3e prépa-métiers | Mathématiques | Organisation et gestion de données, fonctions
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
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🎯 Objectifs du chapitre
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C1 – Reconnaître une fonction affine \(f(x) = ax + b\) et donner \(a\) et \(b\).
C2 – Calculer une image et un antécédent pour une fonction affine.
C3 – Représenter une fonction affine par une droite (deux ou trois points).
C4 – Lire graphiquement l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur ; relier le signe de \(a\) à l'allure de la droite (monte, descend, horizontale).
C5 – Modéliser une situation par une fonction affine et comparer deux offres (graphique ou calcul).
Calculatrice autorisée. Écris tes calculs : ils rapportent des points. Prends un crayon à papier et une règle pour les graphiques.
Rappels
Fonction affine : \(f(x) = ax + b\). On multiplie par \(a\), puis on ajoute \(b\). On écrit la formule dans l'ordre « nombre × \(x\) + nombre seul » et on garde les signes.
Image : on remplace \(x\), on fait la multiplication, puis on ajoute \(b\). Antécédent : on résout \(ax + b =\) le nombre (on enlève \(b\), puis on divise par \(a\)), et on vérifie.
Tracer la droite : trois points (dont \(x = 0\)), la règle sur toute la largeur du repère, puis la vérification avec le troisième point.
\(b\), l'ordonnée à l'origine : là où la droite coupe l'axe vertical. \(a\), le coefficient directeur : quand on avance de 1, on monte de \(a\) (ou on descend, si \(a\) est négatif).
\(a\) positif : la droite monte. \(a\) négatif : elle descend. \(a = 0\) : elle est horizontale.
Un prix : \(b\) = la partie fixe (frais, abonnement), \(a\) = le prix d'une unité. Au point d'intersection de deux droites, les deux prix sont égaux.
Socle Exercice 1 — Trouver a et b (5 pts)
C1 · Chaque fonction est une fonction affine \(f(x) = ax + b\).
1. (4 pts) Complète le tableau. Écris d'abord la formule dans l'ordre « \(ax + b\) ».
Formule
Dans l'ordre
\(a\)
\(b\)
\(f(x) = 3x + 2\)
\(3x + 2\)
\(g(x) = 5x - 4\)
\(5x - 4\)
\(h(x) = 7 + 2x\)
\(k(x) = x + 6\)
\(x + 6\)
2. (1 pt) Une seule de ces fonctions n'est pas affine. Entoure-la.
\(p(x) = 2x + 9\) \(q(x) = x \times x + 1\) \(r(x) = 5x\)
Correction :
Formule
Dans l'ordre
\(a\)
\(b\)
\(f(x) = 3x + 2\)
\(3x + 2\)
3
2
\(g(x) = 5x - 4\)
\(5x - 4\)
5
\(-4\)
\(h(x) = 7 + 2x\)
\(2x + 7\)
2
7
\(k(x) = x + 6\)
\(x + 6\)
1
6
1. Pour \(g\), on garde le signe moins : \(b = -4\). Pour \(h\), \(a\) est le nombre devant \(x\) (2), pas le premier nombre écrit (7). Pour \(k\), \(x = 1 \times x\), donc \(a = 1\).
2. \(q(x) = x \times x + 1\) n'est pas affine : on multiplie \(x\) par lui-même, et pas par un nombre fixé. (\(r(x) = 5x\) est affine, avec \(b = 0\) : c'est une fonction linéaire.)
Socle Exercice 2 — La salle de sport (5 pts)
C2 · À la salle de sport du quartier, on paie 15 € d'inscription, puis 10 € par mois. Le prix, en euros, pour \(x\) mois est \(f(x) = 10x + 15\).
2. (1,5 pt) Place les points \((0 \,;\, g(0))\) et \((4 \,;\, g(4))\) dans le repère. Trace la droite à la règle, sur toute la largeur. Vérifie que le point \((2 \,;\, g(2))\) est sur ta droite.
Repère pour tracer la droite de g (un carreau pour 1 sur chaque axe).
3. (1 pt) Ta droite coupe l'axe vertical en . C'est le nombre \(b\) de la formule.
4. (1 pt) Ici, \(a = 2\). Le nombre \(a\) est : positif / négatif. Donc la droite : monte / descend. (Entoure.)
2. On place \((0 \,;\, 1)\) et \((4 \,;\, 9)\), on trace la droite à la règle, puis on vérifie que \((2 \,;\, 5)\) est bien sur la droite. ✓
Correction : la droite de g(x) = 2x + 1 passe par (0 ; 1), (2 ; 5) et (4 ; 9).
3. La droite coupe l'axe vertical en 1 : \(b = 1\).
4. \(a = 2\) est positif, donc la droite monte.
Socle Exercice 4 — Louer un kayak (5 pts)
C4, C5 · Au bord du lac, deux loueurs proposent des kayaks.
Loueur A : pas de frais, un prix par heure.
Loueur B : des frais au départ, puis un prix par heure.
Le graphique donne le prix, en euros, selon la durée de location, en heures.
Le prix des deux loueurs selon la durée (un carreau pour 1 h et un carreau pour 1 €).
1. (1 pt) La droite du loueur B coupe l'axe vertical en . Les frais du loueur B sont donc de €.
2. (1 pt) Sur la droite du loueur B, pars du point \((0 \,;\, 6)\). Avance de 1 carreau vers la droite, puis compte les carreaux pour remonter jusqu'à la droite. On monte de : le prix d'une heure chez B est \(a =\) €.
3. (1 pt) Complète la formule du loueur B : \(g(x) =\) \(x +\)
4. (1 pt) Les deux droites se coupent au point \((\) \(;\) \()\). Pour heures, les deux loueurs coûtent le même prix.
5. (1 pt) Yanis veut louer un kayak pendant 5 heures. Regarde quelle droite est la plus basse pour 5 h. Le moins cher est : le loueur A / le loueur B. (Entoure.)
Correction :
Correction : B part de 6 € et monte de 2 € par heure ; les droites se coupent en I (3 ; 12).
1. La droite de B coupe l'axe vertical en 6 : les frais sont de 6 €.
2. On avance de 1, on monte de 2 : une heure coûte 2 € chez B, donc \(a = 2\).
3. \(g(x) = 2x + 6\).
4. Les droites se coupent au point \((3 \,;\, 12)\) : pour 3 heures, les deux loueurs coûtent 12 €.
5. Pour 5 h, la droite bleue (B) est la plus basse : B coûte \(2 \times 5 + 6 = 16\) €, A coûte 20 €. Le moins cher est le loueur B.
Standard Exercice 1 — Affine ou pas ? (5 pts)
C1 · Voici six fonctions.
\(f(x) = 4x - 3\) \(g(x) = 9 - 2x\) \(h(x) = 6x\) \(k(x) = x \times x + 2\) \(m(x) = 7\) \(n(x) = x - 8\)
1. (3 pts) Pour chaque fonction, dis si elle est affine. Si oui, donne \(a\) et \(b\).
Fonction
\(f\)
\(g\)
\(h\)
\(k\)
\(m\)
\(n\)
Affine ?
\(a\)
\(b\)
2. (1 pt) Parmi ces fonctions, laquelle est linéaire ? Laquelle est constante ?
3. (1 pt) Écris la formule de la fonction affine \(p\) telle que \(a = -3\) et \(b = 10\). Calcule ensuite \(p(2)\).
Correction :
Fonction
\(f\)
\(g\)
\(h\)
\(k\)
\(m\)
\(n\)
Affine ?
oui
oui
oui
non
oui
oui
\(a\)
4
\(-2\)
6
—
0
1
\(b\)
\(-3\)
9
0
—
7
\(-8\)
1. \(g(x) = 9 - 2x = -2x + 9\). \(n(x) = x - 8 = 1 \times x - 8\). \(k\) n'est pas affine : on multiplie \(x\) par lui-même.
2. \(h(x) = 6x\) est linéaire (\(b = 0\)). \(m(x) = 7\) est constante (\(a = 0\)) : tous les nombres ont pour image 7.
Standard Exercice 2 — Degrés Celsius et Fahrenheit (5 pts)
C2 · Aux États-Unis, la température se donne en degrés Fahrenheit (°F). Pour passer des degrés Celsius (°C) aux degrés Fahrenheit, on utilise la fonction affine \(F(x) = 1{,}8x + 32\), où \(x\) est la température en °C.
1. (1 pt) Il fait 25 °C à Paris. Calcule \(F(25)\). Fais une phrase.
2. (1 pt) Calcule l'image de \(-10\) par \(F\).
3. (1,5 pt) À New York, il fait 95 °F. Calcule l'antécédent de 95 pour trouver la température en °C. Vérifie ta réponse.
4. (1,5 pt) L'eau bout à 212 °F. À combien de degrés Celsius l'eau bout-elle ? Écris tes calculs.
Correction :
1. \(F(25) = 1{,}8 \times 25 + 32 = 45 + 32 = 77\). 25 °C, c'est 77 °F.
2. \(F(-10) = 1{,}8 \times (-10) + 32 = -18 + 32 = 14\). L'image de \(-10\) est 14 : \(-10\) °C, c'est 14 °F.
3. \(1{,}8x + 32 = 95\). On enlève 32 : \(1{,}8x = 63\). On divise par 1,8 : \(x = 63 : 1{,}8 = 35\). Vérification : \(1{,}8 \times 35 + 32 = 63 + 32 = 95\). ✓ Il fait 35 °C à New York.
4. \(1{,}8x + 32 = 212\). On enlève 32 : \(1{,}8x = 180\). On divise par 1,8 : \(x = 180 : 1{,}8 = 100\). Vérification : \(1{,}8 \times 100 + 32 = 180 + 32 = 212\). ✓ L'eau bout à 100 °C.
Standard Exercice 3 — Le bidon d'eau du chantier (5 pts)
C3, C4 · Sur un chantier, un bidon contient 18 L d'eau. Les ouvriers en utilisent 3 L par heure. Le volume d'eau qui reste, en litres, au bout de \(x\) heures est \(v(x) = -3x + 18\).
1. (1,5 pt) Calcule \(v(0)\), \(v(6)\) et \(v(2)\). Range les résultats dans un tableau de valeurs.
2. (1,5 pt) Trace la droite de \(v\) dans le repère, pour \(x\) de 0 à 6 h. Vérifie avec le troisième point.
Repère pour tracer la droite de v : un carreau pour 1 h et un carreau pour 1 L.
3. (1 pt) La droite monte-t-elle ou descend-elle ? Explique avec le signe de \(a\), puis dis ce que cela veut dire pour le bidon.
4. (1 pt) Lis sur ton graphique au bout de combien d'heures il reste 9 L dans le bidon. Laisse les traits de lecture.
2. On place \((0 \,;\, 18)\) et \((6 \,;\, 0)\), on trace la droite à la règle, puis on vérifie que \((2 \,;\, 12)\) est sur la droite. ✓
Correction : la droite de v(x) = −3x + 18 descend ; il reste 9 L au bout de 3 h.
3. \(a = -3\) est négatif, donc la droite descend : le volume d'eau diminue de 3 L chaque heure.
4. De 9 sur l'axe vertical, on va jusqu'à la droite, puis on descend sur l'axe horizontal : il reste 9 L au bout de 3 heures. (Par le calcul : \(-3 \times 3 + 18 = 9\). ✓)
Standard Exercice 4 — Deux taxis (5 pts)
C4, C5 · Chaque taxi fait payer une prise en charge, puis un prix par kilomètre. Le graphique donne le prix d'une course, en euros, selon la distance, en kilomètres.
Le prix d'une course avec chaque taxi (un carreau pour 1 km et un carreau pour 1 €).
1. (1,5 pt) Pour chaque taxi, lis l'ordonnée à l'origine \(b\) et le coefficient directeur \(a\). Que représentent-ils ?
2. (1 pt) Écris la formule du prix \(f(x)\) du taxi A et celle du prix \(g(x)\) du taxi B.
3. (1 pt) Lis les coordonnées du point d'intersection des deux droites. Que veut dire ce point ?
4. (1,5 pt) Nora doit faire une course de 7 km. Calcule le prix avec chaque taxi. Quel taxi doit-elle choisir ?
Correction :
Correction : A part de 6 € et monte de 2 € par km ; B part de 2 € et monte de 3 € par km ; I (4 ; 14).
1. Taxi A : la droite coupe l'axe vertical en 6, donc \(b = 6\) ; on avance de 1, on monte de 2, donc \(a = 2\). Taxi B : \(b = 2\) et \(a = 3\). \(b\) est la prise en charge (le prix pour 0 km) et \(a\) est le prix d'un kilomètre.
2. \(f(x) = 2x + 6\) et \(g(x) = 3x + 2\).
3. Les droites se coupent au point \((4 \,;\, 14)\) : pour une course de 4 km, les deux taxis coûtent le même prix, 14 €.
4. Taxi A : \(f(7) = 2 \times 7 + 6 = 20\) €. Taxi B : \(g(7) = 3 \times 7 + 2 = 23\) €. Nora doit choisir le taxi A (3 € de moins). C'est logique : après 4 km, la droite de A est la plus basse.
Approfondissement Exercice 1 — Le ballon-sonde (4 pts)
C1, C2, C4 · Un ballon-sonde mesure la température de l'air en montant. Dans les premiers kilomètres, la température de l'air, en °C, à l'altitude \(x\), en km, est environ \(T(x) = -6x + 15\).
1. (1 pt) Donne \(a\) et \(b\). Que représente \(b\) pour le ballon ?
2. (1 pt) Calcule la température à 2,5 km d'altitude.
3. (1 pt) À quelle altitude la température est-elle de \(-21\) °C ? Vérifie ta réponse.
4. (1 pt) Sans tracer, dis si la droite de \(T\) monte ou descend. Que veut dire le nombre \(a\) pour la température ?
Correction :
1. \(a = -6\) et \(b = 15\). \(b = T(0)\) : c'est la température au sol (altitude 0 km), 15 °C.
2. \(T(2{,}5) = -6 \times 2{,}5 + 15 = -15 + 15 = 0\). À 2,5 km d'altitude, il fait 0 °C.
3. \(-6x + 15 = -21\). On enlève 15 : \(-6x = -36\). On divise par \(-6\) : \(x = 6\). Vérification : \(-6 \times 6 + 15 = -36 + 15 = -21\). ✓ La température est de \(-21\) °C à 6 km d'altitude.
4. \(a = -6\) est négatif : la droite descend. Chaque fois que le ballon monte de 1 km, la température baisse de 6 °C.
Approfondissement Exercice 2 — Lire et tracer (5 pts)
C3, C4 · La droite \(d_1\) représente une fonction affine \(f\).
La droite d₁ (un carreau pour 1 sur chaque axe).
1. (1,5 pt) Lis l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de \(d_1\). Écris la formule de \(f(x)\).
2. (1,5 pt) Soit \(g(x) = 0{,}5x + 1\). Calcule \(g(0)\), \(g(8)\) et \(g(4)\), puis trace la droite \(d_2\) de \(g\) dans le même repère.
3. (1 pt) Lis les coordonnées du point d'intersection de \(d_1\) et \(d_2\). Vérifie par le calcul avec \(f\) et avec \(g\).
4. (1 pt) Sans tracer : la droite de \(h(x) = -3x + 2\) monte-t-elle ou descend-elle ? En quel point coupe-t-elle l'axe vertical ?
Correction :
Correction : d₁ coupe l'axe vertical en 7 et descend de 1 ; d₂ passe par (0 ; 1), (4 ; 3) et (8 ; 5) ; I (4 ; 3).
1. \(d_1\) coupe l'axe vertical en 7 : \(b = 7\). On avance de 1, on descend de 1 : \(a = -1\). Donc \(f(x) = -x + 7\).
2. \(g(0) = 0{,}5 \times 0 + 1 = 1\) ; \(g(8) = 0{,}5 \times 8 + 1 = 4 + 1 = 5\) ; \(g(4) = 0{,}5 \times 4 + 1 = 2 + 1 = 3\). On place \((0 \,;\, 1)\) et \((8 \,;\, 5)\), on trace, et \((4 \,;\, 3)\) est bien sur la droite. ✓
3. Les droites se coupent au point \((4 \,;\, 3)\). Vérification : \(f(4) = -4 + 7 = 3\) ✓ et \(g(4) = 0{,}5 \times 4 + 1 = 3\) ✓.
4. \(a = -3\) est négatif : la droite descend. Elle coupe l'axe vertical en \(b = 2\), au point \((0 \,;\, 2)\).
Approfondissement Exercice 3 — Choisir son offre d'électricité (5 pts)
C5 · Une famille compare deux offres d'électricité. Le prix est payé chaque mois.
Offre A : abonnement de 12 € par mois, puis 0,20 € par kilowattheure (kWh) consommé.
Offre B : abonnement de 18 € par mois, puis 0,15 € par kWh consommé.
1. (1 pt) On note \(x\) le nombre de kWh consommés dans le mois. Écris le prix \(A(x)\) de l'offre A et le prix \(B(x)\) de l'offre B.
2. (1,5 pt) Complète le tableau.
Consommation \(x\) (kWh)
0
100
200
300
Offre A : \(A(x)\) (€)
Offre B : \(B(x)\) (€)
3. (1,5 pt) D'après le tableau, entre 100 et 200 kWh, l'offre la moins chère change. Résous l'équation \(0{,}2x + 12 = 0{,}15x + 18\) pour trouver la consommation pour laquelle les deux offres coûtent le même prix. Aide : commence par enlever \(0{,}15x\) des deux côtés.
4. (1 pt) La famille consomme 250 kWh par mois. Quelle offre doit-elle choisir ? Justifie par un calcul.
Correction :
1. Partie fixe = abonnement, prix d'une unité = prix d'un kWh : \(A(x) = 0{,}2x + 12\) et \(B(x) = 0{,}15x + 18\).
2. Par exemple \(A(100) = 0{,}2 \times 100 + 12 = 32\) et \(B(100) = 0{,}15 \times 100 + 18 = 33\).
Consommation \(x\) (kWh)
0
100
200
300
Offre A : \(A(x)\) (€)
12
32
52
72
Offre B : \(B(x)\) (€)
18
33
48
63
3. \(0{,}2x + 12 = 0{,}15x + 18\). On enlève \(0{,}15x\) : \(0{,}05x + 12 = 18\). On enlève 12 : \(0{,}05x = 6\). On divise par 0,05 : \(x = 6 : 0{,}05 = 120\). Vérification : \(A(120) = 24 + 12 = 36\) et \(B(120) = 18 + 18 = 36\). ✓ Pour 120 kWh, les deux offres coûtent 36 €.
4. \(A(250) = 0{,}2 \times 250 + 12 = 50 + 12 = 62\) € et \(B(250) = 0{,}15 \times 250 + 18 = 37{,}5 + 18 = 55{,}50\) €. La famille doit choisir l'offre B (6,50 € de moins par mois). C'est logique : au-delà de 120 kWh, l'offre B est la moins chère.
Approfondissement Exercice 4 — Louer un utilitaire pour déménager (6 pts)
C2, C4, C5 · Pour un déménagement, Karim loue un utilitaire pour une journée. Le loueur 1 fait payer 40 € la journée, plus 0,25 € par kilomètre parcouru.
1. (1 pt) On note \(x\) le nombre de kilomètres. Écris le prix \(p(x)\) chez le loueur 1. Pourquoi est-ce une fonction affine ?
2. (1 pt) Calcule le prix pour 150 km.
3. (1,5 pt) Karim a un budget de 70 €. Combien de kilomètres peut-il parcourir au maximum ? Vérifie ta réponse.
4. (1,5 pt) Le loueur 2 fait payer 60 € la journée, quel que soit le nombre de kilomètres : \(q(x) = 60\). Quel est le coefficient directeur de \(q\) ? Comment est sa droite ? Pour combien de kilomètres les deux loueurs coûtent-ils le même prix ?
5. (1 pt) Karim prévoit 200 km. Quel loueur doit-il choisir ? Justifie.
Correction :
1. \(p(x) = 0{,}25x + 40\). C'est une fonction affine : elle s'écrit \(ax + b\), avec \(a = 0{,}25\) (le prix d'un km) et \(b = 40\) (la partie fixe, le prix de la journée).
2. \(p(150) = 0{,}25 \times 150 + 40 = 37{,}5 + 40 = 77{,}5\). Le prix est de 77,50 €.
3. \(0{,}25x + 40 = 70\). On enlève 40 : \(0{,}25x = 30\). On divise par 0,25 : \(x = 30 : 0{,}25 = 120\). Vérification : \(0{,}25 \times 120 + 40 = 30 + 40 = 70\). ✓ Karim peut parcourir 120 km au maximum.
4. \(q(x) = 0x + 60\) : le coefficient directeur est \(a = 0\), la fonction est constante et sa droite est horizontale. Même prix : \(0{,}25x + 40 = 60\), donc \(0{,}25x = 20\) et \(x = 20 : 0{,}25 = 80\). Pour 80 km, les deux loueurs coûtent 60 €.
5. Pour 200 km : loueur 1, \(p(200) = 0{,}25 \times 200 + 40 = 50 + 40 = 90\) € ; loueur 2, 60 €. Karim doit choisir le loueur 2 (30 € de moins). Au-delà de 80 km, le loueur 2 est toujours le moins cher.