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\]
Application — Conclure avec un théorème de convergence
1) Le taux de remplissage \((u_n)\) d'un réservoir, exprimé en %, est croissant et vérifie \(u_n \leq 100\) pour tout \(n\). Que peut-on affirmer sur \((u_n)\) ?
2) Une mesure \((v_n)\) vérifie, pour tout \(n \geq 1\) : \(5 - \dfrac{1}{n} \leq v_n \leq 5 + \dfrac{1}{n}\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n\).
1) \((u_n)\) est croissante et majorée par 100 : d'après le théorème, elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(\ell \leq 100\).
2) Comme \(\dfrac{1}{n} \to 0\), on a \(5 - \dfrac{1}{n} \to 5\) et \(5 + \dfrac{1}{n} \to 5\).
Les deux bornes de l'encadrement ont la même limite : d'après le théorème des gendarmes,
\[\lim_{n \to +\infty} v_n = \mathbf{5}\]
6. Applications professionnelles
6.1 Intérêts composés
Modèle — Intérêts composés
Un capital \(C_0\) est placé à un taux d'intérêt annuel \(t\) (en décimal). Après \(n\) années, le capital acquis est :
\[\boxed{C_n = C_0 \times (1 + t)^n}\]
C'est une suite géométrique de raison \(q = 1 + t > 1\) : le capital croît indéfiniment.
Exemple — Investissement en matériaux
Un entrepreneur investit 25 000 € dans un stock de matériaux de construction. Cet investissement se valorise de 3,5 % par an en raison de la hausse des prix.
Valeur après \(n\) ans : \(V_n = 25\,000 \times 1{,}035^n\).
Après 8 ans : \(V_8 = 25\,000 \times 1{,}035^8 \approx 25\,000 \times 1{,}3168 \approx 32\,921\) €.
Le gain réalisé est de \(32\,921 - 25\,000 = 7\,921\) €.
6.2 Amortissement d'un emprunt par annuités constantes
Modèle — Annuité constante
Un emprunt de montant \(C_0\) est remboursé par \(n\) annuités constantes \(a\) à un taux annuel \(t\). Le montant de l'annuité est :
\[\boxed{a = C_0 \times \frac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}}\]
Exemple — Emprunt pour l'achat d'un engin de chantier
Un chef d'entreprise emprunte \(C_0 = 120\,000\) € sur 5 ans au taux annuel \(t = 3{,}6\,\% = 0{,}036\).
Il remboursera environ 26 653 € par an pendant 5 ans, soit un total de 133 265 €, dont 13 265 € d'intérêts.
6.3 Modèle d'évolution — Refroidissement
Modélisation du refroidissement d'un bâtiment
Un technicien en génie climatique étudie la perte de chaleur d'un bâtiment dont le chauffage est en panne. La température intérieure \(T_n\) (en °C) après \(n\) heures peut être modélisée par :
avec \(T_0\) la température initiale, \(T_{\text{ext}}\) la température extérieure et \(0 < q < 1\) un coefficient dépendant de l'isolation du bâtiment.
Exemple — Refroidissement d'un local
Données : \(T_0 = 20\) °C, \(T_{\text{ext}} = 5\) °C, \(q = 0{,}92\) (bâtiment moyennement isolé).
\(T_n = 5 + 15 \times 0{,}92^n\)
\(n\) (heures)
0
1
2
5
10
20
\(T_n\) (°C)
20,0
18,8
17,7
14,9
11,5
7,6
Comme \(|q| = 0{,}92 < 1\), on a \(0{,}92^n \to 0\), donc \(T_n \to 5\) °C. La température intérieure converge vers la température extérieure.