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Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un atelier de fabrication de palettes industrielles met en place un suivi mensuel de sa production. Le mois de référence (mois n° 0), l'atelier produit 420 palettes. Grâce à l'embauche progressive de personnel, la production augmente ensuite de 35 palettes chaque mois par rapport au mois précédent.
On note \((u_n)\) le nombre de palettes produites le mois n° \(n\) (avec \(u_0 = 420\)).
1. Justifier que \((u_n)\) est une suite arithmétique et préciser sa raison \(r\). En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). (1,5 pt)
2. Calculer \(u_{11}\), c'est-à-dire la production du 12e mois de suivi. (1 pt)
3. Calculer la production totale de l'atelier sur les 12 premiers mois de suivi, c'est-à-dire la somme \(u_0 + u_1 + \cdots + u_{11}\). (1,5 pt)
4. Sans calculer d'autres termes, justifier le sens de variation de \((u_n)\) puis donner sa limite en \(+\infty\). (1 pt)
1. On passe d'un mois au suivant en ajoutant toujours 35 palettes : \(u_{n+1} = u_n + 35\) pour tout \(n\). C'est donc bien une suite arithmétique de raison \(r = 35\) et de premier terme \(u_0 = 420\).
D'après la propriété du terme général : \(u_n = u_0 + n\,r = 420 + 35\,n\).
2. \(u_{11} = 420 + 35 \times 11 = 420 + 385 = 805\) palettes.
3. La somme \(u_0 + u_1 + \cdots + u_{11}\) comporte 12 termes, du premier terme \(u_0 = 420\) au dernier terme \(u_{11} = 805\).
\(S = \dfrac{12 \times (u_0 + u_{11})}{2} = \dfrac{12 \times (420 + 805)}{2} = \dfrac{12 \times 1\,225}{2} = 6 \times 1\,225 = 7\,350\) palettes.
4. La raison \(r = 35 > 0\), donc la suite arithmétique \((u_n)\) est strictement croissante (propriété du cours : une suite arithmétique est croissante si et seulement si \(r > 0\)).
De plus, une suite arithmétique non constante diverge toujours : comme \(r > 0\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
Un gestionnaire place un capital de 15 000 € sur un compte rémunéré à intérêts composés, au taux annuel de 2,5 %. On note \(C_n\) le capital disponible (en euros) après \(n\) années, avec \(C_0 = 15\,000\).
1. Justifier que \((C_n)\) est une suite géométrique et préciser sa raison \(q\). (1 pt)
2. Exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)
3. Calculer \(C_{12}\), le capital disponible après 12 ans (arrondir au centime). (2 pts)
4. Calculer la somme \(C_0 + C_1 + \cdots + C_{11}\) (arrondir au centime). Ce nombre représente le cumul des capitaux disponibles en fin de chacune des 12 premières années — une grandeur utile, par exemple, pour un calcul de moyenne ou un contrôle fiscal. (2 pts)
1. Chaque année, le capital est multiplié par \(1 + 0{,}025 = 1{,}025\) : \(C_{n+1} = 1{,}025 \times C_n\). C'est donc une suite géométrique de raison \(q = 1{,}025\) et de premier terme \(C_0 = 15\,000\).
2. D'après la propriété du terme général : \(C_n = C_0 \times q^n = 15\,000 \times 1{,}025^n\).
3. \(C_{12} = 15\,000 \times 1{,}025^{12}\). Or \(1{,}025^{12} \approx 1{,}344889\).
Donc \(C_{12} \approx 15\,000 \times 1{,}344889 \approx 20\,173{,}34\) €.
4. La somme comporte 12 termes (de \(C_0\) à \(C_{11}\)) :
\(S = C_0 \times \dfrac{1 - q^{12}}{1 - q} = 15\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}344889}{1 - 1{,}025} = 15\,000 \times \dfrac{-0{,}344889}{-0{,}025} = 15\,000 \times 13{,}79556\)
\(S \approx 206\,933{,}40\) €.
Comme \(q = 1{,}025 > 1\) et \(C_0 > 0\), la suite \((C_n)\) est croissante et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} C_n = +\infty\) : le capital croît indéfiniment tant que le placement est maintenu.
Un ingénieur qualité surveille la concentration en polluant d'un bassin de traitement des eaux après une opération de dépollution. À l'instant \(n = 0\) (juste après l'opération), la concentration mesurée est de 250 mg/L. Chaque jour, cette concentration diminue de 6 % par rapport à la veille, sous l'effet du traitement biologique continu.
On note \((c_n)\) la concentration (en mg/L) mesurée le jour \(n\), avec \(c_0 = 250\).
1. Justifier que \((c_n)\) est une suite géométrique et donner sa raison \(q\). En déduire l'expression de \(c_n\) en fonction de \(n\). (1,5 pt)
2. Justifier, sans calcul supplémentaire, que \((c_n)\) est convergente et donner sa limite. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (1 pt)
3. La réglementation impose de ne rejeter l'eau du bassin qu'à partir du moment où la concentration passe strictement en dessous de 10 mg/L. On souhaite déterminer le plus petit rang \(n\) tel que \(c_n < 10\).
Compléter l'algorithme suivant, écrit en langage Python, pour répondre à cette question : (1,5 pt)
n = 0
c = 250
while ......... :
n = n + 1
c = ...........
print("Le plus petit rang est n =", n)4. On donne le résultat de l'exécution : \(c_{52} \approx 10{,}02\) mg/L et \(c_{53} \approx 9{,}42\) mg/L. Conclure : à partir de quel jour l'eau du bassin peut-elle être rejetée ? (1 pt)
1. Chaque jour, la concentration est multipliée par \(1 - 0{,}06 = 0{,}94\) : \(c_{n+1} = 0{,}94 \times c_n\). C'est une suite géométrique de raison \(q = 0{,}94\) et de premier terme \(c_0 = 250\).
D'après la propriété du terme général : \(c_n = c_0 \times q^n = 250 \times 0{,}94^n\).
2. On a \(-1 < q < 1\) (car \(q = 0{,}94\)), donc d'après la propriété du cours sur les limites des suites géométriques, \((c_n)\) converge vers 0 : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} c_n = 0\).
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que la concentration en polluant tend à disparaître complètement si le traitement se poursuit indéfiniment.
3. On cherche le plus petit rang \(n\) tel que \(c_n < 10\), donc la boucle doit se poursuivre tant que \(c \geq 10\), et à chaque passage on doit recalculer \(c\) en appliquant la raison \(0{,}94\) :
n = 0
c = 250
while c >= 10 :
n = n + 1
c = c * 0.94
print("Le plus petit rang est n =", n)4. Comme \(c_{52} \approx 10{,}02 \geq 10\) et \(c_{53} \approx 9{,}42 < 10\), le plus petit rang vérifiant \(c_n < 10\) est \(n = 53\).
L'eau du bassin peut donc être rejetée à partir du 53e jour suivant l'opération de dépollution.
Les quatre questions suivantes sont indépendantes.
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{6n - 5}{2n + 9}\). (1 pt)
2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 - 4}{5n + 1}\). (1 pt)
3. Soit \((a_n)\) la suite définie par \(a_n = 2 \times (0{,}85)^n + 4\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n\). (1 pt)
4. Soit \((b_n)\) une suite croissante telle que, pour tout entier \(n\), \(b_n \leq 100\). Que peut-on affirmer sur la convergence de \((b_n)\) ? Énoncer précisément le théorème utilisé. (1 pt)
1. Les termes dominants sont \(6n\) et \(2n\) : \(\dfrac{6n - 5}{2n + 9} = \dfrac{n\left(6 - \frac{5}{n}\right)}{n\left(2 + \frac{9}{n}\right)} = \dfrac{6 - \frac{5}{n}}{2 + \frac{9}{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \dfrac{6}{2} = 3\).
2. Le degré du numérateur (2) est supérieur au degré du dénominateur (1). Le terme dominant du quotient est \(\dfrac{n^2}{5n} = \dfrac{n}{5} \to +\infty\). La suite diverge vers \(+\infty\).
3. On a \(|0{,}85| < 1\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (0{,}85)^n = 0\) (limite de référence). Par somme et produit de limites : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = 2 \times 0 + 4 = 4\).
4. D'après le théorème de convergence des suites croissantes majorées : toute suite croissante et majorée converge. Ici, \((b_n)\) est croissante et majorée par 100, donc \((b_n)\) converge vers une limite \(\ell \leq 100\) (le théorème ne permet pas de déterminer la valeur exacte de \(\ell\), seulement d'affirmer l'existence de cette limite).