Activité — Ch09 : La pente d'une route

3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs (environ 45 minutes) :

Comprendre ce que veut dire une pente de 10 % sur un panneau.
Repérer, pour un angle, le côté « collé » à l'angle et le côté « en face » de l'angle (C1).
Découvrir que, pour un même angle, la division de deux côtés donne toujours le même nombre, quelle que soit la taille du triangle (C2).

Situation — Le panneau « descente dangereuse »

En montagne, avant une forte descente, on voit ce panneau. Le nombre 10 % donne la pente de la route.

Une pente de 10 % veut dire : la route descend de 10 m quand on avance de 100 m à l'horizontale.

Le panneau de descente à 10 % et ce qu'il veut dire. Sur le dessin de droite, la descente est agrandie pour être visible.

Source : Instruction interministérielle sur la signalisation routière, 2^e partie (signalisation de danger), panneau A16 « descente dangereuse » : le nombre inscrit sur le panneau indique la pente en pourcentage ; ce panneau est placé avant les descentes d'au moins 10 % sur route.

Problématique : Une route a toujours la même pente, donc toujours le même angle. Si on prend un petit triangle ou un grand triangle sur cette route, la division de deux côtés donne-t-elle le même nombre ?

Partie 1 — Que veut dire 10 % ?

Question 1 APP : Lis la situation.

a) Quand on avance de 100 m à l'horizontale, de combien la route descend-elle ? m.

b) Sur le dessin de droite, l'horizontale et la verticale forment un angle. Lequel ?

Correction :
a) La route descend de 10 m.
b) Un angle droit (codé par le petit carré). La route, l'horizontale et la verticale forment donc un triangle rectangle.

Question 2 REA : La pente reste de 10 % sur toute la descente. Complète le tableau.

On avance de (m)	100	200	50	1 000
La route descend de (m)	10

Aide : 200 m, c'est 2 fois 100 m.

Correction :

On avance de (m)	100	200	50	1 000
La route descend de (m)	10	20	5	100

Deux fois plus loin, on descend deux fois plus. C'est un tableau de proportionnalité.

Question 3 ANA : Pour chaque colonne du tableau, divise la descente par la distance.

a) \(10 : 100 =\) b) \(20 : 200 =\) c) \(5 : 50 =\) d) \(100 : 1\,000 =\)

e) Que remarques-tu ?

Correction :
a) b) c) d) On trouve toujours 0,1.
e) La division donne toujours le même nombre : 0,1. C'est le nombre 10 % (10 % = 10 sur 100 = 0,1).

Partie 2 — Petit ou grand triangle, même angle

Question 4 APP : Sur ce quadrillage, trois triangles rectangles ont le même angle au point A (en orange) : le triangle ABC, le triangle ADE et le triangle AFG.

Trois triangles rectangles, ABC, ADE et AFG, avec le même angle en A (en orange). Le sol est en bleu, les poteaux en vert, la pente en rouge.

Pour l'angle en A, le côté sur le sol est « collé » à l'angle. Le poteau est « en face » de l'angle : il ne le touche pas.

Compte les carreaux et complète.

a) Côtés « collés » : AB = ; AD = ; AF =

b) Côtés « en face » : BC = ; DE = ; FG =

Correction :
a) AB = 4 ; AD = 8 ; AF = 12.
b) BC = 3 ; DE = 6 ; FG = 9.

Question 5 REA : Pour chaque triangle, divise le côté « en face » par le côté « collé ».

Triangle	en face : collé	Résultat
ABC (petit)	\(3 : 4\)
ADE (moyen)	\(6 : 8\)
AFG (grand)	\(9 : 12\)

Correction :
\(3 : 4 = 0{,}75\) ; \(6 : 8 = 0{,}75\) ; \(9 : 12 = 0{,}75\).
Les trois triangles donnent le même nombre : 0,75, alors que le grand triangle est 3 fois plus grand que le petit.

Question 6 REA : Le côté en rouge, en biais, est le côté en face de l'angle droit. On a mesuré : AC = 5 ; AE = 10 ; AG = 15.

Divise maintenant le côté « collé » par le côté en biais.

a) \(AB : AC = 4 : 5 =\) b) \(AD : AE = 8 : 10 =\) c) \(AF : AG = 12 : 15 =\)

d) Que remarques-tu ?

Correction :
a) b) c) On trouve toujours 0,8.
d) Encore une fois, le nombre est le même pour les trois triangles. Le côté en biais, en face de l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse (chapitre 6).

Question 7 ANA : Voici un autre triangle rectangle, avec un angle en H plus grand (plus pentu).

Triangle HKL rectangle en K. L'angle en H (en orange) est plus grand que l'angle en A.

a) Compte les carreaux : côté « collé » HK = ; côté « en face » KL =

b) Calcule en face : collé \(= KL : HK =\)

c) Trouves-tu 0,75 comme à la question 5 ?

Correction :
a) HK = 4 ; KL = 6.
b) \(6 : 4 = 1{,}5\).
c) Non : on trouve 1,5 et pas 0,75. L'angle n'est pas le même, donc le nombre change. Plus l'angle est grand, plus ce nombre est grand.

Partie 3 — La calculatrice connaît ces nombres

Question 8 REA : Avec un rapporteur, on mesure l'angle en A de la partie 2 : environ 36,9°.

a) Vérifie que ta calculatrice est en degrés : tape cos 60 =. Elle doit afficher 0,5. Est-ce le cas ?

b) Tape tan 36,9 =. Arrondis au centième :

c) Compare avec le nombre trouvé à la question 5.

Correction :
a) Si la calculatrice affiche 0,5, elle est en degrés. Sinon, demande de l'aide pour changer le mode.
b) La calculatrice affiche 0,7508… soit environ 0,75.
c) C'est le même nombre qu'à la question 5 : en face : collé = 0,75. La touche tan donne ce nombre directement à partir de l'angle, sans dessiner de triangle.

Question 9 REA : La route du panneau (10 %) fait un angle d'environ 5,7° avec l'horizontale.

a) Tape tan 5,7 =. Arrondis au dixième :

b) Quel nombre de la partie 1 retrouves-tu ?

Correction :
a) La calculatrice affiche 0,0998… soit environ 0,1.
b) On retrouve 0,1, le nombre de la question 3 : descente : distance = 0,1. Pour la route, la descente est le côté « en face » de l'angle et la distance horizontale est le côté « collé ».

Partie 4 — Le funiculaire de Montmartre

Question 10 APP : À Paris, le funiculaire de Montmartre monte de la place Saint-Pierre jusqu'au Sacré-Cœur. La cabine roule sur une voie de 108 m et monte de 36 m de hauteur. On considère que la voie est une ligne droite.

Le funiculaire de Montmartre : voie de 108 m (en rouge), hauteur gagnée de 36 m (en vert). L'angle de la voie avec l'horizontale est en orange.

Source : RATP, « Patrimoine : l'histoire du funiculaire de Montmartre » (voie de 108 mètres, dénivelé de 36 mètres entre la place Saint-Pierre et le Sacré-Cœur).

a) Quel côté du triangle est en face de l'angle droit ?

b) Pour l'angle en orange, quel côté est « en face » de l'angle ?

Correction :
a) C'est la voie (108 m), en biais : c'est l'hypoténuse.
b) C'est la hauteur (36 m), en vert : elle ne touche pas l'angle orange.

Question 11 REA : Calcule hauteur : voie \(= 36 : 108\). Arrondis au centième :

Correction :
\(36 : 108 = 0{,}333…\) soit environ 0,33. C'est le tiers : la hauteur est le tiers de la voie (\(108 : 3 = 36\)).

Question 12 VAL : La cabine est au milieu de la voie : elle a roulé 54 m. Le petit triangle a le même angle que le grand.

a) D'après les parties 1 et 2, le nombre hauteur : voie est-il le même pour le petit triangle ?

b) Calcule la hauteur de la cabine : \(54 : 3 =\) m.

c) Est-ce logique ?

Correction :
a) Oui : même angle, donc même nombre. La hauteur est toujours le tiers de la voie parcourue.
b) \(54 : 3 = 18\). La cabine est à 18 m de haut.
c) Oui : au milieu de la voie, la cabine a fait la moitié de la montée. La moitié de 36 m, c'est bien 18 m.

Bilan — Ce que j'ai découvert

Complète avec tes mots :

Pour un angle d'un triangle rectangle, un côté est « » à l'angle, un autre est « » de l'angle, et le dernier est en face de l'angle droit.
Si l'angle est le même, la division de deux côtés donne nombre, que le triangle soit petit ou grand.
Si l'angle change, ce nombre .
La touche de la calculatrice donne le nombre « en face : collé » à partir de l'angle.

Un côté est « collé » à l'angle, un autre est « en face » de l'angle. Dans le cours, on les appelle le côté adjacent et le côté opposé. Le côté en face de l'angle droit est l'hypoténuse.
Même angle : la division donne le même nombre (0,75 pour les trois triangles de la partie 2).
Si l'angle change, le nombre change (1,5 pour le triangle HKL).
C'est la touche tan (tangente) : tan 36,9° ≈ 0,75.

Réponse à la problématique : oui. Pour un même angle, la division de deux côtés d'un triangle rectangle donne toujours le même nombre, quelle que soit la taille du triangle. C'est pour cela qu'un seul nombre, 10 %, suffit pour décrire la pente de toute la route. C'est aussi ce qui permet de trouver la hauteur de la cabine du funiculaire sans la mesurer (18 m au milieu de la voie). Dans le cours, ces nombres s'appellent le cosinus (adjacent : hypoténuse, 0,8 dans la partie 2), le sinus (opposé : hypoténuse, environ 0,33 pour le funiculaire) et la tangente (opposé : adjacent, 0,75 dans la partie 2).