C2 – Placer une probabilité sur une échelle de 0 à 1 (impossible, peu probable, une chance sur deux, très probable, certain).
C3 – Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité (cas favorables ÷ cas possibles).
C4 – Écrire une probabilité sous forme de fraction, de nombre décimal et de pourcentage.
C5 – Calculer la probabilité de l'événement contraire (1 − p).
C6 – Relier fréquence et probabilité : quand on répète beaucoup l'expérience, la fréquence se rapproche de la probabilité.
1. Situation d'entrée — La loterie de la kermesse
Quel stand choisir ?
À la kermesse du collège, Nassim a un seul ticket. Il hésite entre deux stands.
Stand A : on fait tourner une roue partagée en 8 parts égales. Si la flèche s'arrête sur une part G, on gagne. Sur une part P, on perd.
Stand B : on tire une balle sans regarder dans un sac de 10 balles. Une balle jaune fait gagner, une balle bleue fait perdre.
Stand A : 3 parts G (gagné) et 5 parts P (perdu). Stand B : 4 balles jaunes (gagné) et 6 balles bleues (perdu).
Question 1 : à quel stand Nassim a-t-il le plus de chances de gagner ? Question 2 : au stand A, quelle est la probabilité de perdre ?
Pour répondre, il faut savoir mesurer une chance avec un nombre. C'est le but de ce chapitre. Les réponses sont données dans les sections 5 et 6.
2. Le vocabulaire du hasard (C1)
Définition
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. Exemples : lancer un dé, lancer une pièce, tirer une boule dans un sac sans regarder.
Une issue est un résultat possible de l'expérience. Quand on lance un dé, il y a 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Un événement est une phrase qui décrit ce qu'on attend, par exemple « obtenir un nombre pair ». Il est réalisé par une ou plusieurs issues : ici 2, 4 et 6.
Quand on lance un dé à 6 faces, il y a 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Définition
Un événement certain est un événement qui se réalise à tous les coups. Avec un dé : « obtenir un nombre plus petit que 7 ».
Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. Avec un dé : « obtenir 8 ».
MéthodeDécrire une expérience aléatoire
1
Écrire toutes les issues, entre accolades ou sous forme de liste.
2
Pour un événement, entourer les issues qui le réalisent.
3
Si toutes les issues sont entourées, l'événement est certain. Si aucune issue n'est entourée, il est impossible.
Exemple 1 : on lance une pièce de monnaie.
1
Il y a 2 issues : pile et face.
2
L'événement « obtenir pile » est réalisé par une seule issue : pile.
3
« Obtenir pile ou face » est certain. « Obtenir 3 » est impossible : une pièce n'a pas de numéro.
Exemple 2 : on lance un dé à 6 faces.
Événement
Issues qui le réalisent
Type
« Obtenir un nombre pair »
2, 4, 6
ni certain, ni impossible
« Obtenir plus que 4 »
5, 6
ni certain, ni impossible
« Obtenir un nombre entre 1 et 6 »
1, 2, 3, 4, 5, 6 (toutes)
certain
« Obtenir 0 »
aucune
impossible
Attention
Une issue, c'est un seul résultat (« obtenir 4 »). Un événement peut regrouper plusieurs issues (« obtenir un nombre pair »).
« Plus que 4 » veut dire 5 ou 6 : le 4 n'est pas compris.
Le hasard n'a pas de mémoire : si on a eu 6 au lancer d'avant, on peut très bien avoir encore 6.
À toi
On fait tourner cette roue partagée en 4 parts égales.
Une roue à 4 couleurs.
a) Écris toutes les issues.
b) Quelles issues réalisent l'événement « tomber sur une couleur du drapeau français » ?
c) L'événement « tomber sur du noir » est-il certain ou impossible ?
d) Invente un événement certain.
a) Il y a 4 issues : rouge, bleu, vert, jaune.
b) Le drapeau français est bleu, blanc, rouge. Il n'y a pas de blanc sur la roue : l'événement est réalisé par bleu et rouge.
c) Il n'y a pas de noir sur la roue : l'événement est impossible.
d) Par exemple : « tomber sur une couleur », ou « tomber sur rouge, bleu, vert ou jaune ». Toutes les issues le réalisent : il est certain.
3. L'échelle des probabilités (C2)
Définition
La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure ses chances de se réaliser. C'est toujours un nombre entre 0 et 1.
Probabilité 0 : l'événement est impossible.
Probabilité 0,5 (ou \(\dfrac{1}{2}\), ou 50 %) : il y a une chance sur deux.
Probabilité 1 : l'événement est certain.
Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement a de chances de se réaliser.
L'échelle des probabilités : de 0 (impossible) à 1 (certain).
MéthodePlacer un événement sur l'échelle
1
Se demander : l'événement est-il impossible (0) ou certain (1) ?
2
Sinon, se demander : est-ce qu'il y a autant de chances qu'il arrive ou qu'il n'arrive pas ? Si oui, il est au milieu (0,5).
3
Sinon, le placer du côté de 0 (peu probable) ou du côté de 1 (très probable).
Exemple : on place cinq événements sur l'échelle.
A : « obtenir 7 avec un dé à 6 faces ». Impossible : probabilité 0.
B : « obtenir un nombre entre 1 et 6 avec un dé ». Certain : probabilité 1.
C : « obtenir pile en lançant une pièce ». Pile ou face : une chance sur deux, 0,5.
D : la météo annonce « 70 % de risque de pluie demain ». « Il pleut demain » est probable : 70 % = 0,7, entre 0,5 et 1.
E : « gagner le gros lot d'une tombola de 200 billets avec un seul billet ». Peu probable : très près de 0.
Les cinq événements de l'exemple placés sur l'échelle.
Attention
Une probabilité n'est jamais plus grande que 1 et jamais négative. Si tu trouves 1,5 ou −0,2, il y a une erreur.
« Peu probable » ne veut pas dire « impossible » : un événement de probabilité 0,01 peut quand même arriver.
À toi
Pour chaque événement, dis s'il est impossible, peu probable, une chance sur deux, très probable ou certain.
a) Dans un sac qui ne contient que des boules rouges, tirer une boule verte.
b) Dans un sac de 9 boules rouges et 1 boule bleue, tirer une boule rouge.
c) Lancer un dé et obtenir un nombre impair.
d) Dans un sac de 1 boule rouge et 9 boules bleues, tirer la boule rouge.
e) Après le lundi, le jour suivant est un mardi.
a) Il n'y a pas de boule verte : impossible (0).
b) Presque toutes les boules sont rouges : très probable (près de 1).
c) Impairs : 1, 3, 5, soit 3 issues sur 6 : une chance sur deux (0,5).
d) Une seule boule rouge sur 10 : peu probable (près de 0).
e) C'est toujours vrai : certain (1). Ce n'est d'ailleurs pas une expérience aléatoire.
4. Calculer une probabilité (C3)
Définition
Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même chance de sortir. C'est le cas avec un dé bien équilibré, une pièce, des boules de même taille tirées sans regarder, une roue partagée en parts égales.
Propriété
Quand il y a équiprobabilité :
\[\text{probabilité d'un événement} = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\]
Les cas favorables sont les issues qui réalisent l'événement. Les cas possibles sont toutes les issues.
MéthodeCalculer une probabilité
1
Je compte les cas favorables (ce que je veux obtenir) : c'est le nombre du haut.
2
Je compte tous les cas possibles : c'est le nombre du bas.
3
J'écris la fraction, puis je la simplifie si je peux.
Exemple 1 : on lance un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
1
Cas favorables : 2, 4, 6, soit 3.
2
Cas possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6, soit 6.
3
Probabilité : \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\). Une chance sur deux.
Exemple 2 : on tire une boule au hasard dans ce sac.
Un sac de 10 boules de même taille.
1
Pour « tirer une boule rouge », il y a 3 cas favorables.
2
Il y a \(3 + 5 + 2 = 10\) boules : 10 cas possibles.
3
Probabilité de tirer une boule rouge : \(\dfrac{3}{10}\).
Exemple 3 : on fait tourner une roue partagée en 8 parts égales, numérotées de 1 à 8. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre plus grand que 5 ?
Une roue de 8 parts égales, numérotées de 1 à 8.
1
Plus grand que 5 : 6, 7, 8, soit 3 cas favorables.
2
8 parts : 8 cas possibles.
3
Probabilité : \(\dfrac{3}{8}\). Cette fraction ne se simplifie pas.
Attention
En bas, on met tous les cas possibles, pas seulement les cas « perdants ». Dans le sac, c'est \(\dfrac{3}{10}\) et non \(\dfrac{3}{7}\).
La formule ne marche que si toutes les issues ont la même chance. Sur la roue ci-dessous, le rouge prend la moitié de la roue : la probabilité de tomber sur rouge est \(\dfrac{1}{2}\), et non \(\dfrac{1}{3}\).
Trois couleurs, mais des parts de tailles différentes : il n'y a pas équiprobabilité.
À toi
Au club de sport, un sac contient 4 ballons de football, 6 ballons de basket et 2 ballons de rugby. Le coach tire un ballon sans regarder.
a) Combien y a-t-il de cas possibles ?
b) Quelle est la probabilité de tirer un ballon de basket ?
c) Quelle est la probabilité de tirer un ballon de rugby ?
d) Quelle est la probabilité de tirer un ballon de handball ?
a) \(4 + 6 + 2 = 12\) : 12 cas possibles.
b) 6 ballons de basket : \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\). Une chance sur deux.
c) 2 ballons de rugby : \(\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\).
d) Il n'y a aucun ballon de handball : \(\dfrac{0}{12} = 0\). C'est impossible.
5. Fraction, nombre décimal, pourcentage (C4)
Propriété
Une même probabilité peut s'écrire de trois façons :
en fraction : \(\dfrac{3}{4}\) ;
en nombre décimal : on divise le haut par le bas, \(3 : 4 = 0{,}75\) ;
en pourcentage : on multiplie le nombre décimal par 100, \(0{,}75 \times 100 = 75\), soit 75 %.
C'est la même méthode que pour les fréquences du chapitre 3.
MéthodePasser d'une écriture à une autre
1
Fraction → décimal : taper « haut : bas » à la calculatrice.
2
Décimal → pourcentage : multiplier par 100.
3
Pourcentage → fraction : écrire le pourcentage sur 100, par exemple \(70\,\% = \dfrac{70}{100} = \dfrac{7}{10}\).
Exemple 1 : les écritures à connaître.
Fraction
Nombre décimal
Pourcentage
En mots
\(\dfrac{1}{2}\)
0,5
50 %
une chance sur deux
\(\dfrac{1}{4}\)
0,25
25 %
une chance sur quatre
\(\dfrac{3}{4}\)
0,75
75 %
trois chances sur quatre
\(\dfrac{1}{5}\)
0,2
20 %
une chance sur cinq
\(\dfrac{1}{10}\)
0,1
10 %
une chance sur dix
Réponse à la question 1 de la situation : on compare les deux stands.
1
Stand A : 3 parts G sur 8 parts. Probabilité de gagner : \(\dfrac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\), soit 37,5 %.
2
Stand B : 4 balles jaunes sur 10 balles. Probabilité de gagner : \(\dfrac{4}{10} = 0{,}4\), soit 40 %.
3
40 % est plus grand que 37,5 % : Nassim a un peu plus de chances de gagner au stand B.
Les fractions \(\dfrac{3}{8}\) et \(\dfrac{4}{10}\) sont difficiles à comparer. En décimal ou en pourcentage, c'est facile.
Attention
Certaines divisions ne tombent pas juste. Exemple : \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333…\) On arrondit : \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\), soit environ 33 %. Le signe ≈ veut dire « environ ».
\(\dfrac{1}{4}\) ne fait pas 0,4 ! On divise : \(1 : 4 = 0{,}25\).
À toi
Recopie et complète le tableau.
Fraction
Nombre décimal
Pourcentage
\(\dfrac{3}{10}\)
…
…
…
0,6
…
…
…
15 %
\(\dfrac{5}{8}\)
…
…
Fraction
Nombre décimal
Pourcentage
\(\dfrac{3}{10}\)
\(3 : 10 = 0{,}3\)
30 %
\(\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\)
0,6
\(0{,}6 \times 100 = 60\) %
\(\dfrac{15}{100} = \dfrac{3}{20}\)
0,15
15 %
\(\dfrac{5}{8}\)
\(5 : 8 = 0{,}625\)
62,5 %
6. L'événement contraire (C5)
Définition
L'événement contraire d'un événement, c'est quand cet événement ne se réalise pas.
Le contraire de « gagner » est « perdre ».
Le contraire de « obtenir 6 » est « ne pas obtenir 6 », c'est-à-dire obtenir 1, 2, 3, 4 ou 5.
Le contraire de « il pleut » est « il ne pleut pas ».
Propriété
Un événement et son contraire se partagent toutes les chances : leurs probabilités font 1 en tout (soit 100 %).
\[\text{probabilité du contraire} = 1 - \text{probabilité de l'événement}\]
En pourcentage : probabilité du contraire = 100 % − pourcentage de l'événement.
MéthodeCalculer la probabilité du contraire
1
Écrire la probabilité de l'événement (fraction, décimal ou pourcentage).
2
Calculer 1 − cette probabilité (ou 100 % − ce pourcentage).
3
Vérifier : les deux probabilités ajoutées font 1 (ou 100 %).
Exemple 1 (météo) : la météo annonce 70 % de risque de pluie. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?
\(100\,\% - 70\,\% = 30\,\%\). La probabilité qu'il ne pleuve pas est 30 %, soit 0,3. Vérification : \(70 + 30 = 100\). ✓
Exemple 2 (penalty) : la probabilité que Sami marque son penalty est 0,8. Quelle est la probabilité qu'il le rate ?
\(1 - 0{,}8 = 0{,}2\). La probabilité qu'il rate est 0,2, soit 20 %.
Exemple 3 (dé) : la probabilité d'obtenir 6 est \(\dfrac{1}{6}\). La probabilité de ne pas obtenir 6 est \(1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).
On retrouve bien 5 cas favorables (1, 2, 3, 4, 5) sur 6 cas possibles.
Réponse à la question 2 de la situation : au stand A, la probabilité de gagner est \(\dfrac{3}{8}\), soit 0,375.
Probabilité de perdre : \(1 - 0{,}375 = 0{,}625\), soit 62,5 %. En fraction : \(\dfrac{5}{8}\), car il y a 5 parts P sur 8. Nassim a plus de chances de perdre que de gagner.
Attention
Avec une fraction, on écrit 1 sous la forme \(\dfrac{6}{6}\), \(\dfrac{8}{8}\)… avec le même nombre en bas.
Ne mélange pas les écritures : on calcule \(1 - 0{,}7\) ou \(100\,\% - 70\,\%\), mais jamais \(1 - 70\).
À toi
a) La probabilité qu'un bus soit en retard est 0,15. Quelle est la probabilité qu'il soit à l'heure ?
b) Il y a 35 % de risque d'orage. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait pas d'orage ?
c) Dans un jeu, la probabilité de gagner est \(\dfrac{2}{9}\). Quelle est la probabilité de perdre ?
a) \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\) : 0,85, soit 85 %.
b) \(100\,\% - 35\,\% = 65\,\%\) : 65 %.
c) \(1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}\) : \(\dfrac{7}{9}\), soit environ 0,78 ou 78 %.
7. Fréquence et probabilité (C6)
Au chapitre 3, tu as appris que la fréquence d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total. Si on lance une pièce 10 fois et qu'on obtient 2 fois pile, la fréquence de pile est \(\dfrac{2}{10} = 0{,}2\). Pourtant, la probabilité de pile est 0,5. Que se passe-t-il quand on lance beaucoup plus de fois ?
Exemple 1 : un ordinateur a simulé 1 000 lancers d'une pièce. Voici la fréquence de « pile » après 10, 50, 100, 500 et 1 000 lancers.
Nombre de lancers
10
50
100
500
1 000
Nombre de « pile »
2
29
51
243
493
Fréquence de « pile »
0,2
0,58
0,51
0,486
0,493
Au début, la fréquence change beaucoup. Plus on lance, plus elle se rapproche de la probabilité 0,5.
Avec 10 lancers, la fréquence (0,2) est loin de 0,5. Avec 1 000 lancers, elle vaut 0,493 : elle est très proche de 0,5.
Propriété
Quand on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité. On dit que la fréquence se stabilise.
Si on connaît la probabilité, on peut prévoir à peu près la fréquence sur beaucoup d'essais.
Si on ne peut pas calculer la probabilité, on fait beaucoup d'essais : la fréquence donne une estimation de la probabilité.
MéthodeSimuler une expérience avec un tableur
1
Dans la cellule A1, taper =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) : le tableur « lance un dé » et affiche un nombre entier de 1 à 6 au hasard.
2
Recopier la formule vers le bas, jusqu'à la ligne 600 : on a 600 lancers.
3
Compter les 6 avec =NB.SI(A1:A600;6), puis calculer la fréquence : nombre de 6 divisé par 600.
Exemple 2 : résultats de 600 lancers de dé simulés au tableur.
Face
1
2
3
4
5
6
Total
Effectif
101
90
94
103
103
109
600
Fréquence (arrondie)
0,17
0,15
0,16
0,17
0,17
0,18
1
La probabilité de chaque face est \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17\). Les fréquences sont toutes proches de 0,17, sans être exactement égales. C'est normal : c'est le hasard.
Exemple 3 (jeu vidéo) : dans un jeu vidéo, on ne connaît pas la probabilité qu'un coffre contienne une épée rare. Des joueurs ont ouvert 2 000 coffres : 100 contenaient l'épée rare.
Fréquence : \(\dfrac{100}{2\,000} = 0{,}05\), soit 5 %. Comme il y a eu beaucoup d'essais, on peut estimer que la probabilité de trouver l'épée rare est environ 0,05, soit environ 5 %.
Attention
Avec peu d'essais, la fréquence peut être loin de la probabilité : 2 piles sur 10 lancers, ça arrive.
La fréquence change d'une série d'essais à l'autre. La probabilité, elle, ne change pas.
Une fréquence observée donne une estimation (« environ »), pas la valeur exacte de la probabilité.
À toi
a) Léo lance une pièce 10 fois et obtient 7 fois pile. Il dit : « la probabilité d'avoir pile est 0,7 ». A-t-il raison ?
b) On a lancé 1 000 fois une punaise. Elle est tombée 620 fois sur le dos (pointe en l'air). Calcule la fréquence et estime la probabilité qu'elle tombe sur le dos.
c) Avec 6 000 lancers d'un dé, environ combien de fois pense-t-on obtenir 6 ?
a) Non. La fréquence est \(\dfrac{7}{10} = 0{,}7\), mais 10 lancers, c'est trop peu. La probabilité de pile est \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) : avec beaucoup plus de lancers, la fréquence se rapprocherait de 0,5.
b) Fréquence : \(\dfrac{620}{1\,000} = 0{,}62\). On peut estimer que la probabilité est environ 0,62, soit environ 62 %.
c) La probabilité d'obtenir 6 est \(\dfrac{1}{6}\). \(6\,000 : 6 = 1\,000\) : on pense obtenir 6 environ 1 000 fois, pas forcément exactement.
8. Pour aller plus loin — Deux dés et le tableau à double entrée (C3)
Quand on lance deux dés en même temps, on peut ranger toutes les issues dans un tableau à double entrée : le premier dé en ligne, le second en colonne. Dans chaque case, on écrit le résultat qui nous intéresse, ici la somme des deux dés.
MéthodeUtiliser un tableau à double entrée
1
Remplir le tableau : chaque case est une issue. Avec deux dés, il y a \(6 \times 6 = 36\) cases, donc 36 cas possibles.
2
Colorier les cases qui réalisent l'événement et les compter : ce sont les cas favorables.
3
Diviser : cas favorables sur 36.
Exemple : on lance un dé rouge et un dé bleu, et on ajoute les deux nombres. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?
Dé rouge \ Dé bleu
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
1
Il y a 36 cases : 36 cas possibles.
2
La somme 7 apparaît dans 6 cases (en gras).
3
Probabilité : \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17\), soit environ 17 %.
La somme 12 n'apparaît qu'une fois : sa probabilité est \(\dfrac{1}{36} \approx 0{,}03\). La somme 7 est la plus fréquente.
Attention
Avec deux dés, il y a 36 cas possibles, et non 12 ni 11 : les sommes de 2 à 12 n'ont pas toutes la même chance.
« Rouge 1 et bleu 6 » et « rouge 6 et bleu 1 » sont deux cases différentes : on compte les deux.
À toi
On lance les deux dés de l'exemple. Utilise le tableau des sommes.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 10 ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 1 ?
a) La somme 10 apparaît dans 3 cases (4 + 6, 5 + 5, 6 + 4) : \(\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}08\), soit environ 8 %.
b) La plus petite somme possible est \(1 + 1 = 2\). Une somme égale à 1 est impossible : probabilité 0.
9. L'essentiel à retenir
À retenir :
Expérience aléatoire : on connaît les résultats possibles, mais on ne peut pas prévoir lequel sortira. Une issue est un résultat possible ; un événement regroupe une ou plusieurs issues.
Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 : 0 = impossible, 0,5 = une chance sur deux, 1 = certain.
Quand toutes les issues ont la même chance : probabilité = cas favorables ÷ cas possibles. Exemple : nombre pair avec un dé, \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
Trois écritures : \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\). Fraction → décimal : on divise. Décimal → pourcentage : on multiplie par 100.
Événement contraire : probabilité du contraire = 1 − probabilité de l'événement (ou 100 % − pourcentage). Exemple : 70 % de pluie, donc 30 % sans pluie.
Quand on répète beaucoup une expérience, la fréquence se rapproche de la probabilité. Avec peu d'essais, elle peut en être loin.
Pour aller plus loin : avec deux dés, un tableau à double entrée montre les 36 cas possibles.