Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Soit \((u_n)\) la suite définie de façon explicite par \(u_n = 2n^2 - 3n + 5\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_5\).
On remplace \(n\) par chaque valeur :
\(u_0 = 0 - 0 + 5 = 5\).
\(u_1 = 2 - 3 + 5 = 4\).
\(u_2 = 2\times 4 - 6 + 5 = 8 - 6 + 5 = 7\).
\(u_5 = 2\times 25 - 15 + 5 = 50 - 15 + 5 = 40\).
Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = 4\) et \(v_{n+1} = 3v_n - 5\). Calculer \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
On applique la relation de récurrence pas à pas :
\(v_1 = 3\times 4 - 5 = 12 - 5 = 7\).
\(v_2 = 3\times 7 - 5 = 21 - 5 = 16\).
\(v_3 = 3\times 16 - 5 = 48 - 5 = 43\).
Soit \((w_n)\) définie par \(w_n = \dfrac{n+1}{2n+1}\). Calculer \(w_0\), \(w_1\), \(w_4\) et \(w_{10}\) sous forme de fractions, puis en valeur approchée.
\(w_0 = \dfrac{1}{1} = 1\).
\(w_1 = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\).
\(w_4 = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556\).
\(w_{10} = \dfrac{11}{21} \approx 0{,}524\).
Une suite récurrente modélise un capital qui rapporte des intérêts mais subit un retrait fixe : \(C_0 = 1\,000\) et \(C_{n+1} = 1{,}05\,C_n - 60\) (en euros). Calculer \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\) (arrondir au centime).
\(C_1 = 1{,}05\times 1\,000 - 60 = 1\,050 - 60 = 990\) €.
\(C_2 = 1{,}05\times 990 - 60 = 1\,039{,}5 - 60 = 979{,}50\) €.
\(C_3 = 1{,}05\times 979{,}5 - 60 = 1\,028{,}475 - 60 = 968{,}48\) € (arrondi).
On considère la suite \((a_n)\) définie par \(a_0 = 2\), \(a_1 = 3\) et \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\) (suite de type Fibonacci). Calculer les termes jusqu'à \(a_6\).
Chaque terme est la somme des deux précédents :
\(a_2 = 3 + 2 = 5\) ; \(a_3 = 5 + 3 = 8\) ; \(a_4 = 8 + 5 = 13\) ; \(a_5 = 13 + 8 = 21\) ; \(a_6 = 21 + 13 = 34\).
Pour chacune des suites suivantes, indiquer si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre. Préciser la raison le cas échéant.
Une suite arithmétique \((u_n)\) a pour premier terme \(u_0 = 7\) et pour raison \(r = -2\).
Un artisan place 8 000 € sur un compte rémunéré à 3 % par an (intérêts composés). On note \(C_n\) le capital après \(n\) années.
Une suite géométrique \((v_n)\) vérifie \(v_2 = 12\) et \(v_5 = 96\).
La population d'une espèce diminue de 12 % par an. En 2024 elle compte 5 000 individus. On note \(P_n\) le nombre d'individus \(n\) années après 2024.
Calculer la somme \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 200\).
Suite arithmétique de raison 1 : 200 termes, premier \(1\), dernier \(200\).
\(S = \dfrac{200\times(1 + 200)}{2} = \dfrac{200\times 201}{2} = 20\,100\).
Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_0 = 5\) et \(r = 4\). Calculer \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}\).
Il y a \(11\) termes (de \(u_0\) à \(u_{10}\)).
Dernier terme : \(u_{10} = 5 + 10\times 4 = 45\).
\(S = \dfrac{11\times(5 + 45)}{2} = \dfrac{11\times 50}{2} = 275\).
Calculer la somme \(S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 1024\) (puissances successives de 2).
Suite géométrique de premier terme \(1\), raison \(q = 2\). Comme \(1024 = 2^{10}\), la somme va de \(2^0\) à \(2^{10}\), soit \(11\) termes.
\(S = 1\times\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047\).
Soit \((v_n)\) géométrique de premier terme \(v_0 = 3\) et de raison \(q = 0{,}5\). Calculer \(S = v_0 + v_1 + \cdots + v_5\) (6 termes).
6 termes, \(q = 0{,}5 \neq 1\) :
\(S = 3\times\dfrac{1 - 0{,}5^{6}}{1 - 0{,}5} = 3\times\dfrac{1 - 0{,}015625}{0{,}5} = 3\times\dfrac{0{,}984375}{0{,}5}\).
\(S = 3\times 1{,}96875 = 5{,}90625\).
Un salarié épargne chaque mois sur un livret. Le premier mois il verse 50 €, puis augmente son versement de 10 € chaque mois (60 €, 70 €, …) pendant 12 mois. Quel est le total versé au bout d'un an ?
Les versements forment une suite arithmétique : premier terme \(50\), raison \(10\), 12 termes.
Dernier versement : \(50 + 11\times 10 = 160\) €.
\(S = \dfrac{12\times(50 + 160)}{2} = \dfrac{12\times 210}{2} = 1\,260\) €.
Un investissement rapporte des loyers annuels formant une suite géométrique : 10 000 € la première année, puis +5 % chaque année pendant 8 ans. Calculer le total des loyers perçus (arrondir à l'euro).
Suite géométrique : premier terme \(10\,000\), raison \(q = 1{,}05\), 8 termes.
\(S = 10\,000\times\dfrac{1 - 1{,}05^{8}}{1 - 1{,}05}\).
\(1{,}05^{8} \approx 1{,}477455\), donc \(S = 10\,000\times\dfrac{1 - 1{,}477455}{-0{,}05} = 10\,000\times\dfrac{-0{,}477455}{-0{,}05}\).
\(S = 10\,000\times 9{,}5491 \approx 95\,491\) €.
Indiquer le sens de variation des suites suivantes en justifiant brièvement :
Étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 - 6n\) pour \(n \geq 0\) en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
\(u_{n+1} - u_n = \big[(n+1)^2 - 6(n+1)\big] - \big[n^2 - 6n\big]\).
\(= (n^2 + 2n + 1 - 6n - 6) - (n^2 - 6n) = 2n + 1 - 6 = 2n - 5\).
Signe de \(2n - 5\) : négatif pour \(n \leq 2\) (\(n=0,1,2\)), positif pour \(n \geq 3\).
La suite décroît de \(n=0\) à \(n=3\) puis croît ensuite : elle n'est pas monotone.
Soit \((u_n)\) la suite à termes strictement positifs définie par \(u_n = \dfrac{2^n}{n+1}\). En étudiant le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\), montrer que la suite est croissante pour \(n \geq 1\).
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{n+2}\times\dfrac{n+1}{2^n} = 2\times\dfrac{n+1}{n+2}\).
On compare ce rapport à \(1\) : \(2\times\dfrac{n+1}{n+2} \geq 1 \Leftrightarrow 2(n+1) \geq n+2 \Leftrightarrow 2n + 2 \geq n + 2 \Leftrightarrow n \geq 0\).
Le rapport est donc \(\geq 1\) pour tout \(n \geq 0\) (et même \(\gt 1\) dès \(n \geq 1\)). Comme les termes sont positifs, la suite est croissante.
Soit \((u_n)\) définie par \(u_n = \dfrac{4n + 1}{n + 1}\). Montrer qu'elle est croissante en étudiant \(u_{n+1} - u_n\).
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{4(n+1)+1}{(n+1)+1} - \dfrac{4n+1}{n+1} = \dfrac{4n+5}{n+2} - \dfrac{4n+1}{n+1}\).
Au même dénominateur :
\(= \dfrac{(4n+5)(n+1) - (4n+1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}\).
Numérateur : \((4n^2 + 9n + 5) - (4n^2 + 9n + 2) = 3\).
Donc \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{3}{(n+2)(n+1)} > 0\) pour tout \(n \geq 0\) : la suite est strictement croissante.
Déterminer la limite de chaque suite :
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{7n - 2}{3n + 5}\).
Forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(n\) :
\(\dfrac{7n - 2}{3n + 5} = \dfrac{n(7 - \frac{2}{n})}{n(3 + \frac{5}{n})} = \dfrac{7 - \frac{2}{n}}{3 + \frac{5}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \dfrac{7}{3}\).
La suite converge vers \(\dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{2n^2 + 3}{5n + 1}\).
Le degré du numérateur (2) est supérieur à celui du dénominateur (1). Le terme dominant est \(\dfrac{2n^2}{5n} = \dfrac{2n}{5}\).
\(\dfrac{2n^2 + 3}{5n + 1} = \dfrac{n^2(2 + \frac{3}{n^2})}{n(5 + \frac{1}{n})} = \dfrac{n(2 + \frac{3}{n^2})}{5 + \frac{1}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty\).
La suite diverge vers \(+\infty\).
Une suite géométrique vérifie \(u_n = 200 \times 0{,}9^n\). Déterminer sa limite, puis utiliser un algorithme ou un tableur pour trouver le plus petit rang \(n\) tel que \(u_n < 20\).
Limite : \(|0{,}9| < 1\) donc \(0{,}9^n \to 0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\).
Seuil : on cherche \(200\times 0{,}9^n < 20\), soit \(0{,}9^n < 0{,}1\).
Par le calcul : \(n > \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}9)} \approx \dfrac{-2{,}3026}{-0{,}10536} \approx 21{,}85\).
Vérification : \(u_{21} = 200\times 0{,}9^{21} \approx 200\times 0{,}10942 \approx 21{,}9 > 20\) et \(u_{22} = 200\times 0{,}9^{22} \approx 200\times 0{,}098477 \approx 19{,}7 < 20\).
Le plus petit rang est donc \(n = 22\).
On considère la suite \(u_n = 50 \times 0{,}8^n + 12\), qui modélise la température (en °C) d'une pièce qui se refroidit vers une consigne. Déterminer la limite et l'interpréter.
\(|0{,}8| < 1\) donc \(0{,}8^n \to 0\), d'où \(50\times 0{,}8^n \to 0\).
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0 + 12 = 12\).
La température se stabilise à long terme à 12 °C : c'est la valeur de consigne (ou la température extérieure) vers laquelle tend la pièce.