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Interrogation — Ch01 : Suites numériques

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Modes de génération (3 pts)

Soit la suite \((u_n)\) définie par récurrence par \(u_0 = 4\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = 3u_n - 5\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). (2 pts)
  2. Soit la suite \((v_n)\) définie explicitement par \(v_n = \dfrac{n^2 - 1}{n + 2}\). Calculer \(v_0\) et \(v_3\). (1 pt)

Exercice 2 — Suite arithmétique (4 pts)

Une machine de production est amortie linéairement : sa valeur résiduelle (en €) forme une suite arithmétique \((u_n)\) telle que \(u_0 = 18\,000\) et de raison \(r = -1\,200\) (perte annuelle).

  1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_5\). (1,5 pt)
  2. Au bout de combien d'années la valeur résiduelle s'annule-t-elle ? (1 pt)
  3. Calculer la somme \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}\) (les 11 premiers termes). (1,5 pt)

Exercice 3 — Suite géométrique (4 pts)

Un capital de \(8\,000\) € est placé à intérêts composés au taux annuel de \(3\,\%\). On note \(C_n\) le capital (en €) après \(n\) années : \(C_0 = 8\,000\).

  1. Justifier que \((C_n)\) est géométrique et préciser sa raison \(q\). (1 pt)
  2. Exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(C_5\) (arrondir à l'euro). (1,5 pt)
  3. Calculer la somme \(C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + C_4\) (les 5 premiers termes). Arrondir à l'euro. (1,5 pt)

Exercice 4 — Sens de variation (4 pts)

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 1}\).

  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\). (1,5 pt)
  2. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+2)(n+1)}\). En déduire le sens de variation de \((u_n)\). (2,5 pts)

Exercice 5 — Limites (5 pts)

Déterminer les limites suivantes en justifiant.

  1. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n - 7}{2n + 3}\) (1,5 pt)
  2. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + 5}{3n + 1}\) (1,5 pt)
  3. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(5 \times 0{,}8^n - 2\right)\) (1 pt)
  4. On donne la suite géométrique \(u_n = 3 \times 1{,}5^n\). La suite converge-t-elle ? Justifier. (1 pt)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(u_1 = 3 \times 4 - 5 = 7\) ; \(u_2 = 3 \times 7 - 5 = 16\) ; \(u_3 = 3 \times 16 - 5 = 43\). (2 pts)

b) \(v_0 = \dfrac{0 - 1}{0 + 2} = -\dfrac{1}{2}\) ; \(v_3 = \dfrac{9 - 1}{3 + 2} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6\). (1 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(u_n = u_0 + n\,r = 18\,000 - 1\,200\,n\). Donc \(u_5 = 18\,000 - 1\,200 \times 5 = 18\,000 - 6\,000 = 12\,000\) €. (1,5 pt)

b) \(u_n = 0 \Leftrightarrow 18\,000 - 1\,200\,n = 0 \Leftrightarrow n = \dfrac{18\,000}{1\,200} = 15\). La valeur s'annule au bout de 15 ans. (1 pt)

c) 11 termes, de \(u_0 = 18\,000\) à \(u_{10} = 18\,000 - 12\,000 = 6\,000\). \(S = \dfrac{11 \times (u_0 + u_{10})}{2} = \dfrac{11 \times (18\,000 + 6\,000)}{2} = \dfrac{11 \times 24\,000}{2} = 132\,000\) €. (1,5 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) À intérêts composés, chaque année le capital est multiplié par \(1 + 0{,}03 = 1{,}03\) : \(C_{n+1} = 1{,}03\,C_n\). La suite est géométrique de raison \(q = 1{,}03\). (1 pt)

b) \(C_n = C_0 \times q^n = 8\,000 \times 1{,}03^n\). \(C_5 = 8\,000 \times 1{,}03^5 = 8\,000 \times 1{,}159274\ldots \approx 9\,274\) €. (1,5 pt)

c) Somme de 5 termes : \(S = C_0 \times \dfrac{1 - q^{5}}{1 - q} = 8\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}03^5}{1 - 1{,}03} = 8\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}159274}{-0{,}03} = 8\,000 \times \dfrac{-0{,}159274}{-0{,}03} \approx 8\,000 \times 5{,}30914 \approx 42\,473\) €. (1,5 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(u_0 = \dfrac{1}{1} = 1\) ; \(u_1 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\) ; \(u_2 = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\). (1,5 pt)

b) \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+1} - \dfrac{2n+1}{n+1} = \dfrac{2n+3}{n+2} - \dfrac{2n+1}{n+1}\).

Réduction au même dénominateur \((n+2)(n+1)\) :

\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{(2n+3)(n+1) - (2n+1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}\).

Numérateur : \((2n^2 + 5n + 3) - (2n^2 + 5n + 2) = 1\).

Donc \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+2)(n+1)} \gt 0\) pour tout \(n \ge 0\). La suite \((u_n)\) est strictement croissante. (2,5 pts)

Exercice 5 (5 pts)

a) Termes dominants : \(\dfrac{4n}{2n} = 2\). Donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n - 7}{2n + 3} = 2\). (1,5 pt)

b) Degré du numérateur (2) supérieur à celui du dénominateur (1). Terme dominant \(\dfrac{n^2}{3n} = \dfrac{n}{3} \to +\infty\). La suite diverge vers \(+\infty\). (1,5 pt)

c) Comme \(|0{,}8| \lt 1\), \(0{,}8^n \to 0\), donc \(5 \times 0{,}8^n - 2 \to 5 \times 0 - 2 = -2\). La suite converge vers \(-2\). (1 pt)

d) Raison \(q = 1{,}5 \gt 1\) et \(u_0 = 3 \gt 0\) : la suite diverge vers \(+\infty\), elle ne converge donc pas. (1 pt)

Total : 3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 20 points.