Chapitre 14 – Équations produits

3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Résoudre une équation simple, par exemple \(x - 3 = 0\) ou \(2x + 6 = 0\) (chapitre 5).
Développer avec la double distributivité, par exemple \((x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6\) (chapitre 4).
Calculer le carré d'un nombre : \(5^2 = 5 \times 5 = 25\) et \((-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\) (chapitres 1 et 2).

Objectifs du chapitre :

C1 – Reconnaître une équation produit \(A \times B = 0\).
C2 – Résoudre une équation produit simple \((ax + b)(cx + d) = 0\).
C3 – Factoriser \(a^2 - b^2\) et développer \((a + b)(a - b)\).
C4 – Résoudre \(x^2 = a\) (\(a\) positif) sur des exemples simples.
C5 – Résoudre un problème qui se ramène à une équation produit ou à \(x^2 = a\).

1. Situation d'entrée — La terrasse carrée

Quelle est la longueur du côté ?

Karim est carreleur. Un client veut une terrasse carrée. Il a acheté exactement 49 m² de carrelage. Karim doit tracer la terrasse au sol : il a besoin de la longueur du côté.

La terrasse est un carré de 49 m². On cherche la longueur de son côté.

Question 1 : écris une équation qui traduit la situation.
Question 2 : quelle est la longueur du côté de la terrasse ?

On appelle \(x\) le côté, en mètres. L'aire d'un carré, c'est côté × côté : \(x \times x = x^2\). On doit donc résoudre \(x^2 = 49\). Ce n'est pas une équation comme celles du chapitre 5 : il y a un \(x^2\). La réponse est donnée dans la section 6.

2. Le produit nul (C1)

Rappel Un produit, c'est le résultat d'une multiplication. Les nombres qu'on multiplie s'appellent les facteurs.
Dans \(4 \times 7 = 28\) : 4 et 7 sont les facteurs, 28 est le produit.
Dans \((x - 3)(x + 5)\) : les facteurs sont les deux parenthèses \((x - 3)\) et \((x + 5)\). Entre deux parenthèses, le signe × est caché.

Pour comprendre : je multiplie deux nombres et je trouve 0. Que peux-tu dire ?

\(0 \times 125 = 0\) ; \(8 \times 0 = 0\) ; \(0 \times 0 = 0\).
Mais \(3 \times 2 = 6\), \(5 \times 9 = 45\) : si aucun facteur n'est 0, le produit n'est jamais 0.
Si \(7 \times B = 0\), alors \(B\) vaut forcément 0.

Pour avoir un produit égal à 0, il faut qu'un des facteurs soit 0.

Propriété — Le produit nul Si un produit est égal à 0, alors au moins un des facteurs est égal à 0. \[A \times B = 0 \quad \text{veut dire} \quad A = 0 \quad \text{ou} \quad B = 0\]

Un produit égal à 0 : on sépare en deux petites égalités, reliées par « ou ».

Définition Une équation produit est une équation qui a la forme : \[(\ldots\ldots) \times (\ldots\ldots) = 0\] À gauche, un produit (une multiplication). À droite, 0.

Méthode Reconnaître une équation produit : 2 questions

À gauche, est-ce une multiplication (et pas une addition) ?

À droite, est-ce 0 ?

Deux fois « oui » : c'est une équation produit.

Exemples :

Équation	Multiplication à gauche ?	0 à droite ?	Équation produit ?
\((x - 3)(x + 5) = 0\)	oui	oui	oui
\(x(x - 4) = 0\)	oui : \(x \times (x - 4)\)	oui	oui
\((x - 3)(x + 5) = 6\)	oui	non : c'est 6	non
\((x - 3) + (x + 5) = 0\)	non : c'est une addition	oui	non

Attention

La propriété marche seulement avec 0. Si \(A \times B = 6\), on ne peut rien dire : \(A\) et \(B\) peuvent valoir 2 et 3, ou 1 et 6, ou 12 et 0,5…
La propriété marche seulement avec une multiplication. Avec une addition, \(A + B = 0\) ne veut pas dire que \(A = 0\) : par exemple \(3 + (-3) = 0\).

À toi

Pour chaque équation, réponds par oui ou non : est-ce une équation produit ?
a) \((x + 1)(x - 6) = 0\) b) \((x + 1)(x - 6) = 10\) c) \((x + 1) + (x - 6) = 0\) d) \(x(x - 9) = 0\)
e) Complète : si \(4 \times B = 0\), alors \(B = \ldots\)

a) Multiplication à gauche, 0 à droite : oui.
b) À droite, il y a 10 et pas 0 : non.
c) À gauche, c'est une addition : non.
d) \(x(x - 9) = x \times (x - 9)\), et 0 à droite : oui.
e) 4 n'est pas 0, donc c'est l'autre facteur qui vaut 0 : \(B = 0\).

3. Résoudre une équation produit (C2)

Méthode Résoudre une équation produit en 4 étapes

Je vérifie que c'est bien une équation produit : un produit \(= 0\).

J'écris : « 1er facteur = 0 ou 2e facteur = 0 ». J'obtiens deux petites équations.

Je résous chaque petite équation, comme au chapitre 5.

J'écris les deux solutions.

Exemple 1 : résoudre \((x - 3)(x + 5) = 0\).

Chaque parenthèse donne une petite équation, donc une solution.

Un produit de deux parenthèses, égal à 0 : c'est une équation produit.

\(x - 3 = 0\) ou \(x + 5 = 0\)

\(x = 3\) ou \(x = -5\)

L'équation a deux solutions : 3 et −5.

Vérification (on remplace \(x\), chapitre 5) : pour \(x = 3\) : \((3 - 3)(3 + 5) = 0 \times 8 = 0\) ✓ ; pour \(x = -5\) : \((-5 - 3)(-5 + 5) = (-8) \times 0 = 0\) ✓.

Exemple 2 : résoudre \((2x - 6)(x + 1) = 0\).

C'est une équation produit.

\(2x - 6 = 0\) ou \(x + 1 = 0\)

\(2x = 6\), donc \(x = 6 : 2 = 3\) ou \(x = -1\)

Les solutions sont 3 et −1.

Exemple 3 (un facteur est \(x\) tout seul) : résoudre \(x(x - 4) = 0\).

\(x(x - 4) = x \times (x - 4)\) : c'est une équation produit.

\(x = 0\) ou \(x - 4 = 0\)

\(x = 0\) ou \(x = 4\)

Les solutions sont 0 et 4.

Exemple 4 : résoudre \((3x + 6)(2x - 1) = 0\).

C'est une équation produit.

\(3x + 6 = 0\) ou \(2x - 1 = 0\)

\(3x = -6\), donc \(x = -6 : 3 = -2\) ou \(2x = 1\), donc \(x = 1 : 2 = 0{,}5\)

Les solutions sont −2 et 0,5.

Attention

Le signe change : \(x + 5 = 0\) donne \(x = -5\), et pas \(x = 5\). On enlève 5 des deux côtés.
Ne développe pas ! La forme \((\ldots)(\ldots) = 0\) est justement celle qui permet de résoudre.
Une équation produit avec deux parenthèses a en général deux solutions. N'en oublie pas une.

À toi

Résous chaque équation.
a) \((x - 2)(x - 7) = 0\) b) \((x + 4)(x - 1) = 0\) c) \(x(x + 6) = 0\)
d) \((2x - 8)(x + 3) = 0\) e) \((5x - 10)(4x + 2) = 0\)

a) \(x - 2 = 0\) ou \(x - 7 = 0\), donc \(x = 2\) ou \(x = 7\). Solutions : 2 et 7.
b) \(x + 4 = 0\) ou \(x - 1 = 0\), donc \(x = -4\) ou \(x = 1\). Solutions : −4 et 1.
c) \(x = 0\) ou \(x + 6 = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = -6\). Solutions : 0 et −6.
d) \(2x - 8 = 0\) ou \(x + 3 = 0\). \(2x = 8\), donc \(x = 4\) ; ou \(x = -3\). Solutions : 4 et −3.
e) \(5x - 10 = 0\) ou \(4x + 2 = 0\). \(5x = 10\), donc \(x = 2\) ; ou \(4x = -2\), donc \(x = -0{,}5\). Solutions : 2 et −0,5.

4. Factoriser a² − b² (C3)

4.1 Développer (a + b)(a − b)

Pour comprendre : développons \((x + 3)(x - 3)\) avec la double distributivité (chapitre 4).

Les 4 multiplications : \(x \times x - x \times 3 + 3 \times x - 3 \times 3\)

On calcule : \(x^2 - 3x + 3x - 9\)

\(-3x + 3x = 0\) : les termes du milieu disparaissent. Résultat : \(x^2 - 9\).

Propriété — Différence de deux carrés Pour tous les nombres \(a\) et \(b\) : \[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]

De gauche à droite, on développe : \((x + 3)(x - 3) = x^2 - 9\).
De droite à gauche, on factorise : \(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\).

Ce qui reste du carré (a² − b²) devient un rectangle de longueur a + b et de largeur a − b : son aire est (a + b)(a − b).

4.2 Factoriser une différence de deux carrés

Aide — Les carrés à connaître

Nombre	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Carré	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Exemple : 36 est le carré de 6, car \(6^2 = 6 \times 6 = 36\).

Méthode Factoriser \(x^2 - \text{un nombre}\)

Je vérifie qu'il y a un signe − entre les deux termes.

J'écris le nombre comme un carré (tableau ci-dessus) : \(25 = 5^2\).

J'écris le produit : \((x + 5)(x - 5)\). Une parenthèse avec +, une avec −.

Je vérifie en développant : je dois retrouver l'expression de départ.

Exemple 1 : factoriser \(x^2 - 25\). \[x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x + 5)(x - 5)\]

Vérification : \((x + 5)(x - 5) = x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25\) ✓

Exemple 2 : factoriser \(x^2 - 64\). \[x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x + 8)(x - 8)\]

Exemple 3 : factoriser \(x^2 - 1\). \[x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x + 1)(x - 1)\]

Pour aller plus loin : factoriser \(4x^2 - 9\). Ici, \(4x^2 = 2x \times 2x = (2x)^2\) et \(9 = 3^2\). \[4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x + 3)(2x - 3)\]

Attention

Il faut un signe −. \(x^2 + 9\) (avec un +) ne se factorise pas de cette façon.
\(x^2 - 9\) n'est pas \((x - 3)(x - 3)\) : il faut une parenthèse avec + et une avec −.
\(x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)\), et pas \((x + 8)(x - 8)\) : 16 est le carré de 4, pas de 8 (on ne divise pas par 2).

À toi

a) Développe \((x + 4)(x - 4)\). b) Développe \((x + 10)(x - 10)\).
c) Factorise \(x^2 - 36\). d) Factorise \(x^2 - 81\). e) Factorise \(x^2 - 49\).

a) \(x^2 - 4x + 4x - 16 = \) \(x^2 - 16\).
b) \(x^2 - 10x + 10x - 100 = \) \(x^2 - 100\).
c) \(36 = 6^2\), donc \(x^2 - 36 = \) \((x + 6)(x - 6)\).
d) \(81 = 9^2\), donc \(x^2 - 81 = \) \((x + 9)(x - 9)\).
e) \(49 = 7^2\), donc \(x^2 - 49 = \) \((x + 7)(x - 7)\).

5. Résoudre x² = a (C4)

Pour comprendre : quels nombres ont pour carré 25 ?

\(5^2 = 5 \times 5 = 25\) : 5 convient.
\((-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\) (moins par moins donne plus) : −5 convient aussi !

L'équation \(x^2 = 25\) a donc deux solutions : 5 et −5.

Les deux solutions de x² = 25 sont à la même distance de 0 : une positive, une négative.

Pourquoi deux solutions ? Avec les sections 3 et 4 :

On enlève 25 des deux côtés : \(x^2 - 25 = 0\).

On factorise (section 4) : \((x + 5)(x - 5) = 0\). C'est une équation produit !

On résout (section 3) : \(x + 5 = 0\) ou \(x - 5 = 0\), donc \(x = -5\) ou \(x = 5\).

Propriété — L'équation \(x^2 = a\)

Si \(a\) est positif : deux solutions, \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\). Le symbole \(\sqrt{\phantom{a}}\) se lit « racine carrée » : \(\sqrt{25} = 5\) car \(5^2 = 25\).
Si \(a = 0\) : une seule solution, 0.
Si \(a\) est négatif : aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.

Méthode Résoudre \(x^2 = a\)

Je regarde le signe du nombre \(a\) : positif, 0 ou négatif ?

Si \(a\) est positif, je cherche le nombre positif dont le carré fait \(a\) : avec le tableau des carrés, ou avec la touche \(\sqrt{\phantom{a}}\) de la calculatrice.

J'écris les deux solutions : ce nombre et son opposé (avec un −).

Exemple 1 : résoudre \(x^2 = 49\).

49 est positif. \(7^2 = 49\). Les solutions sont 7 et −7.

Exemple 2 (avec la calculatrice) : résoudre \(x^2 = 10\). Arrondir au centième.

10 est positif, mais ce n'est pas dans le tableau des carrés. À la calculatrice : \(\sqrt{10} \approx 3{,}162…\), soit environ 3,16.
Les solutions sont environ 3,16 et −3,16.

Exemple 3 : résoudre \(x^2 = 0\).

Le seul nombre dont le carré vaut 0 est 0. Une seule solution : 0.

Exemple 4 : résoudre \(x^2 = -4\).

−4 est négatif. Or un carré n'est jamais négatif : \(2^2 = 4\) et \((-2)^2 = 4\). Aucune solution.

Attention

N'oublie pas la solution négative : \(x^2 = 49\) a deux solutions, 7 et −7.
\(x^2 = 16\) ne donne pas \(x = 8\) : le carré, c'est \(x \times x\), pas \(x \times 2\). On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 16 : c'est 4.
\(x^2 = -9\) n'a pas de solution : \(-3\) ne convient pas, car \((-3)^2 = 9\), pas −9.

À toi

Résous chaque équation.
a) \(x^2 = 81\) b) \(x^2 = 144\) c) \(x^2 = 7\) (arrondis au centième) d) \(x^2 = -9\) e) \(x^2 = 1\)

a) \(9^2 = 81\). Solutions : 9 et −9.
b) \(12^2 = 144\). Solutions : 12 et −12.
c) \(\sqrt{7} \approx 2{,}645…\). Solutions : environ 2,65 et −2,65.
d) −9 est négatif, un carré n'est jamais négatif : aucune solution.
e) \(1^2 = 1\) et \((-1)^2 = 1\). Solutions : 1 et −1.

6. Résoudre un problème (C5)

Méthode Résoudre un problème en 5 étapes

Je choisis l'inconnue : « J'appelle \(x\)… » (avec l'unité).

J'écris l'équation qui traduit l'énoncé.

Je résous l'équation (sections 3 à 5).

Je garde les solutions qui ont du sens : une longueur ne peut pas être négative.

Je vérifie et j'écris une phrase de réponse.

Réponse aux questions de la situation : la terrasse carrée de 49 m².

J'appelle \(x\) la longueur du côté, en mètres.

Aire du carré = côté × côté, donc \(x^2 = 49\). C'est la réponse à la question 1.

\(7^2 = 49\) : les solutions sont 7 et −7.

Une longueur est positive : on garde 7, on rejette −7.

Vérification : \(7 \times 7 = 49\) ✓. Le côté de la terrasse mesure 7 m.

Exemple 2 (programme de calcul) : voici un programme de calcul.

Choisir un nombre. Lui ajouter 2.
Reprendre le nombre de départ. Lui enlever 5.
Multiplier les deux résultats.

Quels nombres de départ donnent 0 à la fin ?

J'appelle \(x\) le nombre de départ.

Les deux résultats sont \(x + 2\) et \(x - 5\). L'équation est \((x + 2)(x - 5) = 0\).

\(x + 2 = 0\) ou \(x - 5 = 0\), donc \(x = -2\) ou \(x = 5\).

Ici, un nombre peut être négatif : on garde les deux solutions.

Vérification : \((-2 + 2) \times (-2 - 5) = 0 \times (-7) = 0\) ✓ et \((5 + 2) \times (5 - 5) = 7 \times 0 = 0\) ✓. Les nombres −2 et 5 donnent 0.

Exemple 3 (sur le chantier) : Karim carrèle une pièce carrée de côté \(x\) mètres. Dans un coin, il y a un placard carré de 1 m de côté qu'on ne carrèle pas. Karim a posé 15 m² de carrelage. Quel est le côté de la pièce ?

Aire carrelée = aire de la pièce − aire du placard : x² − 1 = 15.

J'appelle \(x\) le côté de la pièce, en mètres.

Aire de la pièce : \(x^2\). Aire du placard : \(1 \times 1 = 1\). Donc \(x^2 - 1 = 15\).

J'ajoute 1 des deux côtés : \(x^2 = 16\). Comme \(4^2 = 16\), les solutions sont 4 et −4.

Une longueur est positive : on garde 4.

Vérification : \(4 \times 4 - 1 = 16 - 1 = 15\) ✓. La pièce mesure 4 m de côté.

Attention

Une longueur, une aire ou une durée ne peut pas être négative : on rejette la solution négative et on dit pourquoi.
Pour un nombre (programme de calcul), une solution négative est possible : on la garde.
Vérifie toujours ta réponse dans l'énoncé, pas seulement dans l'équation.

À toi

a) Une plaque de contreplaqué carrée a une aire de 2,25 m². Calcule la longueur de son côté (utilise la calculatrice).
b) Programme : choisir un nombre, lui enlever 3 ; reprendre le nombre de départ, lui ajouter 1 ; multiplier les deux résultats. Quels nombres de départ donnent 0 ?
c) Dans un carré de côté \(x\) cm, on découpe un petit carré de 2 cm de côté. Il reste 21 cm². Écris l'équation, puis trouve \(x\).

a) \(x^2 = 2{,}25\). \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). Solutions : 1,5 et −1,5. Une longueur est positive : le côté mesure 1,5 m. Vérification : \(1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\) ✓.
b) \((x - 3)(x + 1) = 0\), donc \(x - 3 = 0\) ou \(x + 1 = 0\) : \(x = 3\) ou \(x = -1\). Les nombres 3 et −1 donnent 0.
c) Aire du petit carré : \(2 \times 2 = 4\). Équation : \(x^2 - 4 = 21\), donc \(x^2 = 25\). Solutions : 5 et −5. On garde la longueur positive : \(x = 5\) cm. Vérification : \(25 - 4 = 21\) ✓.

7. L'essentiel à retenir

À retenir :

Produit nul : si \(A \times B = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\). Ça marche seulement avec une multiplication et avec 0.
Équation produit \((\ldots)(\ldots) = 0\) : chaque parenthèse \(= 0\), puis on résout les deux petites équations. Exemple : \((x - 3)(x + 5) = 0\) donne 3 et −5.
Différence de deux carrés : \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\). Exemple : \(x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)\).
\(x^2 = a\) avec \(a\) positif : deux solutions, \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\). Exemple : \(x^2 = 49\) donne 7 et −7. Si \(a\) est négatif : aucune solution.
Problème : inconnue → équation → résolution → on garde les solutions qui ont du sens (une longueur est positive) → vérification et phrase.