Activité — Ch11 : Les cigales qui sortent tous les 13 ou 17 ans

3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs (environ 40 minutes) :

Trouver les années de sortie des cigales avec la table de 13 (C1).
Savoir si une division « tombe juste » à la calculatrice (C1).
Chercher toutes les façons d'écrire un nombre comme une multiplication, et découvrir les nombres qui n'en ont presque pas (C3, C4).
Trouver quand deux choses qui reviennent régulièrement se retrouvent ensemble (C6).

Situation — Des milliards de cigales en même temps

Aux États-Unis vivent des cigales très spéciales : les cigales périodiques. Les petites cigales vivent sous la terre, accrochées aux racines des arbres, pendant 13 ans ou pendant 17 ans selon le groupe. Puis elles sortent toutes la même année, par milliards.

Les scientifiques appellent chaque groupe une couvée.

Couvée	Temps passé sous la terre	Une année de sortie
Couvée XIX (« grande couvée du Sud »)	13 ans	2024
Couvée XIII (« couvée du nord de l'Illinois »)	17 ans	2024

En 2024, ces deux couvées sont sorties la même année, dans l'Illinois. Cela n'était pas arrivé depuis 1803, et cela n'arrivera plus avant 2245.

Pourquoi 13 et 17 ans ? Une explication des scientifiques : 13 et 17 sont des nombres spéciaux, et cela aide les cigales à échapper aux animaux qui les mangent (les prédateurs).

Source : Ken Johnson, « The cicadas are coming! Periodical cicadas in Illinois in 2024 », University of Illinois Extension, 22 février 2024 (extension.illinois.edu), consulté le 7 octobre 2026.

Problématique : Qu'ont de spécial les nombres 13 et 17 ? Pourquoi les deux couvées ne sortent-elles ensemble que tous les 221 ans ?

Partie 1 — Les années de sortie

Question 1 APP : La couvée XIX (13 ans) est sortie en 2024.

a) Ajoute 13 ans. Elle sortira de nouveau en \(2024 + 13 =\) .

b) Ajoute encore 13 ans. La sortie suivante sera en .

Correction :
a) \(2024 + 13 = 2037\) : la couvée XIX sortira en 2037.
b) \(2037 + 13 = 2050\) : puis en 2050.

Question 2 REA : Complète le tableau. En bas, écris le nombre d'années passées depuis 2024.

Sortie n°	1	2	3	4	5
Années depuis 2024	13	26

Ces nombres sont dans la table de quel nombre ?

Correction :
\(13 \times 3 = 39\) ; \(13 \times 4 = 52\) ; \(13 \times 5 = 65\).

Sortie n°	1	2	3	4	5
Années depuis 2024	13	26	39	52	65

Ces nombres sont dans la table de 13. On dit que ce sont des multiples de 13.

Question 3 ANA : Les cigales de la couvée XIX sortiront-elles 100 ans après 2024 ? Il faut savoir si 100 est dans la table de 13.

a) À la calculatrice : \(100 : 13 =\) . Le résultat est-il un nombre entier (sans virgule) ?

b) Fais la même chose avec 104 : \(104 : 13 =\) . Nombre entier ?

c) Les cigales sortiront-elles en 2124 ? En 2128 ?

Correction :
a) \(100 : 13 = 7{,}69…\) : il y a une virgule. 100 n'est pas dans la table de 13.
b) \(104 : 13 = 8\) : c'est un nombre entier. \(104 = 13 \times 8\) : 104 est dans la table de 13.
c) \(2024 + 100 = 2124\) : non, pas de sortie en 2124. \(2024 + 104 = 2128\) : oui, c'est la 8^e sortie après 2024.
Quand le résultat est entier, on dit que la division tombe juste : 13 est un diviseur de 104.

Partie 2 — Échapper au prédateur

Question 4 REA : Imaginons des cigales qui sortiraient tous les 12 ans, et un prédateur très nombreux tous les 4 ans. L'année 0, les deux sont là.

a) Sur la ligne « prédateur », fais une croix sur les années 4, 8, 12… jusqu'à 24.

b) Sur la ligne « cigales », fais une croix sur les années 12 et 24.

Deux lignes du temps, de 0 à 24 ans : un petit trait pour chaque année.

c) Quand les cigales sortent (années 12 et 24), le prédateur est-il là ?

Correction :

Correction : le prédateur (points rouges) est là à chaque sortie des cigales (carrés bleus).

a) Prédateur : 4, 8, 12, 16, 20, 24 (la table de 4).
b) Cigales : 12 et 24 (la table de 12).
c) Oui, à chaque sortie ! Le prédateur mange des cigales à chaque fois. Ces cigales n'ont pas de chance.

Question 5 ANA : Pourquoi le prédateur est-il toujours là ?

a) Calcule \(12 : 4 =\) . Est-ce que ça tombe juste ?

b) Complète : 12 ans, c'est exactement périodes de 4 ans.

Correction :
a) \(12 : 4 = 3\) : oui, ça tombe juste.
b) 12 ans, c'est exactement 3 périodes de 4 ans : \(12 = 4 \times 3\). On peut partager 12 ans en 3 parts égales de 4 ans, sans reste.
4 est un diviseur de 12 : c'est pour cela que le prédateur tombe pile sur chaque sortie.

Question 6 REA : Le prédateur peut revenir tous les 2, 3, 4, 5 ou 6 ans. Fais chaque division à la calculatrice. Écris « oui » si elle tombe juste, « non » s'il y a une virgule.

Cigales	: 2	: 3	: 4	: 5	: 6
tous les 12 ans			oui
tous les 13 ans
tous les 17 ans

Quelles cigales sont les mieux protégées ?

Correction :
12 : \(12 : 2 = 6\) ; \(12 : 3 = 4\) ; \(12 : 4 = 3\) ; \(12 : 5 = 2{,}4\) ; \(12 : 6 = 2\).
13 : \(13 : 2 = 6{,}5\) ; \(13 : 3 = 4{,}33…\) ; \(13 : 4 = 3{,}25\) ; \(13 : 5 = 2{,}6\) ; \(13 : 6 = 2{,}16…\)
17 : \(17 : 2 = 8{,}5\) ; \(17 : 3 = 5{,}66…\) ; \(17 : 4 = 4{,}25\) ; \(17 : 5 = 3{,}4\) ; \(17 : 6 = 2{,}83…\)

Cigales	: 2	: 3	: 4	: 5	: 6
tous les 12 ans	oui	oui	oui	non	oui
tous les 13 ans	non	non	non	non	non
tous les 17 ans	non	non	non	non	non

Avec 12 ans, 4 prédateurs sur 5 tombent pile sur chaque sortie. Avec 13 ans ou 17 ans, aucune division ne tombe juste : ces cigales sont les mieux protégées.

Question 7 ANA : On range des jetons en rectangle. Voici 12 jetons rangés en 3 rangées de 4 : \(12 = 3 \times 4\).

12 jetons : 3 rangées de 4.

a) Trouve une autre façon : \(12 = 2 \times\) .

b) Essaie avec 13 jetons. Calcule \(13 : 2\), \(13 : 3\), \(13 : 4\), \(13 : 5\), \(13 : 6\). Une division tombe-t-elle juste ?

c) Peut-on ranger 13 jetons en rectangle, avec plus d'une rangée ?

Correction :
a) \(12 = 2 \times 6\). On a aussi \(12 = 1 \times 12\). Les nombres qui tombent juste dans 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ce sont les diviseurs de 12.
b) Non, aucune ne tombe juste (question 6). Au-delà de 6, c'est inutile : \(7 \times 2 = 14\), c'est déjà trop.
c) Non. On peut seulement faire 1 rangée de 13 : \(13 = 1 \times 13\). Les seuls diviseurs de 13 sont 1 et 13.
C'est pareil pour 17 : ses seuls diviseurs sont 1 et 17. Un nombre qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même, s'appelle un nombre premier. 13 et 17 sont des nombres premiers : c'est ce qu'ils ont de spécial.

Partie 3 — Quand les cycles se retrouvent

Question 8 REA : Des cigales de 13 ans et un prédateur de 4 ans sont là ensemble l'année 0. Quand se retrouveront-ils ?

a) Table de 13 : 13, 26, ,

b) Table de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,

c) Quel est le premier nombre qui est dans les deux tables ? ans.

d) C'est la combien-tième sortie des cigales ?

Correction :
a) 13, 26, 39, 52.
b) …, 48, 52.
c) Le premier nombre dans les deux tables est 52 : ils se retrouvent au bout de 52 ans.
d) \(52 : 13 = 4\) : c'est la 4^e sortie. Avec un cycle de 13 ans, ce prédateur ne tombe que sur une sortie sur 4. Avec 12 ans, il tombait sur toutes les sorties (question 4).

Question 9 ANA : Revenons aux vraies cigales. Les couvées de 13 ans et de 17 ans sont sorties ensemble en 1803, puis en 2024.

a) Combien d'années entre les deux ? \(2024 - 1803 =\) ans.

b) \(221 : 13 =\) . Ça tombe juste ?

c) \(221 : 17 =\) . Ça tombe juste ?

d) Calcule \(13 \times 17 =\) .

Correction :
a) \(2024 - 1803 = 221\) ans.
b) \(221 : 13 = 17\) : oui. 221 est dans la table de 13 : c'est la 17^e sortie de la couvée de 13 ans depuis 1803.
c) \(221 : 17 = 13\) : oui. 221 est aussi dans la table de 17 : c'est la 13^e sortie de la couvée de 17 ans.
d) \(13 \times 17 = 221\). 221 est un multiple commun de 13 et de 17.

Question 10 VAL : Le document dit que les deux couvées sortiront de nouveau ensemble en 2245.

a) Calcule \(2024 + 221 =\) .

b) Ton calcul est-il d'accord avec le document ?

Correction :
a) \(2024 + 221 = 2245\).
b) Oui : on trouve bien 2245, comme les scientifiques. Les deux couvées se retrouvent tous les 221 ans : 1803, 2024, 2245…

Bilan — Ce que j'ai découvert

Complète avec tes mots :

Les années de sortie des cigales de 13 ans sont dans la de 13 : ce sont des de 13.
Une division quand le résultat est un nombre entier, sans virgule. Par exemple \(12 : 4 = 3\) : 4 est un de 12.
13 et 17 n'ont que deux diviseurs : 1 et . Ce sont des nombres .
Deux choses qui reviennent régulièrement se retrouvent au premier nombre qui est dans les tables.

Les années de sortie sont dans la table de 13 : ce sont des multiples de 13.
Une division tombe juste quand le résultat est entier. \(12 : 4 = 3\) : 4 est un diviseur de 12.
13 et 17 n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Ce sont des nombres premiers.
Deux choses se retrouvent au premier nombre qui est dans les deux tables : le plus petit multiple commun.

Réponse à la problématique : 13 et 17 sont des nombres premiers : aucune division par 2, 3, 4, 5 ou 6 ne tombe juste. Un prédateur qui revient tous les 2 à 6 ans ne tombe donc que rarement sur une sortie de cigales. Les deux couvées se retrouvent au premier nombre qui est à la fois dans la table de 13 et dans la table de 17 : 221 ans, d'où 1803, 2024 et 2245. Dans le cours, tu apprendras à trouver tous les diviseurs d'un nombre, à reconnaître les nombres premiers, à décomposer un nombre et à résoudre des problèmes de partage et de rencontre.