Activité — Ch14 : Le tatami de judo des Jeux olympiques
3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Objectifs (environ 45 minutes) :
Calculer l'aire d'un carré quand on connaît son côté.
Faire l'inverse : trouver le côté d'un carré quand on connaît son aire (C4).
Résoudre un petit problème de tatami (C5).
Découvrir quand une multiplication donne 0 (C1).
Situation — Le tapis des champions
Document — Le règlement du judo. Au judo, on combat sur un tapis fait de tatamis. Le tapis a deux zones de couleurs différentes :
la surface de combat, au centre : c'est un carré. Aux Jeux olympiques et aux championnats du monde, elle mesure 10 m × 10 m. Dans les autres compétitions internationales, elle peut être plus petite, mais jamais moins de 8 m × 8 m ;
la zone de sécurité, tout autour : aux Jeux olympiques, c'est une bande d'au moins 4 m de large de chaque côté.
Chaque tatami est un rectangle de 1 m × 2 m, épais de 5 cm.
Source : Fédération internationale de judo (IJF), « Sport and Organisation Rules », version du 14 août 2026, partie 8.7 « Field of Play and Competition Area », page 96 (ijf.org), consulté le 7 octobre 2026.
Problématique : Quand on connaît l'aire d'un tapis carré, comment retrouver la longueur de son côté ?
Partie 1 — Le tapis des Jeux olympiques
Question 1 APP : Lis le document.
a) Quelle forme a la surface de combat ?
b) Aux Jeux olympiques, quelle est la longueur de son côté ? m.
Correction :
a) La surface de combat est un carré : ses 4 côtés ont la même longueur.
b) Aux Jeux olympiques, le côté mesure 10 m.
Question 2 REA : L'aire d'un carré, c'est côté × côté.
La surface de combat des Jeux olympiques (à gauche) et un tatami (à droite). Le dessin n'est pas à l'échelle entre les deux.
a) Calcule l'aire de la surface de combat : \(10 \times 10 =\) m².
b) Calcule l'aire d'un tatami : \(1 \times 2 =\) m².
c) Combien de tatamis faut-il pour couvrir la surface de combat ? Divise l'aire du carré par l'aire d'un tatami : tatamis. Compte sur le dessin pour vérifier.
Correction :
a) \(10 \times 10 = 100\) : l'aire est de 100 m². On peut aussi écrire \(10^2 = 100\) : on lit « 10 au carré ».
b) \(1 \times 2 = 2\) : un tatami a une aire de 2 m².
c) \(100 : 2 = 50\) : il faut 50 tatamis. Sur le dessin : 10 colonnes et 5 rangées, \(10 \times 5 = 50\) ✓.
Partie 2 — À l'envers : on connaît l'aire
Question 3 ANA : Un club organise un tournoi. Sa surface de combat est un carré de 64 m². On cherche son côté. On appelle \(x\) le côté, en mètres. On doit avoir \(x \times x = 64\), c'est-à-dire \(x^2 = 64\).
Essaie des nombres. Complète le tableau.
Côté essayé (m)
5
6
7
8
9
Côté × côté (m²)
\(5 \times 5 = 25\)
a) Quel côté donne exactement 64 m² ? m.
b) Ce tapis respecte-t-il le règlement (au moins 8 m × 8 m) ?
Correction :
\(6 \times 6 = 36\) ; \(7 \times 7 = 49\) ; \(8 \times 8 = 64\) ; \(9 \times 9 = 81\).
a) C'est 8 m, car \(8 \times 8 = 64\).
b) Oui, tout juste : 8 m × 8 m, c'est le plus petit tapis autorisé.
Question 4 ANA : Un élève dit : « \((-8) \times (-8)\), ça fait aussi 64 ! »
a) Calcule \((-8) \times (-8) =\) . A-t-il raison ?
b) Un côté de tapis peut-il mesurer −8 m ?
Correction :
a) \((-8) \times (-8) = 64\) : moins par moins donne plus. Oui, il a raison : le nombre −8 a aussi pour carré 64.
b) Non : une longueur n'est jamais négative. Pour le tapis, on garde seulement 8 m.
L'équation \(x^2 = 64\) a donc deux solutions, 8 et −8, mais le problème du tapis n'en garde qu'une.
Question 5 REA : Un autre club a une surface de combat carrée de 81 m².
a) Quel nombre positif, multiplié par lui-même, donne 81 ? Aide-toi du tableau de la question 3 :
b) Écris le côté du tapis : m.
Correction :
a) \(9 \times 9 = 81\) : c'est 9. (−9 marche aussi, mais il est négatif.)
b) Le côté mesure 9 m. Ce tapis est autorisé : il est entre 8 m et 10 m.
Partie 3 — Le grand tapis avec la zone de sécurité
Question 6 ANA : Aux Jeux olympiques, on ajoute une zone de sécurité de 4 m tout autour de la surface de combat. Le grand tapis est encore un carré.
Le grand tapis des Jeux olympiques : la surface de combat (jaune) et la zone de sécurité de 4 m tout autour (bleu).
a) Le côté du grand tapis : \(4 + 10 + 4 =\) m.
b) Son aire : \(\times\) \(=\) m².
Correction :
a) \(4 + 10 + 4 = 18\) : le grand tapis mesure 18 m de côté. Attention, la zone de sécurité est des deux côtés.
b) \(18 \times 18 = 324\) : son aire est de 324 m².
Question 7 ANA : Une salle de sport a acheté des tatamis pour couvrir exactement 324 m². Elle veut un grand tapis carré, avec 4 m de sécurité de chaque côté, comme aux Jeux olympiques.
a) On appelle \(x\) le côté du grand tapis. Complète l'équation : \(x^2 =\) .
b) À la calculatrice, utilise la touche \(\sqrt{\phantom{a}}\) (racine carrée) : \(\sqrt{324} =\) . Donc le grand tapis mesure m de côté.
c) On enlève 4 m de chaque côté : la surface de combat mesure \(18 - 4 - 4 =\) m. Est-ce la taille des Jeux olympiques ?
Correction :
a) \(x^2 = 324\).
b) \(\sqrt{324} = 18\) : la touche \(\sqrt{\phantom{a}}\) donne le nombre positif dont le carré vaut 324. Vérification : \(18 \times 18 = 324\) ✓. Le grand tapis mesure 18 m. (−18 est aussi solution de \(x^2 = 324\), mais une longueur est positive.)
c) \(18 - 4 - 4 = 10\) : la surface de combat mesure 10 m. Oui, c'est la taille des Jeux olympiques.
Partie 4 — Quand une multiplication donne-t-elle 0 ?
a) Quand le résultat est-il 0 ? Complète : quand un des deux nombres est .
b) Je multiplie 6 par un nombre caché et je trouve 0 : \(6 \times \ldots = 0\). Quel est le nombre caché ?
Correction :
\(0 \times 37 = 0\) ; \(12 \times 0 = 0\) ; \(5 \times 3 = 15\) ; \((-4) \times 0 = 0\) ; \(2 \times 9 = 18\).
a) Le résultat est 0 quand un des deux nombres est 0. Si aucun nombre n'est 0 (comme \(5 \times 3\)), le résultat n'est pas 0.
b) 6 n'est pas 0, donc c'est le nombre caché qui vaut 0 : \(6 \times 0 = 0\).
Question 9 ANA : On revient à la surface de combat de 100 m². Son côté \(x\) vérifie \(x^2 = 100\). Voici un calcul : \((x - 10) \times (x + 10)\). Complète le tableau.
\(x\)
\(x - 10\)
\(x + 10\)
\((x - 10) \times (x + 10)\)
0
−10
10
\((-10) \times 10 = -100\)
5
10
−10
a) Pour quelles valeurs de \(x\) le résultat est-il 0 ?
b) Pourquoi ? Regarde les deux parenthèses :
c) Compare avec les deux solutions de \(x^2 = 100\) (le côté 10 et son opposé −10). Que remarques-tu ?
Correction :
\(x = 5\) : \(5 - 10 = -5\) et \(5 + 10 = 15\), donc \((-5) \times 15 = -75\).
\(x = 10\) : \(10 - 10 = 0\) et \(10 + 10 = 20\), donc \(0 \times 20 = 0\).
\(x = -10\) : \(-10 - 10 = -20\) et \(-10 + 10 = 0\), donc \((-20) \times 0 = 0\).
a) Le résultat est 0 pour \(x = 10\) et pour \(x = -10\).
b) Pour \(x = 10\), la première parenthèse vaut 0. Pour \(x = -10\), la deuxième parenthèse vaut 0. Dès qu'un des facteurs vaut 0, le produit vaut 0.
c) Ce sont les mêmes nombres : 10 et −10. Dans le cours, tu verras pourquoi : \((x - 10)(x + 10) = x^2 - 100\). Résoudre \(x^2 = 100\), c'est la même chose que résoudre \((x - 10)(x + 10) = 0\).
Bilan — Ce que j'ai découvert
Complète avec tes mots :
L'aire d'un carré de côté \(x\), c'est \(x \times x\), qu'on écrit .
Pour trouver le côté d'un carré de 64 m², je cherche le nombre positif qui, multiplié par , donne 64. C'est .
L'équation \(x^2 = 64\) a deux solutions : 8 et . Pour une longueur, je garde seulement la solution .
À la calculatrice, la touche donne le côté directement.
Une multiplication donne 0 quand un des facteurs vaut .
L'aire d'un carré de côté \(x\), c'est \(x \times x = x^2\) (« \(x\) au carré »).
Je cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 64. C'est 8.
\(x^2 = 64\) a deux solutions : 8 et −8. Pour une longueur, je garde la solution positive.
La touche \(\sqrt{\phantom{a}}\) (racine carrée) : \(\sqrt{324} = 18\).
Une multiplication donne 0 quand un des facteurs vaut 0.
Réponse à la problématique : pour retrouver le côté d'un tapis carré dont on connaît l'aire, on résout l'équation \(x^2 = \text{aire}\) : on cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne l'aire (avec le tableau des carrés ou la touche \(\sqrt{\phantom{a}}\)). Le tapis de 64 m² a 8 m de côté, le grand tapis olympique de 324 m² a 18 m de côté. Dans le cours, tu apprendras la règle du produit nul (si \(A \times B = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\)), à résoudre des équations comme \((x - 3)(x + 5) = 0\), et à transformer \(x^2 - 100\) en \((x - 10)(x + 10)\).