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Activité — Ch12 : Pile ou face, et le numéro Chance du Loto

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Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs (environ 45 minutes, une pièce de monnaie par élève) :

Situation — Le hasard est-il juste ?

Document 1 — Le Loto de la FDJ. Pour jouer une grille de Loto, on coche 5 numéros parmi 49, et un numéro Chance parmi 10 (de 1 à 10). Au tirage, une machine tire au hasard les 5 numéros et le numéro Chance.

Ce que dit la FDJChiffre officiel
Chances de gagner le gros lot (le jackpot) avec une grille1 chance sur 19 068 840
Part des grilles qui gagnent quelque choseenviron 17 %

Source : FDJ, « Quel est le jeu loterie qui offre le plus de chances de gagner ? », fdj.fr, mis à jour le 5 mai 2025 (fdj.fr), consulté le 7 octobre 2026.

Document 2 — Ils ont lancé une pièce des milliers de fois.

Qui ?Nombre de lancersNombre de « pile »
Buffon, savant français (XVIIIe siècle)4 0402 048
John Kerrich, mathématicien, prisonnier pendant la Seconde Guerre mondiale10 0005 067
Karl Pearson, mathématicien anglais (vers 1900)24 00012 012

Source : David Freedman, Robert Pisani et Roger Purves, Statistics, 4e édition, W. W. Norton, 2007, chapitre 16 « The Law of Averages » ; John E. Kerrich, An Experimental Introduction to the Theory of Probability, Copenhague, 1946.

Problématique : Comment mesurer ses chances avec un nombre ? Et si on lance une pièce beaucoup de fois, obtient-on vraiment « pile » une fois sur deux ?

Partie 1 — Tous les résultats possibles

Question 1 APP : On lance une pièce de monnaie.

a) Peut-on savoir à l'avance sur quel côté elle va tomber ?

b) Écris tous les résultats possibles :

c) Combien y a-t-il de résultats possibles ?

Correction :
a) Non. On sait ce qui peut arriver, mais on ne sait pas ce qui va arriver : c'est le hasard. On dit que lancer une pièce est une expérience aléatoire.
b) Pile, face.
c) Il y a 2 résultats possibles. Un résultat possible s'appelle une issue.

Question 2 REA : Au Loto, la machine tire le numéro Chance parmi ces 10 boules (document 1).

a) Combien y a-t-il d'issues ?

b) On veut « un numéro pair ». Écris les numéros qui conviennent :

c) On veut « un numéro plus grand que 7 ». Écris les numéros qui conviennent :

Correction :
a) Il y a 10 issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
b) Pairs : 2, 4, 6, 8, 10 (5 numéros).
c) Plus grand que 7 : 8, 9, 10 (3 numéros ; le 7 n'est pas compris).
« Un numéro pair » est un événement : une phrase qui décrit ce qu'on attend. Il est réalisé par plusieurs issues.

Question 3 ANA : Voici quatre événements.

a) Lequel n'arrive jamais ?   Lequel arrive à tous les coups ?

b) Écris chaque lettre au bon endroit sur l'échelle.

Correction : a) B n'arrive jamais : il n'y a pas de boule 11. On dit que B est impossible. C arrive à tous les coups : on dit que C est certain.
b) B à 0 ; C à 1 ; A au milieu, à 0,5 (pile ou face : une chance sur deux) ; D tout près de 0 : 1 chance sur plus de 19 millions, c'est très peu probable… mais pas impossible, puisque des joueurs gagnent parfois.

Partie 2 — Mesurer ses chances au Loto

Question 4 REA : Inès coche le numéro Chance 7. Les 10 boules ont toutes la même chance de sortir.

a) Combien de boules font gagner Inès ?   Combien de boules en tout ?

b) Complète : Inès a chance sur de trouver le numéro Chance. En fraction :

c) À la calculatrice, \(1 : 10 =\) . En pourcentage (multiplie par 100) : %.

Correction :
a) 1 boule fait gagner (la boule 7), sur 10 boules en tout.
b) Inès a 1 chance sur 10 : \(\dfrac{1}{10}\).
c) \(1 : 10 = 0{,}1\) ; \(0{,}1 \times 100 = 10\) : soit 10 %.
Ce nombre, qui mesure la chance, s'appelle une probabilité. On peut l'écrire de trois façons : \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10\,\%\).

Question 5 REA : Quelle est la probabilité que le numéro Chance soit pair ? Aide-toi de la question 2.

a) Numéros qui conviennent :   Tous les numéros :

b) Probabilité en fraction :   en nombre décimal :   en pourcentage :

c) Où se place cet événement sur l'échelle de la question 3 ?

Correction :
a) 5 numéros conviennent (2, 4, 6, 8, 10), sur 10 numéros.
b) \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\) ; \(5 : 10 = 0{,}5\) ; \(0{,}5 \times 100 = 50\), soit 50 %.
c) Au milieu, à 0,5 : une chance sur deux, comme « pile » avec une pièce.
Pour calculer : je compte ce qui me fait gagner (en haut), je compte tout (en bas), je divise.

Question 6 ANA : Inès a coché le 7. Elle se demande quelle est sa probabilité de ne pas trouver le numéro Chance.

a) Combien de boules font perdre Inès ? Probabilité de perdre en fraction :   en pourcentage :

b) Ajoute : chance de gagner + chance de perdre \(= 10\,\% + \) \(=\)

Correction :
a) Toutes les boules sauf le 7 : \(10 - 1 = 9\) boules. Probabilité de perdre : \(\dfrac{9}{10} = 0{,}9\), soit 90 %.
b) \(10\,\% + 90\,\% = 100\,\%\). Gagner et perdre se partagent toutes les chances : ensemble, ça fait 100 %, c'est-à-dire 1.
« Perdre » est le contraire de « gagner ».

Question 7 VAL : La FDJ dit qu'environ 17 % des grilles gagnent quelque chose (document 1).

a) Sans compter les grilles une par une : quel pourcentage des grilles ne gagne rien ? \(100\,\% - 17\,\% =\)

b) La FDJ dit aussi : « 1 chance sur 6 de gagner ». Calcule \(1 : 6\) et arrondis au centième : . En pourcentage : environ %.

c) Les deux phrases de la FDJ sont-elles d'accord ?

Correction :
a) \(100\,\% - 17\,\% = 83\,\%\) : environ 83 % des grilles ne gagnent rien.
b) \(1 : 6 = 0{,}1666…\), arrondi au centième : 0,17. \(0{,}17 \times 100 = 17\) : environ 17 %.
c) Oui : « 1 chance sur 6 » et « environ 17 % », c'est la même chose écrite de deux façons. Et on perd environ 5 fois sur 6.

Partie 3 — Pile ou face en classe

Question 8 REA : Prends une pièce. Lance-la 10 fois. À chaque lancer, fais une croix dans la bonne ligne.

PileNombre de « pile »
FaceNombre de « face »

a) Fréquence de « pile » (chapitre 3) : nombre de « pile » \(: 10 =\)

b) As-tu obtenu exactement 5 « pile » ?   Et ton voisin ?

Correction :
Chacun trouve un résultat différent : c'est le hasard. Exemple : avec 3 « pile » sur 10 lancers, la fréquence est \(3 : 10 = 0{,}3\).
b) Souvent, on n'obtient pas exactement 5 « pile ». Avec seulement 10 lancers, on peut avoir 3, 4, 6, 7 « pile »… et même parfois 1 ou 9. Une chance sur deux ne veut pas dire « exactement une fois sur deux » à chaque série.

Question 9 REA : Le professeur écrit au tableau les résultats de toute la classe.

a) Nombre de lancers de la classe (10 par élève) :   Nombre de « pile » de la classe :

b) Fréquence de « pile » pour la classe : (arrondie au centième).

c) Qui est le plus proche de 0,5 : ta fréquence ou celle de la classe ?

Correction :
Exemple avec 20 élèves : \(20 \times 10 = 200\) lancers. Si la classe a obtenu 94 « pile » : \(94 : 200 = 0{,}47\).
c) En général, la fréquence de la classe est plus proche de 0,5 que celle d'un seul élève : avec plus de lancers, les « trop de pile » des uns compensent les « trop de face » des autres. Ce n'est pas obligé, mais c'est ce qui arrive le plus souvent.

Partie 4 — Les grands lanceurs de pièces

Question 10 REA : Calcule la fréquence de « pile » de chaque lanceur du document 2. Arrondis au centième.

Qui ?Lancers« Pile »CalculFréquence de « pile »
Buffon4 0402 048\(2\,048 : 4\,040\)
Kerrich10 0005 067\(5\,067 : 10\,000\)
Pearson24 00012 012\(12\,012 : 24\,000\)
Correction :
Qui ?CalculFréquence de « pile »
Buffon\(2\,048 : 4\,040 = 0{,}5069…\)\(\approx 0{,}51\)
Kerrich\(5\,067 : 10\,000 = 0{,}5067\)\(\approx 0{,}51\)
Pearson\(12\,012 : 24\,000 = 0{,}5005\)\(\approx 0{,}50\)
Le signe ≈ veut dire « environ ». Les trois fréquences sont très proches de 0,5.

Question 11 ANA : Compare avec tes 10 lancers de la question 8.

a) Qui a fait le plus de lancers ? Sa fréquence est-elle proche de 0,5 ?

b) Complète : plus on lance de fois, plus la fréquence de « pile » se rapproche de .

c) Pearson a-t-il obtenu exactement 12 000 « pile », la moitié de 24 000 ?

Correction :
a) Pearson (24 000 lancers). Sa fréquence, 0,5005, est très proche de 0,5. Avec 10 lancers, on peut être loin de 0,5 ; avec des milliers de lancers, on est tout près.
b) Plus on lance, plus la fréquence se rapproche de 0,5, la probabilité d'obtenir « pile ».
c) Non : 12 012, soit 12 de plus que la moitié. La fréquence s'approche de la probabilité, mais elle n'est presque jamais exactement égale : c'est toujours le hasard.

Bilan — Ce que j'ai découvert

Complète avec tes mots :
  • Lancer une pièce est une expérience aléatoire ; les résultats possibles sont les issues.
  • Jamais : impossible (probabilité 0). À tous les coups : certain (probabilité 1).
  • Une probabilité est entre 0 et 1. Je compte les cas qui me font gagner, je compte tous les cas, je divise.
  • \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10\,\%\).
  • Chance de gagner + chance de perdre \(= 100\,\%\) (c'est-à-dire 1).
  • Avec beaucoup d'essais, la fréquence se rapproche de la probabilité.

Réponse à la problématique : on mesure ses chances avec une probabilité, un nombre entre 0 et 1 : au numéro Chance du Loto, \(\dfrac{1}{10}\), soit 10 %, et le jackpot, 1 chance sur 19 068 840, est presque à 0. Avec une pièce, on n'obtient pas « pile » exactement une fois sur deux : sur 10 lancers, on peut en être loin. Mais Buffon, Kerrich et Pearson, avec des milliers de lancers, ont trouvé des fréquences très proches de 0,5. Dans le cours, tu apprendras le vocabulaire du hasard, l'échelle des probabilités, le calcul « cas favorables sur cas possibles », les trois écritures d'une probabilité, l'événement contraire et le lien entre fréquence et probabilité.