3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20
🎯 Objectifs du chapitre
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C1 – Reconnaître une équation produit A × B = 0.
C2 – Résoudre une équation produit simple (ax + b)(cx + d) = 0.
C3 – Factoriser a² − b² et développer (a + b)(a − b).
C4 – Résoudre x² = a (a positif) sur des exemples simples.
C5 – Résoudre un problème qui se ramène à une équation produit ou à x² = a.
Calculatrice autorisée (touche \(\sqrt{\phantom{a}}\)). Écris tes calculs : ils rapportent des points. Dans un problème, finis par une phrase de réponse avec l'unité.
Rappels (les mêmes pour tous)
Produit nul : si \(A \times B = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\). Ça marche seulement avec une multiplication et avec 0 à droite.
Équation produit : chaque parenthèse \(= 0\), puis je résous les deux petites équations. J'écris les deux solutions.
Différence de deux carrés : \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\). Exemple : \(x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)\).
\(x^2 = a\) : si \(a\) est positif, deux solutions \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\) ; si \(a = 0\), une solution : 0 ; si \(a\) est négatif, aucune solution.
Problème : une longueur ne peut pas être négative. Je vérifie ma réponse dans l'énoncé.
Les carrés à connaître
Nombre
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Carré
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
Socle Exercice 1 — C'est une équation produit ? (5 pts)
C1 · Deux questions : à gauche, une multiplication ? À droite, 0 ?
1. (2 pts) Pour chaque équation, coche la bonne case.
a) \((x - 2)(x + 7) = 0\) ☐ équation produit ☐ pas une équation produit
b) \((x - 2)(x + 7) = 12\) ☐ équation produit ☐ pas une équation produit
c) \((x - 2) + (x + 7) = 0\) ☐ équation produit ☐ pas une équation produit
d) \(x(x - 5) = 0\) ☐ équation produit ☐ pas une équation produit
2. (1 pt) Complète.
a) Si \(6 \times B = 0\), alors \(B =\) b) Si \(A \times 9 = 0\), alors \(A =\)
3. (2 pts) On regarde l'équation \((x - 4)(x + 1) = 0\). Remplace \(x\) et calcule.
a) Pour \(x = 4\) : \((4 - 4)(4 + 1) =\) \(\times\) \(=\) 4 est-il une solution ? ☐ oui ☐ non
b) Pour \(x = 1\) : \((1 - 4)(1 + 1) =\) \(\times\) \(=\) 1 est-il une solution ? ☐ oui ☐ non
Correction :
1. a) Multiplication à gauche, 0 à droite : équation produit. b) À droite, il y a 12 et pas 0 : pas une équation produit. c) À gauche, c'est une addition : pas une équation produit. d) \(x(x - 5) = x \times (x - 5)\), et 0 à droite : équation produit. (0,5 pt par ligne.)
2. a) 6 n'est pas 0, donc \(B = 0\). b) 9 n'est pas 0, donc \(A = 0\).
3. a) \((4 - 4)(4 + 1) = 0 \times 5 = 0\) : oui, 4 est une solution. b) \((1 - 4)(1 + 1) = (-3) \times 2 = -6\). On ne trouve pas 0 : non, 1 n'est pas une solution.
Socle Exercice 2 — Résoudre une équation produit (5 pts)
C2 · Complète les étapes.
1. (1,5 pt) Résous \((x - 6)(x + 2) = 0\).
\(x - 6 = 0\) ou \(x + 2 = 0\)
\(x =\) ou \(x =\) Les solutions sont et .
2. (1,5 pt) Résous \(x(x - 8) = 0\).
\(x = 0\) ou \(x - 8 = 0\)
\(x = 0\) ou \(x =\) Les solutions sont et .
3. (2 pts) Résous \((3x - 12)(x + 5) = 0\).
\(3x - 12 = 0\) ou \(= 0\)
\(3x = 12\), donc \(x = 12 : 3 =\) ou \(x =\)
Les solutions sont et .
Correction :
1. \(x - 6 = 0\) ou \(x + 2 = 0\), donc \(x = 6\) ou \(x = -2\). Les solutions sont 6 et −2. (Attention au signe : \(x + 2 = 0\) donne \(x = -2\).)
2. \(x = 0\) ou \(x - 8 = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 8\). Les solutions sont 0 et 8.
3. \(3x - 12 = 0\) ou \(x + 5 = 0\). \(3x = 12\), donc \(x = 12 : 3 = 4\) ; ou \(x = -5\). Les solutions sont 4 et −5.
3. (1 pt) Résous \(x^2 = 20\) avec la calculatrice. Arrondis au centième.
\(\sqrt{20} \approx\) Les solutions sont environ et .
4. (2 pts) Dans le jardin d'une crèche, un bac à sable carré a une aire de 9 m². On appelle \(x\) son côté, en mètres.
Le bac à sable : un carré de 9 m² et de côté x.
a) L'aire du carré, c'est côté × côté. L'équation est : \(x^2 =\)
b) Les solutions de cette équation sont et .
c) Une longueur est positive. Le côté du bac à sable mesure m.
Correction :
1. \(6^2 = 36\) et \((-6)^2 = 36\) : les solutions sont 6 et −6.
2. −16 est négatif. Un carré n'est jamais négatif : aucune solution. (\(4^2 = 16\) et \((-4)^2 = 16\), jamais −16.)
3. \(\sqrt{20} \approx 4{,}472…\), soit 4,47. Les solutions sont environ 4,47 et −4,47.
4. a) \(x^2 = 9\). b) \(3^2 = 9\) : les solutions sont 3 et −3. c) Une longueur est positive : on garde 3, on rejette −3. Vérification : \(3 \times 3 = 9\) ✓. Le côté du bac à sable mesure 3 m.
Standard Exercice 1 — Équations produits (5 pts)
C1, C2
1. (1 pt) Entoure les équations produits.
A : \((x + 3)(x - 1) = 0\) B : \((x + 3)(x - 1) = 5\) C : \(2x(x - 7) = 0\) D : \((x + 3) - (x - 1) = 0\)
2. (4 pts) Résous chaque équation. Écris les deux petites équations, puis les solutions.
a) \((x - 5)(x + 9) = 0\)
b) \(x(x + 7) = 0\)
c) \((2x - 10)(x - 3) = 0\)
d) \((4x + 2)(5x - 15) = 0\)
Correction :
1. A et C : multiplication à gauche et 0 à droite. B a 5 à droite ; D est une soustraction de deux parenthèses, pas une multiplication.
2. a) \(x - 5 = 0\) ou \(x + 9 = 0\), donc \(x = 5\) ou \(x = -9\). Solutions : 5 et −9.
b) \(x = 0\) ou \(x + 7 = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = -7\). Solutions : 0 et −7.
c) \(2x - 10 = 0\) ou \(x - 3 = 0\). \(2x = 10\), donc \(x = 10 : 2 = 5\) ; ou \(x = 3\). Solutions : 5 et 3.
d) \(4x + 2 = 0\) ou \(5x - 15 = 0\). \(4x = -2\), donc \(x = -2 : 4 = -0{,}5\) ; ou \(5x = 15\), donc \(x = 15 : 5 = 3\). Solutions : −0,5 et 3.
Standard Exercice 2 — Factoriser pour résoudre (5 pts)
C3, C2
1. (1 pt) Développe \((x + 9)(x - 9)\).
2. (2 pts) Factorise : a) \(x^2 - 16\) b) \(x^2 - 121\)
3. (2 pts) Utilise la question 2 a) pour résoudre l'équation \(x^2 - 16 = 0\).
2. a) \(16 = 4^2\), donc \(x^2 - 16 =\) \((x + 4)(x - 4)\). b) \(121 = 11^2\), donc \(x^2 - 121 =\) \((x + 11)(x - 11)\).
3. \(x^2 - 16 = 0\) s'écrit \((x + 4)(x - 4) = 0\) : c'est une équation produit. \(x + 4 = 0\) ou \(x - 4 = 0\), donc \(x = -4\) ou \(x = 4\). Solutions : −4 et 4.
Standard Exercice 3 — L'équation x² = a (5 pts)
C4
1. (3 pts) Résous : a) \(x^2 = 100\) b) \(x^2 = 0\) c) \(x^2 = -25\)
2. (1 pt) Résous \(x^2 = 50\) avec la calculatrice. Arrondis au dixième.
3. (1 pt) Tom écrit : « \(x^2 = 64\), donc \(x = 32\) ». Explique son erreur, puis donne les bonnes solutions.
Correction :
1. a) \(10^2 = 100\) : solutions 10 et −10. b) Une seule solution : 0. c) −25 est négatif, un carré n'est jamais négatif : aucune solution.
2. \(\sqrt{50} \approx 7{,}07…\), soit 7,1. Solutions : environ 7,1 et −7,1.
3. Tom a divisé 64 par 2. Or \(x^2 = x \times x\), pas \(x \times 2\) : on cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64. \(8 \times 8 = 64\). Les solutions sont 8 et −8.
Standard Exercice 4 — Le studio de musique (5 pts)
C5
Un studio de répétition est une pièce carrée de côté \(x\) mètres. Dans un coin, il y a une estrade carrée de 2 m de côté pour la batterie. On pose de la moquette partout, sauf sur l'estrade. La moquette couvre 32 m².
Aire de la moquette = aire de la pièce − aire de l'estrade.
1. (1,5 pt) Léo écrit : « \((x - 2)(x + 3) = 6\), donc \(x - 2 = 6\) ou \(x + 3 = 6\) ». Explique pourquoi Léo se trompe. Tu peux tester avec \(x = 8\).
2. (3,5 pts) Résous : a) \((x + 8)(3x - 9) = 0\) b) \(5x(2x + 7) = 0\) c) \((6x - 3)(4 - x) = 0\)
Correction :
1. La propriété du produit nul marche seulement quand le produit vaut 0. Ici, le produit vaut 6 : on ne peut rien dire sur chaque facteur. Test : \(x = 8\) donne \(x - 2 = 6\), mais \((8 - 2)(8 + 3) = 6 \times 11 = 66\), et pas 6. Le raisonnement de Léo est faux.
2. a) \(x + 8 = 0\) ou \(3x - 9 = 0\). \(x = -8\) ; ou \(3x = 9\), donc \(x = 3\). Solutions : −8 et 3. (1 pt)
b) \(5x = 0\) ou \(2x + 7 = 0\). \(x = 0\) ; ou \(2x = -7\), donc \(x = -3{,}5\). Solutions : 0 et −3,5. (1 pt)
c) \(6x - 3 = 0\) ou \(4 - x = 0\). \(6x = 3\), donc \(x = 3 : 6 = 0{,}5\) ; ou \(x = 4\). Solutions : 0,5 et 4. (1,5 pt)
Approfondissement Exercice 2 — Différence de deux carrés (5 pts)
Approfondissement Exercice 3 — Se ramener à x² = a (4 pts)
C4
1. (2 pts) Résous : a) \(x^2 = 1{,}44\) b) \(x^2 + 9 = 0\)
2. (2 pts) Écris d'abord chaque équation sous la forme \(x^2 = a\), puis résous : a) \(x^2 - 3 = 46\) b) \(2x^2 = 32\)
Correction :
1. a) \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) (car \(1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\)). Solutions : 1,2 et −1,2. b) J'enlève 9 des deux côtés : \(x^2 = -9\). −9 est négatif : aucune solution.
2. a) J'ajoute 3 des deux côtés : \(x^2 = 49\). Solutions : 7 et −7. b) Je divise par 2 des deux côtés : \(x^2 = 16\). Solutions : 4 et −4.
Approfondissement Exercice 4 — Programme de calcul et découpe (6 pts)
C5, C2, C4
A. Voici un programme de calcul.
Choisir un nombre. Le multiplier par 2, puis enlever 6.
Reprendre le nombre de départ. Lui ajouter 4.
Multiplier les deux résultats.
1. (1 pt) Calcule le résultat quand on choisit 5.
2. (2 pts) On appelle \(x\) le nombre de départ. Écris une équation, puis trouve les nombres de départ qui donnent 0 à la fin.
B. Un menuisier a une plaque de contreplaqué carrée de côté \(x\) cm. Dans un coin, il découpe un carré de 20 cm de côté. Il reste 2 100 cm² de plaque.
La plaque de côté x, avec un coin carré de 20 cm découpé.
3. (3 pts) Écris une équation qui traduit la situation, résous-la, puis donne le côté de la plaque. Vérifie ta réponse.
2. Les deux résultats sont \(2x - 6\) et \(x + 4\). Équation : \((2x - 6)(x + 4) = 0\). \(2x - 6 = 0\) ou \(x + 4 = 0\). \(2x = 6\), donc \(x = 3\) ; ou \(x = -4\). Un nombre peut être négatif : on garde les deux. Les nombres 3 et −4 donnent 0. Vérification : \((6 - 6) \times 7 = 0\) ✓ et \((-8 - 6) \times 0 = 0\) ✓.
3. Aire de la plaque : \(x^2\). Aire du coin découpé : \(20 \times 20 = 400\) cm². Équation : \(x^2 - 400 = 2\,100\) (1 pt). J'ajoute 400 des deux côtés : \(x^2 = 2\,500\). \(\sqrt{2\,500} = 50\) : solutions 50 et −50 (1,5 pt). Une longueur est positive : on garde 50. Vérification : \(50 \times 50 - 400 = 2\,500 - 400 = 2\,100\) ✓. La plaque mesure 50 cm de côté (0,5 pt).