Chapitre 13 – Grandeurs composées et volumes

3e prépa-métiers | Mathématiques | Grandeurs et mesures

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Multiplier et diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 en déplaçant la virgule, et lire le préfixe « kilo » : 1 kW = 1 000 W (chapitre 2).
Calculer l'aire d'un rectangle (\(L \times l\)), d'un triangle (\(\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\)) et d'un disque (\(\pi \times r \times r\)).
Utiliser la touche \(\pi\) de la calculatrice et arrondir un résultat au dixième ou à l'unité.
Savoir que 1 h = 60 min.

Objectifs du chapitre :

C1 – Calculer avec une grandeur quotient (vitesse en km/h, débit en L/min, prix au kg) et donner l'unité.
C2 – Calculer avec une grandeur produit (énergie en kWh = kW × h, travail en personnes × jours) et donner l'unité.
C3 – Calculer le volume d'un pavé droit, d'un prisme droit et d'un cylindre.
C4 – Calculer le volume d'une pyramide, d'un cône et d'une boule (formule fournie).
C5 – Convertir des unités de volume et de contenance (m³, dm³, cm³, L, mL ; 1 L = 1 dm³ ; 1 000 L = 1 m³).
C6 – Résoudre un problème concret (remplissage, débit, durée) en enchaînant volume, conversion et grandeur quotient.

1. Situation d'entrée — La piscine gonflable

Combien de temps pour la remplir ?

Cet été, Sofiane installe une piscine gonflable ronde dans le jardin. Elle mesure 2 m de diamètre. Il veut 0,6 m d'eau. Le tuyau d'arrosage donne 20 litres par minute.

La piscine de Sofiane : un cylindre de 2 m de diamètre, rempli sur 0,6 m.

Question 1 : combien de litres d'eau faut-il ?
Question 2 : combien de temps faut-il pour la remplir ?

Pour répondre, il faut calculer un volume, le convertir en litres, puis utiliser le débit. Les réponses sont données dans la section 7.

2. Les grandeurs quotients (C1)

Définition Une grandeur quotient s'obtient en divisant une grandeur par une autre. Son unité contient une barre « / » qui se lit « par ».

Grandeur quotient	Calcul	Unité	Se lit
Vitesse	distance : durée	km/h	kilomètres par heure
Débit	volume : durée	L/min	litres par minute
Prix au kilo	prix : masse	€/kg	euros par kilogramme
Prix au litre	prix : volume	€/L	euros par litre

La masse volumique (en g/cm³, vue en physique-chimie au chapitre 6) est aussi une grandeur quotient : masse : volume.

Ce que ça veut dire Un débit de 5 L/min veut dire : 5 litres chaque minute. Une vitesse de 45 km/h veut dire : 45 km chaque heure.

Le débit, c'est le volume qui coule en une minute.

Méthode Calculer une grandeur quotient

J'écris la formule en mots, par exemple : vitesse = distance : durée.

Je remplace par les nombres de l'énoncé.

Je calcule (calculatrice autorisée).

J'écris l'unité : unité du haut / unité du bas (km/h, L/min, €/kg).

Exemple 1 : en scooter, Lina fait 90 km en 2 h. Quelle est sa vitesse moyenne ?

vitesse = distance : durée

vitesse = 90 : 2

vitesse = 45

La distance est en km, la durée en h : vitesse = 45 km/h.

Exemple 2 : au marché, 3 kg de pommes coûtent 7,50 €. Quel est le prix au kilo ?

prix au kilo = prix : masse = \(7{,}50 : 3 = 2{,}50\). Le prix est en €, la masse en kg : 2,50 €/kg.

Retrouver une autre grandeur Si on connaît la grandeur quotient, on peut retrouver les autres :

distance = vitesse × durée ; durée = distance : vitesse
volume = débit × durée ; durée = volume : débit

Exemple 3 : une voiture roule à 80 km/h pendant 3 h. Quelle distance parcourt-elle ?

distance = vitesse × durée = \(80 \times 3 = 240\). Elle parcourt 240 km.

Attention

Une durée doit être écrite avec la bonne unité : 30 min = 0,5 h ; 1 h 30 min = 1,5 h (et pas 1,30 h).
L'ordre compte : pour un prix au kilo, on divise le prix par la masse, pas l'inverse.
Sans unité, la réponse est incomplète : « 45 » ne veut rien dire, « 45 km/h » oui.

À toi

a) À vélo, Yanis fait 30 km en 2 h. Calcule sa vitesse.
b) Un tuyau remplit un bidon de 60 L en 4 min. Calcule le débit.
c) 2 kg de tomates coûtent 5 €. Calcule le prix au kilo.
d) Un camion roule à 70 km/h pendant 2 h. Calcule la distance parcourue.

a) vitesse = distance : durée = \(30 : 2 = 15\). Vitesse : 15 km/h.
b) débit = volume : durée = \(60 : 4 = 15\). Débit : 15 L/min.
c) prix au kilo = prix : masse = \(5 : 2 = 2{,}5\). Prix : 2,50 €/kg.
d) distance = vitesse × durée = \(70 \times 2 = 140\). Distance : 140 km.

3. Les grandeurs produits (C2)

Définition Une grandeur produit s'obtient en multipliant deux grandeurs. Son unité « colle » les deux unités.

Énergie électrique = puissance × durée. Avec une puissance en kW et une durée en h, l'énergie est en kWh (kilowattheure). C'est l'unité de la facture d'électricité.
Quantité de travail sur un chantier = nombre de personnes × nombre de jours. L'unité est le « jour de travail » (une personne pendant un jour).
L'aire est aussi une grandeur produit : m × m = m².

Méthode Calculer une énergie en kWh

Je mets la puissance en kW (2 000 W = 2 kW) et la durée en h (30 min = 0,5 h).

J'écris la formule : énergie = puissance × durée, et je remplace.

Je calcule.

J'écris l'unité : kW × h donne kWh.

Exemple 1 : un radiateur de 2 000 W fonctionne pendant 3 h. Quelle énergie consomme-t-il ?

2 000 W = 2 kW. La durée est déjà en heures : 3 h.

énergie = puissance × durée = \(2 \times 3\)

énergie = 6

Le radiateur consomme 6 kWh.

Si le kWh coûte 0,20 €, cela coûte \(6 \times 0{,}20 = 1{,}20\) € (ici, 0,20 €/kWh est un prix par kWh : une grandeur quotient).

Exemple 2 : pour carreler une salle, il faut 3 carreleurs pendant 4 jours. Quelle est la quantité de travail ?

Chaque case, c'est une personne qui travaille pendant un jour.

quantité de travail = \(3 \times 4 = 12\) : il faut 12 jours de travail. Avec 2 carreleurs seulement, il faudrait \(12 : 2 = 6\) jours.

Attention

Avant de multiplier, mets la puissance en kW : 1 500 W = 1,5 kW ; 100 W = 0,1 kW.
Mets la durée en heures : 30 min = 0,5 h ; 15 min = 0,25 h.
Le kW (puissance) et le kWh (énergie) sont deux choses différentes : le kWh tient compte de la durée.

À toi

a) Un four de 3 kW chauffe pendant 2 h. Calcule l'énergie consommée.
b) Une télévision de 100 W reste allumée 5 h. Calcule l'énergie consommée en kWh.
c) Une bouilloire de 2 kW fonctionne pendant 30 min. Calcule l'énergie consommée.
d) 4 peintres travaillent pendant 5 jours. Calcule la quantité de travail.

a) énergie = \(3 \times 2 = 6\). Énergie : 6 kWh.
b) 100 W = 0,1 kW. énergie = \(0{,}1 \times 5 = 0{,}5\). Énergie : 0,5 kWh.
c) 30 min = 0,5 h. énergie = \(2 \times 0{,}5 = 1\). Énergie : 1 kWh.
d) quantité de travail = \(4 \times 5 = 20\). Il y a 20 jours de travail.

4. Volume du pavé, du prisme et du cylindre (C3)

Définition Le volume d'un solide, c'est la place qu'il occupe dans l'espace. On le mesure en unités cubes : cm³, dm³, m³.
1 cm³, c'est un petit cube de 1 cm de côté. Le volume est aussi une grandeur produit : cm × cm × cm = cm³.

Formulaire 1 : les solides « droits » Ces trois solides ont deux faces pareilles, en haut et en bas (ou devant et derrière) : la base. Leur volume se calcule toujours de la même façon : \[V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\]

Pavé, prisme droit, cylindre : V = aire de la base × hauteur. Pour le cylindre, la base est un disque d'aire π × r × r.

Solide	Base	Volume
Pavé droit	rectangle d'aire \(L \times l\)	\(V = L \times l \times h\)
Prisme droit	triangle (ou autre polygone)	\(V = \text{aire de la base} \times h\)
Cylindre	disque d'aire \(\pi \times r^2\)	\(V = \pi \times r^2 \times h\)

\(r^2\) se lit « r au carré » et veut dire \(r \times r\) (chapitre 2).

Méthode Calculer un volume

J'écris la formule du solide (formulaire). Je vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité.

Je remplace les lettres par les nombres.

Je calcule (touche \(\pi\) pour le cylindre) et j'arrondis comme demandé.

J'écris l'unité : longueurs en cm → volume en cm³ ; en m → m³.

Exemple 1 (pavé droit) : un aquarium mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Calcule son volume.

\(V = L \times l \times h\). Tout est en cm.

\(V = 60 \times 30 \times 40\)

\(V = 72\,000\)

Le volume de l'aquarium est 72 000 cm³.

Exemple 2 (prisme droit) : un maçon coule une petite rampe en béton. C'est un prisme droit. Sa base est un triangle rectangle de côtés 1,2 m et 0,5 m (angle droit entre les deux). La rampe est longue de 2 m. Calcule le volume de béton.

\(V = \text{aire de la base} \times h\). La base est un triangle : aire \(= \dfrac{1{,}2 \times 0{,}5}{2} = 0{,}3\) m².

\(V = 0{,}3 \times 2\)

\(V = 0{,}6\)

Il faut 0,6 m³ de béton.

Exemple 3 (cylindre) : une citerne de récupération d'eau de pluie est un cylindre de rayon 0,4 m et de hauteur 1 m. Calcule son volume, arrondi au centième.

\(V = \pi \times r^2 \times h\). Tout est en m.

\(V = \pi \times 0{,}4 \times 0{,}4 \times 1\)

À la calculatrice : \(V \approx 0{,}502\,65…\), soit \(V \approx 0{,}50\).

Le volume de la citerne est d'environ 0,50 m³.

Attention

Rayon ou diamètre ? Le rayon est la moitié du diamètre. Une boîte de 10 cm de diamètre a un rayon de 5 cm.
\(r^2 = r \times r\), et pas \(r \times 2\) : \(4^2 = 16\), pas 8.
Toutes les longueurs dans la même unité : une dalle de 4 m sur 3 m et 12 cm d'épaisseur → on écrit 12 cm = 0,12 m.
Pour le prisme, la « hauteur » \(h\) est la longueur entre les deux bases, même si le prisme est couché.

À toi

a) Une boîte à chaussures mesure 30 cm, 20 cm et 10 cm. Calcule son volume.
b) Une dalle de béton mesure 4 m de long, 3 m de large et 0,12 m d'épaisseur. Calcule son volume.
c) Une canette est un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 12 cm. Calcule son volume, arrondi à l'unité.
d) Une boîte de conserve a un diamètre de 10 cm et une hauteur de 20 cm. Calcule son volume, arrondi à l'unité.

a) \(V = 30 \times 20 \times 10 = 6\,000\). Volume : 6 000 cm³.
b) \(V = 4 \times 3 \times 0{,}12 = 1{,}44\). Volume : 1,44 m³.
c) \(V = \pi \times 3 \times 3 \times 12 \approx 339{,}29\). Volume : environ 339 cm³.
d) Rayon = \(10 : 2 = 5\) cm. \(V = \pi \times 5 \times 5 \times 20 \approx 1\,570{,}8\). Volume : environ 1 571 cm³.

5. Volume de la pyramide, du cône et de la boule (C4)

Formulaire 2 : les solides « pointus » et la boule Une pyramide (ou un cône) remplit le tiers du prisme (ou du cylindre) qui a la même base et la même hauteur. C'est pour cela qu'on divise par 3.

Pyramide, cône, boule : la hauteur part du sommet et tombe à angle droit sur la base. Pour la boule, seul le rayon compte.

Solide	Volume
Pyramide	\(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times h}{3}\)
Cône	\(V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}\)
Boule	\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3\) avec \(r^3 = r \times r \times r\)

Tu n'as pas à apprendre ces formules par cœur : elles sont données. Tu dois savoir les utiliser.

Exemple 1 (pyramide) : une tente a la forme d'une pyramide à base carrée de 2 m de côté. Sa hauteur est 1,5 m. Calcule son volume.

\(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times h}{3}\). La base est un carré : aire \(= 2 \times 2 = 4\) m².

\(V = \dfrac{4 \times 1{,}5}{3}\)

\(V = \dfrac{6}{3} = 2\)

Le volume de la tente est 2 m³.

Exemple 2 (cône) : un cornet de glace est un cône de rayon 2,5 cm et de hauteur 10 cm. Calcule son volume, arrondi au dixième.

\(V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}\)

\(V = \dfrac{\pi \times 2{,}5 \times 2{,}5 \times 10}{3}\)

À la calculatrice : \(V \approx 65{,}449…\), soit \(V \approx 65{,}4\).

Le cornet contient environ 65,4 cm³.

Exemple 3 (boule) : une boule de glace a un rayon de 3 cm. Calcule son volume, arrondi au dixième.

\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3\)

\(V = 4 : 3 \times \pi \times 3 \times 3 \times 3\)

À la calculatrice : \(V \approx 113{,}097…\), soit \(V \approx 113{,}1\).

La boule de glace a un volume d'environ 113,1 cm³.

Attention

N'oublie pas de diviser par 3 pour la pyramide et le cône.
Boule : \(r^3 = r \times r \times r\) (trois fois), et pas \(r \times 3\).
La hauteur d'une pyramide ou d'un cône est la distance du sommet à la base, à angle droit. Ce n'est pas la longueur d'une arête penchée.
À la calculatrice, tape \(4 \div 3 \times \pi \times 3 \times 3 \times 3\) d'un seul coup, puis arrondis seulement à la fin.

À toi

a) Une pyramide a une base carrée de 6 cm de côté et une hauteur de 10 cm. Calcule son volume.
b) Un entonnoir a la forme d'un cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm. Calcule son volume, arrondi au dixième.
c) Un ballon de basket est une boule de rayon 12 cm. Calcule son volume, arrondi à l'unité.
d) Une bille est une boule de rayon 1 cm. Calcule son volume, arrondi au dixième.

a) Aire de la base : \(6 \times 6 = 36\) cm². \(V = \dfrac{36 \times 10}{3} = \dfrac{360}{3} = 120\). Volume : 120 cm³.
b) \(V = \dfrac{\pi \times 3 \times 3 \times 4}{3} \approx 37{,}69\). Volume : environ 37,7 cm³.
c) \(V = 4 : 3 \times \pi \times 12 \times 12 \times 12 \approx 7\,238{,}2\). Volume : environ 7 238 cm³.
d) \(V = 4 : 3 \times \pi \times 1 \times 1 \times 1 \approx 4{,}19\). Volume : environ 4,2 cm³.

6. Convertir des volumes et des contenances (C5)

6.1 Le tableau de conversion

Définition

Un volume se mesure en m³, dm³, cm³ (unités cubes).
Une contenance (ce que contient une bouteille, une citerne) se mesure en litres : L, dL, cL, mL…

À connaître \[1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 \qquad 1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3 \qquad 1\,000 \text{ L} = 1 \text{ m}^3\] Entre deux unités de volume qui se suivent, on multiplie par 1 000 : 1 m³ = 1 000 dm³ et 1 dm³ = 1 000 cm³. Donc 1 m³ = 1 000 000 cm³ = \(10^{6}\) cm³ (chapitre 2).

Le tableau de conversion : 3 petites colonnes par unité de volume. Le litre est sous le dm³, le millilitre sous le cm³.

Méthode Convertir avec le tableau

J'écris le nombre dans le tableau : le chiffre des unités va dans la dernière petite colonne de son unité (pour les m³, dm³, cm³) ou dans la colonne de son unité (pour L, mL…).

Je complète avec des zéros jusqu'à la colonne de l'unité demandée.

Je place la virgule juste après la colonne de l'unité demandée et je lis le résultat.

Exemples :

2,5 m³ en litres : 2,5 m³ = 2 500 dm³ = 2 500 L (ligne 1 du tableau).
330 mL en litres (une canette) : 330 mL = 0,33 L (ligne 2 du tableau).
L'aquarium de la section 4 : 72 000 cm³ = 72 dm³ = 72 L.
La citerne de la section 4 : 0,50 m³ = 500 dm³ = 500 L.

Raccourcis

Pour passer de…	à…	on…	Exemple
m³	L	multiplie par 1 000	3 m³ = 3 000 L
L	m³	divise par 1 000	4 500 L = 4,5 m³
cm³	L	divise par 1 000	250 cm³ = 0,25 L
L	cm³ (ou mL)	multiplie par 1 000	1,5 L = 1 500 cm³

6.2 Changer l'unité d'un débit

On peut aussi convertir une grandeur quotient. On convertit une unité à la fois.

Exemple : une pompe a un débit de 3 m³/h. Combien de litres par minute ?

On change le volume : 3 m³ = 3 000 L. Le débit est de 3 000 L/h.

On change la durée : 1 h = 60 min. En 1 min, la pompe donne \(3\,000 : 60 = 50\) L.

Le débit est de 50 L/min.

Attention

Pour les volumes, on avance de 3 colonnes par unité (× 1 000), pas d'une seule comme pour les longueurs (× 10).
1 L = 1 dm³, et non 1 m³. Une citerne de 1 m³ contient 1 000 L.
Ne confonds pas 1 mL (= 1 cm³) et 1 m³ (= 1 000 000 mL).

À toi

Convertis.
a) 3 m³ en L b) 4 500 L en m³ c) 250 cm³ en L d) 1,5 L en cm³ e) 6 000 cm³ en L
f) Un robinet a un débit de 1,2 m³/h. Combien de litres par minute ?

a) 3 m³ = 3 000 dm³ = 3 000 L.
b) \(4\,500 : 1\,000 = 4{,}5\) : 4 500 L = 4,5 m³.
c) 250 cm³ = 250 mL = 0,25 L.
d) 1,5 L = 1,5 dm³ = 1 500 cm³.
e) 6 000 cm³ = 6 dm³ = 6 L (c'est la boîte à chaussures de la section 4).
f) 1,2 m³ = 1 200 L, donc 1 200 L/h. \(1\,200 : 60 = 20\). Débit : 20 L/min.

7. Résoudre un problème de remplissage (C6)

Méthode Trouver le temps de remplissage

Je calcule le volume du récipient (formulaire).

Je convertis ce volume dans l'unité du débit (souvent en litres).

Je calcule la durée : durée = volume : débit.

Si besoin, j'écris la durée en heures et minutes (1 h = 60 min), puis je fais une phrase de réponse.

Réponse aux questions de la situation : piscine de 2 m de diamètre, 0,6 m d'eau, tuyau de 20 L/min.

C'est un cylindre. Rayon = \(2 : 2 = 1\) m. \(V = \pi \times 1 \times 1 \times 0{,}6 \approx 1{,}885\) m³.

1,885 m³ = 1 885 dm³ = 1 885 L. C'est la réponse à la question 1.

durée = volume : débit = \(1\,885 : 20 \approx 94\) min.

94 min = 60 min + 34 min = 1 h 34 min.

Il faut environ 1 885 L d'eau, et Sofiane devra laisser couler le tuyau environ 1 h 34 min.

Exemple 2 : on vide la citerne d'eau de pluie de la section 4 (environ 0,50 m³) avec un tuyau de 10 L/min pour arroser le potager. Combien de temps faut-il ?

Volume : environ 0,50 m³ (déjà calculé).

0,50 m³ = 500 L.

durée = \(500 : 10 = 50\) min.

Il faut environ 50 minutes pour vider la citerne.

Attention

Cohérence des unités : un débit en L/min va avec un volume en L ; un débit en m³/h va avec un volume en m³. Sinon, on convertit d'abord.
94 min, ce n'est pas 0,94 h ni 9 h 4 min : on enlève 60 min pour faire 1 h, il reste 34 min.
Vérifie que ta réponse est raisonnable : remplir une petite piscine au tuyau prend environ une heure ou deux, pas 3 secondes ni 3 jours.

À toi

a) L'aquarium de la section 4 a un volume de 72 000 cm³. Convertis ce volume en litres.
b) On le remplit avec un robinet de 6 L/min. Combien de temps faut-il ?
c) Une baignoire contient 150 L. Le robinet donne 12 L/min. Combien de temps faut-il pour la remplir ? Donne la réponse en minutes et secondes.

a) 72 000 cm³ = 72 dm³ = 72 L.
b) durée = volume : débit = \(72 : 6 = 12\). Il faut 12 minutes.
c) durée = \(150 : 12 = 12{,}5\) min. 0,5 min = 30 s. Il faut 12 min 30 s.

8. L'essentiel à retenir

À retenir :

Grandeur quotient : on divise. Vitesse = distance : durée (km/h) ; débit = volume : durée (L/min) ; prix au kilo = prix : masse (€/kg). Le « / » se lit « par ».
On retrouve les autres grandeurs : distance = vitesse × durée ; durée = volume : débit.
Grandeur produit : on multiplie. Énergie = puissance × durée : kW × h = kWh. Travail = personnes × jours.
Solides droits : V = aire de la base × h. Pavé : \(L \times l \times h\) ; cylindre : \(\pi \times r^2 \times h\).
Pyramide et cône : on divise par 3. Boule : \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3\).
Toujours : formule, je remplace, je calcule, j'écris l'unité. Le rayon est la moitié du diamètre.
Conversions : 1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³ ; 1 000 L = 1 m³. Entre m³, dm³ et cm³ : × 1 000 ou : 1 000.
Problème de remplissage : volume → conversion en litres → durée = volume : débit → heures et minutes.