Fiche résumé – Suites numériques

Chapitre 1 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Arithmétique : on ajoute la raison \(r\) (\(u_{n+1}=u_n+r\)). Géométrique : on multiplie par la raison \(q\) (\(u_{n+1}=q\,u_n\)).
Terme général : arithmétique \(u_n=u_0+nr\) ; géométrique \(u_n=u_0\,q^n\).
Une suite arithmétique non constante diverge toujours ; une suite géométrique converge vers 0 si \(|q|\lt 1\).
Applications BTS : intérêts composés, amortissements, modèles d'évolution.

Définitions clés

Définition

Suite explicite : \(u_n=f(n)\) — chaque terme se calcule directement. Suite par récurrence : \(u_{n+1}=g(u_n)\) avec \(u_0\) donné — il faut calculer les termes de proche en proche.

Définition

Suite arithmétique : raison \(r\), \(u_{n+1}=u_n+r\). Suite géométrique : raison \(q\neq 0\) (termes non nuls), \(u_{n+1}=q\,u_n\).

Définition

Convergence : \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si \(\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) (réel fini). Sinon elle diverge (vers \(\pm\infty\) ou sans limite).

Formules à connaître

Suite arithmétique (raison \(r\)) \[u_n = u_0 + n\,r \qquad u_n = u_p + (n-p)\,r\] \[S = u_0+\cdots+u_n = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\]

Somme = nombre de termes \(\times\) (premier + dernier) \(\div\) 2.

Suite géométrique (raison \(q\)) \[u_n = u_0\,q^n \qquad u_n = u_p\,q^{n-p}\] \[S = u_0\times\frac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q} \qquad (q\neq 1)\]

L'exposant de \(q\) est le nombre de termes, pas le rang du dernier.

Modèles professionnels \[\text{Intérêts composés : } C_n = C_0\,(1+t)^n\] \[\text{Annuité constante : } a = C_0\times\frac{t}{1-(1+t)^{-n}}\] \[\text{Refroidissement : } T_n = T_{\text{ext}} + (T_0-T_{\text{ext}})\,q^n\]

Sens de variation et limites

Variations selon le type

Type	Croissante si	Décroissante si
Arithmétique (raison \(r\))	\(r\gt 0\)	\(r\lt 0\)
Géométrique (\(u_0\gt 0\))	\(q\gt 1\)	\(0\lt q\lt 1\)

Méthode générale : étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) (termes \(\gt 0\)).

Limites de référence :

Suite	Condition	Limite
\(q^n\)	\(-1\lt q\lt 1\)	\(0\)
\(q^n\)	\(q\gt 1\)	\(+\infty\)
\(q^n\)	\(q\le -1\)	pas de limite
\(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\)		\(0\)
\(n,\,n^2,\,\sqrt{n}\)		\(+\infty\)

Théorèmes de convergence

Toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
Gendarmes : si \(v_n\le u_n\le w_n\) et \(\lim v_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim u_n=\ell\).
Quotient de polynômes : la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Méthode — Recherche de seuil

Méthode Trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n\lt A\) (ou \(\gt A\))

Tableur : colonne \(n\), colonne \(u_n\) ; repérer le rang cherché.
Algorithme (boucle « tant que ») : incrémenter \(n\) jusqu'à ce que la condition soit vérifiée.
Vérification algébrique possible par logarithme : \(q^n\lt k \Leftrightarrow n\gt \dfrac{\ln k}{\ln q}\) (si \(0\lt q\lt 1\)).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre la formule de somme arithmétique et géométrique.

✅ Arithmétique → moyenne \(\times\) nombre de termes ; géométrique → \(u_0\,\dfrac{1-q^{n}}{1-q}\).

❌ Se tromper sur l'exposant de \(q\) dans la somme géométrique.

✅ C'est le nombre de termes : de \(u_0\) à \(u_n\) il y a \((n+1)\) termes.

❌ Déclarer géométrique une suite dont un terme est nul.

✅ Tous les termes d'une suite géométrique sont non nuls (\(q\neq 0\)).