BTS | Exercices | Groupements B1, B2, C1, D1
Dernière mise à jour : mars 2026
Pour chacune des suites suivantes, indiquer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre. Préciser la raison le cas échéant.
a) \(u_n = 7 + 3n\)
b) \(v_n = 5 \times 2^n\)
c) \(w_n = n^2 + 1\)
d) \(t_0 = 100\) et \(t_{n+1} = t_n - 8\)
e) \(s_0 = 1000\) et \(s_{n+1} = 0{,}95\,s_n\)
a) \(u_{n+1} - u_n = [7 + 3(n+1)] - [7 + 3n] = 3\). Suite arithmétique de raison \(r = 3\).
b) \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{5 \times 2^{n+1}}{5 \times 2^n} = 2\). Suite géométrique de raison \(q = 2\).
c) \(w_{n+1} - w_n = (n+1)^2 + 1 - n^2 - 1 = 2n + 1\). La différence dépend de \(n\) : ni arithmétique ni géométrique.
d) \(t_{n+1} - t_n = -8\). Suite arithmétique de raison \(r = -8\).
e) \(\dfrac{s_{n+1}}{s_n} = 0{,}95\). Suite géométrique de raison \(q = 0{,}95\).
1) \((u_n)\) est arithmétique avec \(u_0 = 12\) et \(r = -2{,}5\). Calculer \(u_5\), \(u_{10}\) et \(u_{20}\).
2) \((v_n)\) est géométrique avec \(v_0 = 800\) et \(q = 0{,}9\). Calculer \(v_1\), \(v_5\) et \(v_{10}\).
3) \((w_n)\) est arithmétique avec \(w_3 = 17\) et \(w_7 = 29\). Déterminer \(r\), \(w_0\) et \(w_{15}\).
1) \(u_n = 12 + n \times (-2{,}5) = 12 - 2{,}5n\).
\(u_5 = 12 - 12{,}5 = -0{,}5\), \(u_{10} = 12 - 25 = -13\), \(u_{20} = 12 - 50 = -38\).
2) \(v_n = 800 \times 0{,}9^n\).
\(v_1 = 720\), \(v_5 = 800 \times 0{,}9^5 \approx 800 \times 0{,}5905 \approx 472{,}4\), \(v_{10} = 800 \times 0{,}9^{10} \approx 800 \times 0{,}3487 \approx 278{,}9\).
3) \(w_7 - w_3 = (7 - 3)\,r \Rightarrow 29 - 17 = 4r \Rightarrow r = 3\).
\(w_0 = w_3 - 3r = 17 - 9 = 8\). Donc \(w_n = 8 + 3n\).
\(w_{15} = 8 + 45 = 53\).
1) Calculer \(S = 5 + 8 + 11 + 14 + \cdots + 62\).
2) Calculer \(S = 3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 3 \times 2^9\).
3) Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 4 \times 0{,}5^k\) en fonction de \(n\), puis déterminer sa limite quand \(n \to +\infty\).
1) Suite arithmétique de premier terme 5, raison 3, dernier terme 62.
Nombre de termes : \(62 = 5 + (n-1) \times 3 \Rightarrow n - 1 = 19 \Rightarrow n = 20\) termes.
\(S = \dfrac{20 \times (5 + 62)}{2} = \dfrac{20 \times 67}{2} = 670\).
2) Suite géométrique de premier terme 3, raison 2, 10 termes (de \(3 \times 2^0\) à \(3 \times 2^9\)).
\(S = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times \dfrac{1 - 1024}{-1} = 3 \times 1023 = 3\,069\).
3) \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 4 \times 0{,}5^k = 4 \times \dfrac{1 - 0{,}5^{n+1}}{1 - 0{,}5} = 4 \times \dfrac{1 - 0{,}5^{n+1}}{0{,}5} = 8(1 - 0{,}5^{n+1})\).
Quand \(n \to +\infty\) : \(0{,}5^{n+1} \to 0\), donc \(S \to 8\).
Déterminer les limites suivantes :
a) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (3n - 100)\)
b) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 7 \times 0{,}8^n\)
c) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n + 1}{n - 3}\)
d) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(12 - 5 \times 0{,}6^n\right)\)
a) Suite arithmétique de raison \(r = 3 > 0\). \(\lim = +\infty\).
b) Suite géométrique avec \(|q| = 0{,}8 < 1\). \(\lim = 0\).
c) Termes dominants : \(\dfrac{4n}{n} = 4\). Donc \(\lim = 4\).
d) \(0{,}6^n \to 0\), donc \(\lim = 12 - 5 \times 0 = 12\).
Un artisan place 15 000 € sur un livret à intérêts composés au taux annuel de 2,8 %.
1) Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) années.
2) Calculer le capital après 6 ans.
3) Au bout de combien d'années le capital dépassera-t-il 20 000 € ? (On pourra utiliser la calculatrice ou le logarithme.)
4) Calculer la somme des capitaux de l'année 0 à l'année 5 : \(C_0 + C_1 + \cdots + C_5\).
1) \(C_n = 15\,000 \times 1{,}028^n\). Suite géométrique de raison \(q = 1{,}028\).
2) \(C_6 = 15\,000 \times 1{,}028^6 \approx 15\,000 \times 1{,}1809 \approx 17\,713\) €.
3) On cherche \(n\) tel que \(15\,000 \times 1{,}028^n > 20\,000\), soit \(1{,}028^n > \dfrac{4}{3}\).
En passant au logarithme : \(n > \dfrac{\ln(4/3)}{\ln(1{,}028)} = \dfrac{0{,}2877}{0{,}02761} \approx 10{,}42\).
Le capital dépassera 20 000 € à partir de la 11e année.
4) \(S = 15\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}028^6}{1 - 1{,}028} = 15\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}1809}{-0{,}028} = 15\,000 \times \dfrac{-0{,}1809}{-0{,}028} \approx 96\,911\) €.
Soit la suite \((u_n)\) définie pour \(n \geq 1\) par \(u_n = \dfrac{2n^2 - 3}{n^2 + n}\).
1) Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_5\) et \(u_{10}\).
2) Étudier le sens de variation de \((u_n)\) en calculant le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
3) Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\).
4) La suite est-elle majorée ? Minorée ? Bornée ?
1) \(u_1 = \dfrac{2 - 3}{1 + 1} = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5\), \(u_2 = \dfrac{8 - 3}{4 + 2} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833\), \(u_5 = \dfrac{50 - 3}{25 + 5} = \dfrac{47}{30} \approx 1{,}567\), \(u_{10} = \dfrac{200 - 3}{100 + 10} = \dfrac{197}{110} \approx 1{,}791\).
2) On simplifie \(u_n = \dfrac{2n^2 - 3}{n(n+1)}\). Après calcul :
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{2(n+1)^2 - 3}{(n+1)(n+2)} - \dfrac{2n^2 - 3}{n(n+1)}\)
En réduisant au dénominateur commun \(n(n+1)(n+2)\) :
Numérateur : \(n(2n^2 + 4n - 1) - (n+2)(2n^2 - 3) = n(2n^2 + 4n - 1) - (2n^3 + 4n^2 - 3n - 6)\)
\(= 2n^3 + 4n^2 - n - 2n^3 - 4n^2 + 3n + 6 = 2n + 6 = 2(n + 3) > 0\) pour tout \(n \geq 1\).
Donc \(u_{n+1} > u_n\) : la suite est strictement croissante.
3) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n^2 - 3}{n^2 + n} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n^2}{n^2} = 2\). La suite converge vers \(\ell = 2\).
4) La suite est croissante donc minorée par \(u_1 = -0{,}5\). Elle converge vers 2, donc elle est majorée par 2 (qu'elle n'atteint jamais). Elle est bornée.
Un atelier de menuiserie produit 240 panneaux la première semaine. Chaque semaine, la production augmente de 15 panneaux grâce à l'optimisation du processus.
1) Modéliser la production de la semaine \(n\) (\(n \geq 1\)) par une suite \((P_n)\). Quelle est sa nature ?
2) Quelle sera la production lors de la 12e semaine ?
3) Calculer la production totale sur les 12 premières semaines.
4) À partir de quelle semaine la production dépassera-t-elle 400 panneaux ?
1) \(P_1 = 240\) et \(P_{n+1} = P_n + 15\). Suite arithmétique de premier terme \(P_1 = 240\) et de raison \(r = 15\).
Terme général : \(P_n = 240 + (n - 1) \times 15 = 225 + 15n\).
2) \(P_{12} = 225 + 15 \times 12 = 225 + 180 = 405\) panneaux.
3) Somme de \(P_1\) à \(P_{12}\) : 12 termes, premier = 240, dernier = 405.
\(S = \dfrac{12 \times (240 + 405)}{2} = \dfrac{12 \times 645}{2} = 3\,870\) panneaux.
4) \(P_n > 400 \Leftrightarrow 225 + 15n > 400 \Leftrightarrow 15n > 175 \Leftrightarrow n > 11{,}67\).
La production dépassera 400 panneaux à partir de la 12e semaine.
Une entreprise de travaux publics emprunte 200 000 € pour l'achat d'une grue. Le taux annuel est de 4,2 % et l'emprunt est remboursé en 8 annuités constantes.
1) Calculer le montant de l'annuité constante \(a\).
2) Construire le tableau d'amortissement pour les trois premières années.
3) Calculer le coût total du crédit (total des intérêts versés).
4) Si l'entreprise souhaite que l'annuité ne dépasse pas 30 000 €, quelle durée minimale doit-elle choisir ?
1) \(a = 200\,000 \times \dfrac{0{,}042}{1 - 1{,}042^{-8}}\).
\(1{,}042^{-8} = \dfrac{1}{1{,}042^8} \approx \dfrac{1}{1{,}3907} \approx 0{,}7191\).
\(a = 200\,000 \times \dfrac{0{,}042}{1 - 0{,}7191} = 200\,000 \times \dfrac{0{,}042}{0{,}2809} \approx 29\,904\) €.
2)
| Année | Capital début | Intérêts (4,2 %) | Amortissement | Annuité |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 200 000 | 8 400 | 21 504 | 29 904 |
| 2 | 178 496 | 7 497 | 22 407 | 29 904 |
| 3 | 156 089 | 6 556 | 23 348 | 29 904 |
3) Total remboursé : \(8 \times 29\,904 = 239\,232\) €. Coût du crédit : \(239\,232 - 200\,000 = 39\,232\) €.
4) On cherche \(n\) tel que \(a \leq 30\,000\), soit \(200\,000 \times \dfrac{0{,}042}{1 - 1{,}042^{-n}} \leq 30\,000\).
\(\dfrac{0{,}042}{1 - 1{,}042^{-n}} \leq 0{,}15 \Rightarrow 1 - 1{,}042^{-n} \geq 0{,}28 \Rightarrow 1{,}042^{-n} \leq 0{,}72\).
\(-n \ln(1{,}042) \leq \ln(0{,}72) \Rightarrow n \geq \dfrac{-\ln(0{,}72)}{\ln(1{,}042)} = \dfrac{0{,}3285}{0{,}04114} \approx 7{,}98\).
Il faut au minimum 8 ans (ce qui est cohérent avec la question 1).
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 6\).
1) Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\).
2) On admet que \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\). Déterminer \(\ell\) en résolvant \(\ell = 0{,}7\,\ell + 6\).
3) On pose \(v_n = u_n - \ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
4) En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
5) Retrouver la limite de \((u_n)\) à partir de l'expression explicite.
1) \(u_1 = 0{,}7 \times 10 + 6 = 13\), \(u_2 = 0{,}7 \times 13 + 6 = 15{,}1\), \(u_3 = 0{,}7 \times 15{,}1 + 6 = 16{,}57\), \(u_4 = 0{,}7 \times 16{,}57 + 6 \approx 17{,}60\).
2) \(\ell = 0{,}7\ell + 6 \Rightarrow 0{,}3\ell = 6 \Rightarrow \ell = 20\).
3) \(v_n = u_n - 20\). Calculons \(v_{n+1}\) :
\(v_{n+1} = u_{n+1} - 20 = 0{,}7\,u_n + 6 - 20 = 0{,}7\,u_n - 14 = 0{,}7(u_n - 20) = 0{,}7\,v_n\).
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}7\) et de premier terme \(v_0 = u_0 - 20 = -10\).
4) \(v_n = -10 \times 0{,}7^n\), donc \(u_n = v_n + 20\), soit :
\[\boxed{u_n = 20 - 10 \times 0{,}7^n}\]
5) \(|0{,}7| < 1\), donc \(0{,}7^n \to 0\) quand \(n \to +\infty\). Ainsi \(u_n \to 20 - 0 = 20\). On retrouve \(\ell = 20\).
La chaudière d'un immeuble de bureaux tombe en panne. La température intérieure, initialement à 21 °C, diminue selon le modèle :
\[T_n = T_{\text{ext}} + (T_0 - T_{\text{ext}}) \times q^n\]
où \(T_{\text{ext}} = 2\) °C et \(q = 0{,}88\) (\(n\) en heures).
1) Exprimer \(T_n\) numériquement.
2) Compléter le tableau pour \(n = 0, 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20\).
3) Déterminer la limite de \(T_n\) quand \(n \to +\infty\). Interpréter.
4) Au bout de combien d'heures la température passera-t-elle sous 14 °C ? (Utiliser la calculatrice ou le logarithme.)
5) Le technicien doit intervenir avant que la température ne descende sous 10 °C pour éviter le gel des canalisations. De combien de temps dispose-t-il ?
1) \(T_n = 2 + 19 \times 0{,}88^n\).
2)
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(T_n\) (°C) | 21,0 | 18,7 | 16,7 | 14,9 | 12,0 | 7,3 | 4,8 | 3,5 |
3) \(|0{,}88| < 1\), donc \(0{,}88^n \to 0\). Ainsi \(T_n \to 2\) °C. La température intérieure tend vers la température extérieure.
4) \(T_n < 14 \Leftrightarrow 2 + 19 \times 0{,}88^n < 14 \Leftrightarrow 0{,}88^n < \dfrac{12}{19}\).
\(n > \dfrac{\ln(12/19)}{\ln(0{,}88)} = \dfrac{-0{,}4595}{-0{,}1278} \approx 3{,}6\).
La température passe sous 14 °C après environ 4 heures.
5) \(T_n < 10 \Leftrightarrow 0{,}88^n < \dfrac{8}{19} \Rightarrow n > \dfrac{\ln(8/19)}{\ln(0{,}88)} = \dfrac{-0{,}8649}{-0{,}1278} \approx 6{,}8\).
Le technicien dispose d'environ 6 heures et 48 minutes avant que la température ne passe sous 10 °C.
Lever l'indétermination et calculer les limites suivantes :
a) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^3 - 2n^2 + 1}{5n^3 + 3n}\)
b) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 3n} - n\right)\)
c) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3^n + 2^n}{3^n - 2^n}\)
a) On factorise par \(n^3\) : \(\dfrac{n^3(1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3})}{n^3(5 + \frac{3}{n^2})} \to \dfrac{1}{5}\).
b) Forme \(\infty - \infty\). On multiplie par l'expression conjuguée :
\(\sqrt{n^2 + 3n} - n = \dfrac{(n^2 + 3n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 3n} + n} = \dfrac{3n}{\sqrt{n^2 + 3n} + n}\).
On factorise par \(n\) : \(\dfrac{3n}{n(\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + 1)} = \dfrac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + 1} \to \dfrac{3}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}\).
c) Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(3^n\) :
\(\dfrac{3^n(1 + (2/3)^n)}{3^n(1 - (2/3)^n)}\). Comme \((2/3)^n \to 0\), on obtient \(\dfrac{1 + 0}{1 - 0} = 1\).
Un bassin de rétention d'eaux pluviales contient initialement 500 mg/L de polluant. Chaque jour, un système de filtration élimine 15 % du polluant, mais les eaux de ruissellement apportent 20 mg/L de polluant supplémentaire.
On note \(P_n\) la concentration (en mg/L) au jour \(n\).
1) Justifier que \(P_{n+1} = 0{,}85\,P_n + 20\).
2) Calculer les concentrations \(P_0\) à \(P_5\).
3) Déterminer la limite \(\ell\) de \((P_n)\) en admettant sa convergence.
4) Poser \(v_n = P_n - \ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et en déduire l'expression de \(P_n\).
5) Au bout de combien de jours la concentration sera-t-elle inférieure à 150 mg/L ?
6) La norme autorise une concentration maximale de 140 mg/L pour le rejet dans le milieu naturel. Le système de filtration est-il suffisant à long terme ?
1) Chaque jour, il reste 85 % du polluant (filtration de 15 %) et on ajoute 20 mg/L. D'où : \(P_{n+1} = 0{,}85\,P_n + 20\).
2) \(P_0 = 500\), \(P_1 = 0{,}85 \times 500 + 20 = 445\), \(P_2 = 0{,}85 \times 445 + 20 = 398{,}25\), \(P_3 \approx 358{,}51\), \(P_4 \approx 324{,}73\), \(P_5 \approx 296{,}02\).
3) \(\ell = 0{,}85\,\ell + 20 \Rightarrow 0{,}15\,\ell = 20 \Rightarrow \ell = \dfrac{20}{0{,}15} = \dfrac{400}{3} \approx 133{,}3\) mg/L.
4) \(v_n = P_n - \dfrac{400}{3}\). On vérifie : \(v_{n+1} = P_{n+1} - \dfrac{400}{3} = 0{,}85\,P_n + 20 - \dfrac{400}{3} = 0{,}85\left(P_n - \dfrac{400}{3}\right) = 0{,}85\,v_n\).
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}85\) et \(v_0 = 500 - \dfrac{400}{3} = \dfrac{1100}{3}\).
\(v_n = \dfrac{1100}{3} \times 0{,}85^n\), donc \(P_n = \dfrac{400}{3} + \dfrac{1100}{3} \times 0{,}85^n = \dfrac{400 + 1100 \times 0{,}85^n}{3}\).
5) \(P_n < 150 \Leftrightarrow \dfrac{400 + 1100 \times 0{,}85^n}{3} < 150 \Leftrightarrow 1100 \times 0{,}85^n < 50 \Leftrightarrow 0{,}85^n < \dfrac{1}{22}\).
\(n > \dfrac{\ln(1/22)}{\ln(0{,}85)} = \dfrac{-3{,}0910}{-0{,}1625} \approx 19{,}0\).
La concentration sera inférieure à 150 mg/L à partir du 20e jour.
6) La limite est \(\ell \approx 133{,}3\) mg/L \(< 140\) mg/L. Le système de filtration est suffisant à long terme : la concentration se stabilisera en dessous de la norme.
Un entrepreneur du bâtiment hésite entre deux offres pour financer l'achat d'un chariot élévateur à 40 000 € :
1) Calculer le montant de l'annuité pour chaque offre.
2) Calculer le coût total du crédit pour chaque offre.
3) Quelle offre est la moins coûteuse en termes d'intérêts ? Quel autre critère pourrait influencer le choix ?
Offre A :
\(a_A = 40\,000 \times \dfrac{0{,}03}{1 - 1{,}03^{-5}} = 40\,000 \times \dfrac{0{,}03}{1 - 0{,}8626} = 40\,000 \times \dfrac{0{,}03}{0{,}1374} \approx 8\,734\) €.
Coût total : \(5 \times 8\,734 = 43\,670\) €. Intérêts : \(43\,670 - 40\,000 = 3\,670\) €.
Offre B :
\(a_B = 40\,000 \times \dfrac{0{,}025}{1 - 1{,}025^{-7}} = 40\,000 \times \dfrac{0{,}025}{1 - 0{,}8413} = 40\,000 \times \dfrac{0{,}025}{0{,}1587} \approx 6\,302\) €.
Coût total : \(7 \times 6\,302 = 44\,114\) €. Intérêts : \(44\,114 - 40\,000 = 4\,114\) €.
3) L'offre A coûte 3 670 € d'intérêts contre 4 114 € pour l'offre B. L'offre A est la moins coûteuse en intérêts.
Cependant, l'offre B a une annuité plus faible (6 302 € vs 8 734 €), ce qui réduit la charge annuelle. Si la trésorerie de l'entreprise est tendue, l'offre B peut être préférable malgré un coût total supérieur.
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\).
1) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) (valeurs approchées au centième).
2) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite.
3) Montrer par récurrence que, pour tout \(n \geq 0\), \(0 \leq u_n \leq 3\).
4) Montrer que la suite est croissante en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
5) En déduire que la suite converge, puis déterminer sa limite.
1) \(u_1 = \sqrt{2 \times 1 + 3} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\), \(u_2 = \sqrt{2 \times 2{,}236 + 3} = \sqrt{7{,}472} \approx 2{,}73\), \(u_3 = \sqrt{2 \times 2{,}733 + 3} = \sqrt{8{,}466} \approx 2{,}91\).
2) La suite semble croissante et converger vers 3.
3) Initialisation : \(u_0 = 1 \in [0\,;3]\). Vrai.
Hérédité : Supposons \(0 \leq u_n \leq 3\). Alors \(0 \leq 2u_n \leq 6\), donc \(3 \leq 2u_n + 3 \leq 9\), d'où \(\sqrt{3} \leq \sqrt{2u_n + 3} \leq 3\).
Comme \(\sqrt{3} > 0\), on a bien \(0 \leq u_{n+1} \leq 3\). La propriété est héréditaire.
4) On étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n + 3} - u_n\).
Posons \(f(x) = \sqrt{2x + 3} - x\). Étudions le signe de \(f\) sur \([0\,;3]\).
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2x + 3} = x \Leftrightarrow 2x + 3 = x^2\) (avec \(x \geq 0\)) \(\Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\).
\(\Delta = 16\), \(x = 3\) ou \(x = -1\). Comme \(u_n \in [0\,;3[\) (strictement, pour \(n \geq 0\), \(u_n < 3\)) et \(f(0) = \sqrt{3} > 0\), on a \(f(u_n) > 0\) pour \(u_n \in [0\,;3[\).
Donc \(u_{n+1} - u_n > 0\) : la suite est strictement croissante.
5) La suite est croissante et majorée par 3, donc elle converge (théorème de convergence monotone).
Soit \(\ell\) sa limite. Par passage à la limite : \(\ell = \sqrt{2\ell + 3}\), soit \(\ell^2 = 2\ell + 3\), donc \(\ell^2 - 2\ell - 3 = 0\).
Solutions : \(\ell = 3\) ou \(\ell = -1\). Comme tous les termes sont positifs, \(\ell \geq 0\), d'où \(\boxed{\ell = 3}\).
Un technicien en énergie installe des panneaux solaires sur le toit d'un entrepôt. Le coût d'installation est de 18 000 €. La première année, les panneaux permettent une économie de 2 400 € sur la facture d'électricité. Cependant, le rendement des panneaux diminue de 1,5 % par an.
On note \(E_n\) l'économie réalisée lors de la \(n\)-ième année (\(n \geq 1\)).
1) Justifier que \((E_n)\) est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
2) Exprimer \(E_n\) en fonction de \(n\).
3) Calculer l'économie totale cumulée sur les \(n\) premières années : \(S_n = E_1 + E_2 + \cdots + E_n\).
4) Déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'investissement soit rentabilisé (\(S_n \geq 18\,000\)).
5) Calculer l'économie totale théorique sur une durée infinie. L'investissement est-il toujours rentable ?
6) Un concurrent propose des panneaux à 15 000 € avec une économie initiale de 1 900 € et une perte de rendement de 1 % par an. Quelle offre est la plus avantageuse à long terme ?
1) Chaque année, le rendement est multiplié par \(1 - 0{,}015 = 0{,}985\). Donc \(E_{n+1} = 0{,}985 \times E_n\).
\((E_n)\) est géométrique de premier terme \(E_1 = 2\,400\) et de raison \(q = 0{,}985\).
2) \(E_n = 2\,400 \times 0{,}985^{n-1}\).
3) \(S_n = E_1 + E_2 + \cdots + E_n = 2\,400 \times \dfrac{1 - 0{,}985^n}{1 - 0{,}985} = 2\,400 \times \dfrac{1 - 0{,}985^n}{0{,}015} = 160\,000 \times (1 - 0{,}985^n)\).
4) \(S_n \geq 18\,000 \Leftrightarrow 160\,000(1 - 0{,}985^n) \geq 18\,000 \Leftrightarrow 1 - 0{,}985^n \geq 0{,}1125\).
\(0{,}985^n \leq 0{,}8875 \Rightarrow n \geq \dfrac{\ln(0{,}8875)}{\ln(0{,}985)} = \dfrac{-0{,}1193}{-0{,}01511} \approx 7{,}9\).
L'investissement est rentabilisé au bout de 8 ans.
5) \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = 160\,000 \times (1 - 0) = 160\,000\) €.
L'économie totale théorique est de 160 000 €, très largement supérieure au coût de 18 000 €. L'investissement est très rentable.
6) Offre concurrente : \(E'_n = 1\,900 \times 0{,}99^{n-1}\).
\(S'_{\infty} = \dfrac{1\,900}{1 - 0{,}99} = \dfrac{1\,900}{0{,}01} = 190\,000\) €.
Gain net offre 1 : \(160\,000 - 18\,000 = 142\,000\) €. Gain net offre 2 : \(190\,000 - 15\,000 = 175\,000\) €.
L'offre 2 est plus avantageuse à long terme avec un gain net supérieur de 33 000 €, malgré une économie annuelle initiale plus faible.
Un technicien en génie climatique modélise la concentration résiduelle d'un produit de traitement dans un circuit de chauffage. Après chaque purge hebdomadaire, la concentration est multipliée par \(0{,}88\). La concentration initiale est de 500 mg/L.
On pose \(C_n = 500 \times 0{,}88^n\) la concentration après \(n\) purges.
1) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au dixième) :
| \(n\) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C_n\) | 500 | … | … | … | … | … | … |
2) La norme impose que la concentration soit inférieure à 50 mg/L avant le rejet. Déterminer, à l'aide d'un tableur ou d'un algorithme, le nombre minimal de purges nécessaires.
3) Tableur : Décrire la feuille de calcul que vous utiliseriez (contenu des cellules A1, B1, A2, B2, formule à recopier).
4) Algorithme : Écrire un programme Python qui affiche le rang \(n\) cherché.
5) Vérifier le résultat par le calcul algébrique (logarithme).
1)
| \(n\) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C_n\) | 500,0 | 263,7 | 139,0 | 73,3 | 38,6 | 20,4 | 10,7 |
2) On cherche le plus petit \(n\) tel que \(C_n < 50\).
En testant : \(C_{17} = 500 \times 0{,}88^{17} \approx 55{,}6\) et \(C_{18} = 500 \times 0{,}88^{18} \approx 48{,}9 < 50\).
Il faut au minimum 18 purges.
3) Tableur :
A1 : n | B1 : C_n |
A2 : 0 | B2 : 500 |
A3 : =A2+1 | B3 : =500*0,88^A3 |
On recopie la ligne 3 vers le bas et on cherche la première valeur de B inférieure à 50.
4) Programme Python :
n = 0
C = 500
while C >= 50:
n = n + 1
C = 500 * 0.88**n
print("Nombre minimal de purges :", n)Résultat affiché : Nombre minimal de purges : 18
5) \(500 \times 0{,}88^n < 50 \Leftrightarrow 0{,}88^n < 0{,}1 \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}88)} = \dfrac{-2{,}3026}{-0{,}1278} \approx 18{,}02\).
On retrouve bien \(n = 18\). ✓
Un bassin de rétention contient initialement 400 mg/L de polluant. Chaque jour, un système de filtration élimine 12 % du polluant, mais l'apport quotidien est de 15 mg/L. On modélise la concentration par :
\[P_0 = 400 \quad \text{et} \quad P_{n+1} = 0{,}88\,P_n + 15\]
1) Calculer \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\) (arrondir au dixième).
2) Déterminer la limite \(\ell\) de cette suite (en admettant sa convergence).
3) Cette suite n'étant pas explicite, on ne peut pas résoudre algébriquement \(P_n < 150\). Écrire un algorithme en Python qui détermine à partir de quel jour \(n\) la concentration passe sous 150 mg/L.
4) Adapter l'algorithme pour afficher le tableau des valeurs \(P_0, P_1, \ldots\) jusqu'au rang trouvé.
1) \(P_1 = 0{,}88 \times 400 + 15 = 367{,}0\), \(P_2 = 0{,}88 \times 367 + 15 = 338{,}0\), \(P_3 = 0{,}88 \times 338 + 15 \approx 312{,}4\).
2) \(\ell = 0{,}88\,\ell + 15 \Rightarrow 0{,}12\,\ell = 15 \Rightarrow \ell = 125\) mg/L.
3) Programme Python :
n = 0
P = 400
while P >= 150:
n = n + 1
P = 0.88 * P + 15
print("La concentration passe sous 150 mg/L au jour", n)Résultat affiché : La concentration passe sous 150 mg/L au jour 19
4) Algorithme avec affichage du tableau :
n = 0
P = 400
print(f"n = {n}, P = {P:.1f}")
while P >= 150:
n = n + 1
P = 0.88 * P + 15
print(f"n = {n}, P = {P:.1f}")
print("Seuil atteint au jour", n)Résultat :
n = 0, P = 400.0
n = 1, P = 367.0
n = 2, P = 338.0
n = 3, P = 312.4
n = 4, P = 289.9
n = 5, P = 270.1
n = 6, P = 252.7
n = 7, P = 237.4
n = 8, P = 223.9
n = 9, P = 212.0
n = 10, P = 201.6
n = 11, P = 192.4
n = 12, P = 184.3
n = 13, P = 177.2
n = 14, P = 170.9
n = 15, P = 165.4
n = 16, P = 160.6
n = 17, P = 156.3
n = 18, P = 152.5
n = 19, P = 149.2
Seuil atteint au jour 19Note : La suite définie par récurrence nécessite de calculer chaque terme l'un après l'autre. C'est pourquoi l'approche algorithmique est indispensable ici, contrairement à une suite explicite où on peut utiliser le logarithme.