3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
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🎯 Objectifs du chapitre
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C1 – Repérer, pour un angle aigu d'un triangle rectangle, l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé.
C2 – Écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu avec les longueurs des côtés.
C3 – Calculer une longueur avec le cosinus, le sinus ou la tangente.
C4 – Calculer la mesure d'un angle avec la calculatrice (cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹).
C5 – Résoudre un problème concret en choisissant la bonne formule.
Calculatrice autorisée, en mode degrés (test : cos 60 = 0,5). Écris tes calculs : ils rapportent des points. Arrondis au dixième. N'oublie pas l'unité (cm, m ou °).
Rappels
Pour un angle aigu d'un triangle rectangle : l'hypoténuse est en face de l'angle droit ; le côté adjacent est le côté « collé » à l'angle (pas l'hypoténuse) ; le côté opposé est « en face » de l'angle.
Longueur : on multiplie. Exemple : opposé = hypoténuse × sin(angle).
Angle : on calcule la fraction, puis on tape SHIFT (ou 2nde) et cos, sin ou tan : c'est la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹.
Socle Exercice 1 — Nommer les côtés (4 pts)
C1 · Le triangle RST est rectangle en S. L'angle étudié est colorié en orange.
Triangle RST rectangle en S. a) On étudie l'angle R. b) On étudie l'angle T.
1. (1 pt) L'angle droit est en S. L'hypoténuse est le côté [ ].
2. (1 pt) Figure a), angle en R : le côté adjacent (collé à R) est [ ].
3. (1 pt) Figure a), angle en R : le côté opposé (en face de R) est [ ].
4. (1 pt) Figure b), angle en T : le côté adjacent (collé à T) est [ ].
Correction :
1. Le côté en face de l'angle droit S est [RT] : c'est l'hypoténuse, dans les deux figures.
2. Les côtés qui touchent R sont [RT] et [RS]. [RT] est l'hypoténuse, donc le côté adjacent à R est [RS].
3. Le côté qui ne touche pas R est [ST] : c'est le côté opposé à R.
4. Les côtés qui touchent T sont [RT] et [ST]. [RT] est l'hypoténuse, donc le côté adjacent à T est [ST].
On voit que [ST] est opposé à R mais adjacent à T : le côté adjacent et le côté opposé changent avec l'angle.
Socle Exercice 2 — Cosinus, sinus et tangente (4 pts)
C2 · Le triangle ABC est rectangle en A. On étudie l'angle \(\widehat{B}\).
Triangle ABC rectangle en A : AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. On étudie l'angle B.
1. (1 pt) Pour l'angle \(\widehat{B}\) : l'hypoténuse est [BC], le côté adjacent est [ ] et le côté opposé est [ ].
4. \(\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{6}{8} =\) 0,75. La tangente n'utilise pas l'hypoténuse.
Socle Exercice 3 — L'échelle contre le mur (6 pts)
C3 · Une échelle de 4 m est posée contre un mur. Elle fait un angle de 75° avec le sol, comme le conseille l'étiquette de sécurité des échelles. Le mur et le sol forment un angle droit.
Échelle de 4 m, angle de 75° avec le sol. On cherche la hauteur h et la distance d.
1. (1 pt) L'échelle est en face de l'angle droit. Pour l'angle de 75°, l'échelle est : l'HYPOTÉNUSE / le côté ADJACENT / le côté OPPOSÉ. Entoure.
2. (1 pt) La hauteur h est en face de l'angle de 75°. C'est : l'HYPOTÉNUSE / le côté ADJACENT / le côté OPPOSÉ. Entoure.
3. (1 pt) On connaît l'hypoténuse, on cherche le côté opposé. La bonne formule est : SOH / CAH / TOA. Entoure.
4. (2 pts) Complète le calcul de h, arrondi au dixième.
h = 4 × sin 75° = donc h ≈ m
5. (1 pt) La distance d est le côté adjacent. Complète, arrondi au dixième.
d = 4 × cos 75° = donc d ≈ m
Correction :
1. L'échelle est l'hypoténuse (en face de l'angle droit).
2. La hauteur h ne touche pas l'angle de 75° : c'est le côté opposé.
3. Opposé et hypoténuse : c'est SOH, le sinus.
4. h = 4 × sin 75° = 3,863… donc h ≈ 3,9 m. L'échelle arrive à environ 3,9 m de haut.
5. d = 4 × cos 75° = 1,035… donc d ≈ 1,0 m. Le pied de l'échelle est à environ 1 m du mur.
Contrôle : 3,9 m et 1,0 m sont plus courts que l'échelle de 4 m. ✓
Socle Exercice 4 — La rampe (6 pts)
C4, C5 · Une rampe permet de monter un chariot sur un quai. Elle avance de 4 m au sol et monte de 1 m. On cherche l'angle entre la rampe et le sol.
Rampe : 4 m au sol, 1 m de hauteur. On cherche l'angle avec le sol.
1. (1 pt) Pour l'angle cherché : le côté opposé (en face de l'angle) mesure m et le côté adjacent (collé à l'angle, au sol) mesure m.
2. (1 pt) On connaît l'opposé et l'adjacent. La bonne formule est : SOH / CAH / TOA. Entoure.
3. Les côtés qui touchent K sont [KM] (l'hypoténuse) et [KL]. Le côté adjacent à \(\widehat{K}\) est [KL].
Standard Exercice 2 — Calculer une longueur (6 pts)
C3 · Écris la formule, puis le calcul. Arrondis au dixième.
1. (2,5 pts) Le triangle DEF est rectangle en E, avec \(\widehat{D} = 40°\) et DF = 9 cm. Calcule EF.
Triangle DEF rectangle en E : \(\widehat{D}\) = 40°, DF = 9 cm. On cherche EF.
2. (3,5 pts) Pour mesurer la hauteur d'un immeuble, Inès se place au point O, à 25 m du pied de l'immeuble. Un appareil posé au sol mesure l'angle de visée vers le haut de l'immeuble : 32°. Calcule la hauteur h de l'immeuble.
Point O à 25 m du pied de l'immeuble, angle de visée 32°. L'immeuble est vertical. On cherche sa hauteur h.
Correction :
1. Pour l'angle \(\widehat{D}\) : [DF] est l'hypoténuse, [EF] est le côté opposé. On utilise SOH.
\(EF = DF \times \sin \widehat{D} = 9 \times \sin 40° = 5{,}785…\) EF ≈ 5,8 cm.
2. Le sol et l'immeuble forment un angle droit. Pour l'angle en O : la distance au sol (25 m) est le côté adjacent ; la hauteur h est le côté opposé.
Je connais l'adjacent, je cherche l'opposé : on utilise TOA.
\(h = 25 \times \tan 32° = 15{,}621…\) L'immeuble mesure environ 15,6 m de haut.
Standard Exercice 3 — Calculer un angle (5 pts)
C4 · Écris la fraction, puis la touche utilisée. Arrondis au dixième.
1. (2 pts) Le triangle GHI est rectangle en H, avec GH = 7 cm et GI = 10 cm. Calcule l'angle \(\widehat{G}\).
Triangle GHI rectangle en H : GH = 7 cm, GI = 10 cm. On cherche l'angle G.
2. (3 pts) Une échelle de 6 m est posée contre un mur. Son pied est à 2 m du mur. Calcule l'angle entre l'échelle et le sol. L'étiquette de sécurité conseille environ 75° : l'angle trouvé est-il plus petit ou plus grand ?
Échelle de 6 m, pied à 2 m du mur. On cherche l'angle avec le sol.
Correction :
1. Pour l'angle \(\widehat{G}\) : [GH] est le côté adjacent, [GI] est l'hypoténuse. On utilise CAH.
\(\cos \widehat{G} = \dfrac{GH}{GI} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7\). cos⁻¹ 0,7 = 45,572… \(\widehat{G}\) ≈ 45,6°.
2. L'échelle est l'hypoténuse (6 m) ; la distance au mur est le côté adjacent (2 m). On utilise CAH.
\(\cos(\text{angle}) = \dfrac{2}{6} = 0{,}333…\) cos⁻¹(2 : 6) = 70,528… L'échelle fait un angle d'environ 70,5° avec le sol.
70,5° est plus petit que 75° : le pied est trop loin du mur, l'échelle risque de glisser.
Standard Exercice 4 — Choisir la bonne formule (5 pts)
C5 · Pour chaque problème, écris « Je connais … ; je cherche … », choisis la formule, puis calcule. Arrondis au dixième.
1. (2,5 pts) Le fil d'un cerf-volant est tendu et mesure 50 m. Il fait un angle de 40° avec le sol. À quelle hauteur vole le cerf-volant ? (On ne tient pas compte de la taille de la personne.)
Fil de 50 m, angle de 40° avec le sol. On cherche la hauteur h.
2. (2,5 pts) Le toit d'un abri de jardin est symétrique. Chaque moitié mesure 4 m de large et le sommet est à 1,5 m au-dessus du bas du toit. Quel angle le toit fait-il avec l'horizontale ?
Toit : 4 m de demi-largeur, 1,5 m de hauteur. On cherche l'angle avec l'horizontale.
Correction :
1. Je connais : l'hypoténuse (le fil, 50 m) et l'angle (40°). Je cherche : la hauteur, en face de l'angle, donc le côté opposé.
Opposé et hypoténuse → SOH : \(h = 50 \times \sin 40° = 32{,}139…\) Le cerf-volant vole à environ 32,1 m de haut.
2. Je connais : le côté adjacent (4 m) et le côté opposé (1,5 m). Je cherche : l'angle.
Opposé et adjacent → TOA : \(\tan(\text{angle}) = \dfrac{1{,}5}{4} = 0{,}375\). tan⁻¹ 0,375 = 20,556… Le toit fait un angle d'environ 20,6° avec l'horizontale.
C1, C2 · Le triangle ABC est rectangle en C. L'angle \(\widehat{A}\) est colorié en orange.
Triangle ABC rectangle en C : AC = 15 cm, BC = 8 cm, AB = 17 cm.
1. (2 pts) Lina écrit : « \(\cos \widehat{A} = \dfrac{BC}{AB}\) ». Explique son erreur, puis écris la bonne fraction pour \(\cos \widehat{A}\).
2. (2 pts) Écris \(\tan \widehat{A}\), puis \(\tan \widehat{B}\), sous forme de fractions avec les longueurs.
Correction :
1. Pour l'angle \(\widehat{A}\) : [AB] est l'hypoténuse, [AC] est le côté adjacent (collé à A), [BC] est le côté opposé (en face de A). Lina a mis le côté opposé en haut : \(\dfrac{BC}{AB}\) est le sinus de \(\widehat{A}\), pas le cosinus.
Bonne fraction : \(\cos \widehat{A} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{17}\).
2. \(\tan \widehat{A} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{8}{15}\).
Pour l'angle \(\widehat{B}\), les côtés s'échangent : [BC] est adjacent et [AC] est opposé. \(\tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{8}\).
Approfondissement Exercice 2 — Calculer des longueurs (6 pts)
C3 · Écris la formule, puis le calcul. Arrondis au dixième.
1. (3 pts) La rampe d'un parking souterrain fait un angle de 6° avec le sol et permet de descendre de 1,2 m. Calcule la longueur de la rampe. Aide : le côté cherché est en bas de la fraction ; utilise le produit en croix.
Rampe de parking : angle de 6° avec le sol, 1,2 m de dénivelé. On cherche la longueur de la rampe.
2. (3 pts) Un arbre vertical fait une ombre de 12 m sur le sol. Les rayons du soleil font un angle de 30° avec le sol. Calcule la hauteur h de l'arbre.
Arbre vertical, ombre de 12 m, rayons du soleil à 30° du sol. On cherche la hauteur h.
Correction :
1. La rampe est l'hypoténuse (cherchée) ; la hauteur 1,2 m est le côté opposé à l'angle de 6°. On utilise SOH.
\(\sin 6° = \dfrac{1{,}2}{\text{rampe}}\), donc \(\dfrac{\sin 6°}{1} = \dfrac{1{,}2}{\text{rampe}}\).
Produit en croix : \(\text{rampe} = \dfrac{1{,}2 \times 1}{\sin 6°} = 11{,}480…\) La rampe mesure environ 11,5 m.
Contrôle : l'hypoténuse est plus longue que 1,2 m. ✓
2. L'arbre et le sol forment un angle droit. Pour l'angle de 30° : l'ombre (12 m) est le côté adjacent, la hauteur h est le côté opposé. On utilise TOA.
\(h = 12 \times \tan 30° = 6{,}928…\) L'arbre mesure environ 6,9 m.
Approfondissement Exercice 3 — Pentes et angles (5 pts)
C4 · Arrondis les angles au dixième.
a) Route : 10 m de montée pour 100 m à l'horizontale. b) Rampe : 0,50 m de haut pour 8 m au sol (hauteur agrandie 4 fois sur le dessin).
1. (2 pts) Un panneau annonce une route en pente de 10 % : la route monte de 10 m quand on avance de 100 m à l'horizontale. Calcule l'angle entre la route et l'horizontale.
2. (3 pts) Pour un bâtiment neuf ouvert au public, une rampe d'accès pour fauteuil roulant ne doit pas dépasser une pente de 5 %, c'est-à-dire un angle d'environ 2,9° avec le sol. Une rampe monte de 0,50 m pour 8 m au sol. Calcule son angle avec le sol. Cette rampe respecte-t-elle la règle ? Justifie.
Correction :
1. La montée (10 m) est le côté opposé, l'avancée horizontale (100 m) est le côté adjacent. On utilise TOA.
\(\tan(\text{angle}) = \dfrac{10}{100} = 0{,}1\). tan⁻¹ 0,1 = 5,710… La route fait un angle d'environ 5,7° avec l'horizontale.
2. Opposé : 0,50 m ; adjacent : 8 m. On utilise TOA.
\(\tan(\text{angle}) = \dfrac{0{,}50}{8} = 0{,}0625\). tan⁻¹ 0,0625 = 3,576… La rampe fait un angle d'environ 3,6° avec le sol.
3,6° est plus grand que 2,9° (sa pente est de 6,25 %, plus que 5 %) : la rampe ne respecte pas la règle, elle est trop raide.
Approfondissement Exercice 4 — Le cerf-volant de Hugo (5 pts)
C5 · Hugo tient son cerf-volant à 1,5 m du sol. Le fil est tendu, il mesure 60 m et fait un angle de 35° avec l'horizontale qui passe par sa main.
Fil de 60 m, angle de 35° avec l'horizontale de la main ; main à 1,5 m du sol. Dessin pas à l'échelle.
1. (2 pts) Calcule la hauteur h du cerf-volant au-dessus de la main de Hugo. Justifie le choix de la formule.
2. (1 pt) À quelle hauteur au-dessus du sol vole le cerf-volant ?
3. (2 pts) Quelle distance horizontale sépare Hugo du point du sol situé juste sous le cerf-volant ? Justifie le choix de la formule.
Correction :
1. Je connais : l'hypoténuse (le fil, 60 m) et l'angle (35°). Je cherche : h, en face de l'angle, donc le côté opposé. Opposé et hypoténuse → SOH.
\(h = 60 \times \sin 35° = 34{,}414…\) h ≈ 34,4 m au-dessus de la main.
2. On ajoute la hauteur de la main : \(34{,}4 + 1{,}5 = 35{,}9\). Le cerf-volant vole à environ 35,9 m du sol.
3. Je connais : l'hypoténuse (60 m) et l'angle (35°). Je cherche : la distance horizontale, collée à l'angle, donc le côté adjacent. Adjacent et hypoténuse → CAH.
\(d = 60 \times \cos 35° = 49{,}149…\) Hugo est à environ 49,1 m du point situé sous le cerf-volant.