Chapitre 16 – Géométrie dans l'espace

3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Reconnaître un carré, un rectangle, un triangle et un disque (vu au collège).
Placer un point de coordonnées \((2 \,;\, 5)\) dans un repère du plan (chapitre 7).
Lire un angle en degrés : un angle droit mesure 90° (vu au collège).
Calculer un volume avec une formule donnée : je remplace, je calcule, j'écris l'unité (chapitre 13).

Objectifs du chapitre :

C1 – Reconnaître et nommer les solides (pavé, cube, prisme, cylindre, pyramide, cône, boule).
C2 – Lire et représenter un solide en perspective cavalière et reconnaître un patron.
C3 – Reconnaître la nature d'une section plane (pavé, cylindre, cône, pyramide, boule).
C4 – Se repérer dans un pavé droit et sur une sphère (latitude, longitude).
C5 – Calculer un volume en utilisant un formulaire (rappel du chapitre 13).

1. Situation d'entrée — Le pique-nique

Quelles formes dans le sac ?

Nora prépare un pique-nique. Dans son sac, il y a : une brique de jus, une canette, une orange, des cornets pour la glace, un dé pour jouer et un concombre.

Question 1 : quel est le nom mathématique de la forme de chaque objet ?
Question 2 : Nora coupe le concombre en rondelles et l'orange en deux. Quelle forme a la face coupée ?

Pour répondre, il faut connaître les solides et savoir ce qui se passe quand on les coupe. Les réponses sont données dans les sections 2 et 5.

2. Reconnaître et nommer les solides (C1)

Définition Un solide est un objet de l'espace : il a une longueur, une largeur et une hauteur. On peut le prendre dans la main ou tourner autour.

Une face est une surface plate qui limite le solide.
Une arête est un segment où deux faces se touchent.
Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent.

Le vocabulaire sur un pavé droit : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets.

Les 7 solides à connaître On range les solides en deux familles :

les solides qui n'ont que des faces plates : le cube, le pavé droit, le prisme droit, la pyramide ;
les solides qui ont une surface courbe (qui roule) : le cylindre, le cône, la boule.

Les 7 solides du programme. Le cylindre, le cône et la boule ont une surface courbe.

Solide	Comment le reconnaître	Objet de la vie courante
Cube	6 faces carrées, toutes pareilles	un dé à jouer, un glaçon
Pavé droit	6 faces rectangles	une brique de jus, un carton de déménagement
Prisme droit	2 bases pareilles (souvent des triangles) reliées par des rectangles	une tente canadienne, le toit d'un abri de jardin
Pyramide	1 base (souvent un carré) et des triangles qui se rejoignent en un sommet	la pyramide du Louvre, un toit en pointe
Cylindre	2 disques pareils reliés par une surface courbe	une canette, un tuyau, un rouleau
Cône	1 disque et une surface courbe qui monte jusqu'à un sommet	un cornet de glace, un cône de chantier
Boule	toute ronde, aucune face plate	un ballon, une orange, la Terre

Méthode Reconnaître un solide

Je regarde s'il a une surface courbe (il peut rouler) ou seulement des faces plates.

Je regarde s'il a une pointe (un sommet tout seul en haut) : pyramide ou cône.

Je regarde la forme des faces : carrés, rectangles, triangles, disques.

Exemple (réponse à la question 1 de la situation) :

La brique de jus a 6 faces rectangles : c'est un pavé droit.
La canette a 2 disques et une surface courbe : c'est un cylindre.
L'orange est toute ronde : c'est une boule.
Le cornet a un disque et une pointe : c'est un cône.
Le dé a 6 faces carrées : c'est un cube.
Le concombre ressemble à un cylindre (un peu arrondi aux deux bouts).

Attention

Un cube est un pavé droit spécial : toutes ses faces sont des carrés.
Cône ou pyramide ? Les deux ont une pointe. Le cône a une base ronde (un disque), la pyramide une base avec des côtés droits.
Boule ou sphère ? La sphère, c'est seulement la « peau » de la boule. La boule, c'est la sphère avec tout l'intérieur.

À toi

a) Donne le nom du solide : une boîte à chaussures ; une boîte de conserve ; un ballon de foot ; une tente canadienne ; la pyramide du Louvre ; un cône de chantier.
b) Un dé à jouer : combien a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?

a) Boîte à chaussures : pavé droit. Boîte de conserve : cylindre. Ballon : boule. Tente canadienne : prisme droit (à base triangle). Pyramide du Louvre : pyramide (base carrée). Cône de chantier : cône.
b) Le dé est un cube : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets (4 en haut et 4 en bas).

3. Dessiner un solide : la perspective cavalière (C2)

3.1 Les règles de la perspective cavalière

Définition La perspective cavalière est une façon de dessiner un solide sur une feuille plate pour qu'on « voie » sa profondeur. On suit 4 règles :

la face avant est dessinée en vraie grandeur (avec ses vraies mesures) ;
les arêtes qui partent vers l'arrière, les fuyantes, sont dessinées en biais (souvent à 45°) et plus courtes (souvent la moitié) ;
des arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin ;
les arêtes cachées (qu'on ne voit pas) sont dessinées en pointillés.

Méthode Dessiner un pavé droit en perspective cavalière

Je dessine la face avant en vraie grandeur (un rectangle).

Je trace les fuyantes visibles : en biais, parallèles et toutes de la même longueur.

Je relie les bouts des fuyantes. Je trace les arêtes cachées en pointillés.

Exemple : une boîte mesure 4 cm de long, 3 cm de haut et 4 cm de profondeur. On dessine la profondeur réduite de moitié : \(4 : 2 = 2\) cm, à 45°.

Dessiner un pavé en perspective cavalière en 3 étapes.

3.2 Les vues : de face et de dessus

Définition La vue de face est ce qu'on voit quand on regarde le solide bien en face. La vue de dessus est ce qu'on voit quand on le regarde d'en haut. Une vue est une figure plate, sans perspective.

Vues de face et de dessus d'un cylindre debout et d'une pyramide à base carrée.

Attention

En perspective, un angle droit peut sembler penché et un carré ressembler à un losange : sur le dessin, les faces du côté et du dessus ne sont pas en vraie grandeur.
Les fuyantes sont plus courtes que les vraies arêtes : on ne mesure pas une profondeur sur le dessin.
N'oublie pas les pointillés : sans eux, on ne sait pas quelles arêtes sont devant.

À toi

a) Sur le dessin d'un cube en perspective cavalière, combien d'arêtes sont en pointillés ?
b) Une boîte a 6 cm de profondeur. On dessine les fuyantes deux fois plus courtes. Quelle longueur trace-t-on ?
c) Quelle est la vue de dessus d'une canette debout ?
d) Quelle est la vue de face d'un cône posé sur son disque ?

a) 3 arêtes en pointillés : celles qui partent du sommet caché, en bas à gauche, au fond.
b) \(6 : 2 = 3\). On trace 3 cm.
c) D'en haut, on voit le couvercle : un disque.
d) De face, on voit un triangle.

4. Les patrons (C2)

Définition Un patron d'un solide est une figure plate qu'on découpe puis qu'on plie pour fabriquer le solide, sans trou et sans morceau en double. Toutes les faces du solide sont dans le patron, une seule fois chacune.

Un patron se plie le long des côtés communs. Pour le cylindre, le rectangle s'enroule autour des deux disques.

À savoir

Un cube a 11 patrons différents. La croix est le plus connu, mais pas le seul.
Dans le patron d'un cylindre, le rectangle fait le tour du disque : sa longueur est égale au périmètre du disque, \(2 \times \pi \times r\). Sa largeur est la hauteur du cylindre.

Méthode Savoir si une figure est un patron de cube

Je compte les carrés : il en faut exactement 6.

Je choisis un carré comme fond de la boîte. Dans ma tête, je plie les autres carrés autour de lui.

Si deux carrés arrivent au même endroit, ce n'est pas un patron (il y aurait un trou ailleurs).

Exemple : une boîte de conserve a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Quelles sont les mesures du rectangle de son patron (l'étiquette) ?

Longueur du rectangle = périmètre du disque = \(2 \times \pi \times 5 \approx 31{,}4\) cm.

Largeur du rectangle = hauteur de la boîte = 12 cm.

L'étiquette est un rectangle d'environ 31,4 cm sur 12 cm.

Attention

6 carrés collés ne font pas toujours un patron de cube : il faut vérifier en pliant (dans sa tête ou en vrai).
Dans le patron d'un cylindre, la longueur du rectangle n'est pas le diamètre : c'est le périmètre du disque, environ 3 fois plus long.

À toi

a) Parmi les figures A, B et C, lesquelles sont des patrons de cube ?

Trois figures de 6 carrés : lesquelles se plient en cube ?

b) Une canette a un rayon de 3 cm. Dans son patron, quelle est la longueur du rectangle ? Arrondis au dixième.

a) A et C sont des patrons de cube. Dans B, les 4 carrés en ligne font le tour de la boîte ; les deux carrés du dessus se plient tous les deux pour faire le couvercle : ils arrivent au même endroit et il manque le fond. B n'est pas un patron.
b) Longueur = \(2 \times \pi \times 3 \approx 18{,}85\). Le rectangle mesure environ 18,8 cm de long.

5. Couper un solide : les sections planes (C3)

Définition Quand on coupe un solide bien droit avec un plan (comme un couteau ou une scie), la face coupée s'appelle une section plane.
Dans ce chapitre, « couper à plat » veut dire couper parallèlement à la base (comme des rondelles).

La section est en rouge. À cause de la perspective, un rectangle ou un disque est dessiné « penché », mais en vrai c'est bien un rectangle ou un disque.

Les sections à connaître

Solide	Comment on coupe	Forme de la section
Pavé droit	parallèlement à une face	un rectangle, pareil que cette face
Pavé droit	parallèlement à une arête	un rectangle
Cylindre	à plat (parallèlement à la base)	un disque, pareil que la base
Cylindre	debout (parallèlement à l'axe)	un rectangle
Pyramide	à plat (parallèlement à la base)	la même forme que la base, en plus petit
Cône	à plat (parallèlement à la base)	un disque plus petit que la base
Boule	n'importe comment	toujours un disque ; le plus grand quand on passe par le centre

Exemple (réponse à la question 2 de la situation) :

Le concombre est presque un cylindre. Les rondelles sont coupées à plat : chaque face coupée est un disque.
L'orange est une boule. Coupée en deux, la face coupée est un disque. Si on coupe bien au milieu, c'est le plus grand disque possible.

Attention

Une section de boule est un disque, jamais un carré ni un ovale.
Plus on coupe un cône ou une pyramide près de la pointe, plus la section est petite.
Pour un cylindre, la réponse dépend du sens : à plat → disque ; debout → rectangle.

À toi

Quelle est la forme de la face coupée ?
a) Un saucisson coupé en rondelles.
b) Un pain de mie (un pavé) coupé en tranches parallèles à une face.
c) Un cône de chantier coupé à plat, à mi-hauteur.
d) Une bûche (un cylindre) fendue debout, dans le sens de la longueur.
e) Un ballon coupé en deux.

a) Un cylindre coupé à plat : un disque.
b) Un pavé coupé parallèlement à une face : un rectangle (ou un carré).
c) Un cône coupé à plat : un disque plus petit que la base.
d) Un cylindre coupé debout : un rectangle.
e) Une boule coupée : un disque.

6. Se repérer dans l'espace (C4)

6.1 Dans un pavé droit

Définition Dans un pavé droit, on choisit un sommet de départ, l'origine (ici A). Un point est repéré par 3 nombres, ses coordonnées, toujours dans cet ordre :

l'abscisse \(x\) : de combien j'avance en longueur (en rouge) ;
l'ordonnée \(y\) : de combien je vais vers le fond, en profondeur (en vert) ;
l'altitude \(z\) : de combien je monte en hauteur (en orange).

On écrit \(M(x \,;\, y \,;\, z)\).

Exemple : à l'atelier, une caisse de rangement mesure 4 dm de long, 3 dm de profondeur et 2 dm de haut. L'origine est le coin A, au sol, devant à gauche.

La caisse de rangement. Les couleurs donnent l'ordre des coordonnées : rouge (x), vert (y), orange (z).

A est l'origine : \(A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)\).
B : j'avance de 4, je ne vais pas au fond, je ne monte pas : \(B(4 \,;\, 0 \,;\, 0)\).
D : je n'avance pas, je vais au fond de 3 : \(D(0 \,;\, 3 \,;\, 0)\).
E : je monte seulement de 2 : \(E(0 \,;\, 0 \,;\, 2)\).
G : 4 puis 3 puis 2 : \(G(4 \,;\, 3 \,;\, 2)\).

À toi

Avec la caisse de l'exemple :
a) Donne les coordonnées de C et de F.
b) Quel sommet a pour coordonnées \((0 \,;\, 3 \,;\, 2)\) ?
c) Une vis est posée au milieu de l'arête [AB]. Quelles sont ses coordonnées ?

a) C : j'avance de 4, je vais au fond de 3, je ne monte pas : C(4 ; 3 ; 0). F : j'avance de 4 et je monte de 2 : F(4 ; 0 ; 2).
b) Je n'avance pas, je vais au fond de 3, je monte de 2 : c'est le sommet H.
c) Le milieu de [AB] est à \(4 : 2 = 2\) dm de A : (2 ; 0 ; 0).

6.2 Sur la sphère : latitude et longitude

Définition La Terre a presque la forme d'une boule. Pour se repérer à sa surface (la sphère), on utilise des lignes imaginaires :

l'équateur : le grand cercle qui coupe la Terre en deux, l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud ;
les parallèles : des cercles parallèles à l'équateur ;
les méridiens : des demi-cercles qui vont du pôle Nord au pôle Sud. Le méridien de départ passe par Greenwich, près de Londres.

Les lignes de repère sur la Terre : l'équateur (0° de latitude) et le méridien de Greenwich (0° de longitude).

Définition Un lieu sur la Terre est repéré par deux angles, en degrés :

la latitude dit de combien on monte vers le Nord ou on descend vers le Sud depuis l'équateur : de 0° à 90° Nord ou Sud ;
la longitude dit de combien on tourne vers l'Est ou vers l'Ouest depuis le méridien de Greenwich : de 0° à 180° Est ou Ouest.

On écrit d'abord la latitude, puis la longitude. Exemple : Le Caire (Égypte) est à environ (30° N ; 31° E).

Le Caire : 30° au-dessus de l'équateur (latitude 30° N) et 31° vers l'est depuis Greenwich (longitude 31° E).

Méthode Lire la position d'un lieu sur une carte quadrillée

Latitude : je regarde si le point est au-dessus de l'équateur (N) ou en dessous (S), puis je lis le nombre de degrés sur le côté.

Longitude : je regarde si le point est à droite du méridien de Greenwich (E) ou à gauche (O), puis je lis le nombre de degrés en bas.

J'écris (latitude ; longitude), sans oublier les lettres N, S, E ou O.

Carte quadrillée : l'équateur (rouge) et le méridien de Greenwich (vert) partagent la carte en Nord/Sud et en Ouest/Est. Une ligne tous les 30°.

Exemples : positions arrondies au degré.

Ville	Latitude	Longitude	On écrit
Paris	49° Nord	2° Est	(49° N ; 2° E)
Dakar	15° Nord	17° Ouest	(15° N ; 17° O)
Rio de Janeiro	23° Sud	43° Ouest	(23° S ; 43° O)
Le Caire	30° Nord	31° Est	(30° N ; 31° E)
Sydney	34° Sud	151° Est	(34° S ; 151° E)

Sydney est en dessous de l'équateur (Sud) et à droite de Greenwich (Est) : on écrit (34° S ; 151° E).

Attention

L'ordre compte : d'abord la latitude (Nord ou Sud), ensuite la longitude (Est ou Ouest).
Sans la lettre, la position est fausse : 30° N et 30° S sont de chaque côté de l'équateur.
La latitude ne dépasse jamais 90° (les pôles) ; la longitude ne dépasse jamais 180°.
Un point sur l'équateur a une latitude de 0° : il n'est ni au Nord ni au Sud.

À toi

Utilise la carte quadrillée ci-dessus.
a) Donne la latitude et la longitude des points violets E, F et G.
b) Lequel de ces trois points est dans l'hémisphère Sud ?
c) Parmi les villes de la carte, laquelle est la plus proche de l'équateur ?

a) E est au-dessus de l'équateur et à gauche de Greenwich : E(60° N ; 120° O). F est en dessous et à droite : F(30° S ; 90° E). G est sur l'équateur, à gauche : G(0° ; 60° O).
b) F (G est sur l'équateur, il n'est ni au Nord ni au Sud).
c) Dakar : sa latitude, 15°, est la plus petite.

7. Volumes des solides : rappel du formulaire (C5)

Formulaire (chapitre 13)

Solide	Volume
Pavé droit	\(V = L \times l \times h\) (cube de côté \(c\) : \(V = c \times c \times c\))
Prisme droit	\(V = \text{aire de la base} \times h\)
Cylindre	\(V = \pi \times r^2 \times h\)
Pyramide	\(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times h}{3}\)
Cône	\(V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}\)
Boule	\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3\)

\(r^2 = r \times r\) et \(r^3 = r \times r \times r\). Les formules sont données : tu dois savoir reconnaître le solide et les utiliser.

Méthode Calculer un volume avec le formulaire

Je reconnais le solide (section 2) et je recopie sa formule.

Je vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité. Je prends le rayon (moitié du diamètre).

Je remplace, je calcule (touche \(\pi\)) et j'arrondis à la fin.

J'écris l'unité : cm → cm³ ; m → m³.

Exemple (un solide fait de deux solides) : dans une ferme, un silo à grain est formé d'un cylindre surmonté d'un cône. Rayon : 2 m. Hauteur du cylindre : 6 m. Hauteur du cône : 1,5 m. Calcule le volume du silo, arrondi au dixième.

Le silo : un cylindre (en bas) et un cône (le toit).

Cylindre : \(V_1 = \pi \times 2 \times 2 \times 6 \approx 75{,}40\) m³.

Cône : \(V_2 = \dfrac{\pi \times 2 \times 2 \times 1{,}5}{3} \approx 6{,}28\) m³.

J'additionne : \(V \approx 75{,}40 + 6{,}28 = 81{,}68\).

Le silo a un volume d'environ 81,7 m³.

Attention

Pour la pyramide et le cône, on divise par 3.
Un solide fait de plusieurs morceaux : on calcule chaque morceau, puis on additionne.
1 L = 1 dm³ et 1 000 cm³ = 1 L (chapitre 13).

À toi

a) Une brique de jus est un pavé droit de 20 cm, 10 cm et 5 cm. Calcule son volume, puis donne-le en litres.
b) Une boule de pétanque a un rayon de 4 cm. Calcule son volume, arrondi à l'unité.
c) Un cône de chantier a un rayon de 15 cm et une hauteur de 50 cm. Calcule son volume, arrondi à l'unité.

a) \(V = 20 \times 10 \times 5 = 1\,000\). Volume : 1 000 cm³, soit 1 L.
b) \(V = 4 : 3 \times \pi \times 4 \times 4 \times 4 \approx 268{,}08\). Volume : environ 268 cm³.
c) \(V = \dfrac{\pi \times 15 \times 15 \times 50}{3} \approx 11\,780{,}97\). Volume : environ 11 781 cm³ (presque 12 L).

8. L'essentiel à retenir

À retenir :

7 solides : faces plates seulement (cube, pavé droit, prisme droit, pyramide) ; surface courbe (cylindre, cône, boule). Une pointe : pyramide ou cône.
Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur ; fuyantes en biais, parallèles et plus courtes ; arêtes cachées en pointillés.
Vues : de face et de dessus, ce sont des figures plates (cylindre : rectangle et disque).
Patron : figure plate qu'on plie pour faire le solide, chaque face une seule fois. Cylindre : un rectangle de longueur \(2 \times \pi \times r\) et deux disques.
Sections : pavé → rectangle ; cylindre à plat → disque, debout → rectangle ; pyramide et cône à plat → même forme que la base, plus petite ; boule → toujours un disque.
Pavé droit : un point a 3 coordonnées \((x \,;\, y \,;\, z)\) : longueur, profondeur, hauteur.
Sphère : (latitude ; longitude). Latitude : 0° à 90° N ou S depuis l'équateur. Longitude : 0° à 180° E ou O depuis le méridien de Greenwich.
Volumes : je reconnais le solide, j'utilise le formulaire, j'écris l'unité ; plusieurs morceaux → j'additionne.