Chapitre 8 – Proportionnalité, fonctions linéaires et pourcentages

3e prépa-métiers | Mathématiques | Organisation et gestion de données, fonctions

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Multiplier et diviser avec des nombres à virgule, à la calculatrice, par exemple \(2{,}5 \times 4\) ou \(10 : 2{,}5\).
Calculer l'image d'un nombre avec une formule, par exemple \(f(x) = 4x + 3\) pour \(x = 10\) (chapitre 7).
Utiliser les mots image et antécédent : \(f(3) = 15\) veut dire que 15 est l'image de 3 (chapitre 7).
Résoudre une équation simple, par exemple \(4x = 20\) (chapitre 5).

Objectifs du chapitre :

C1 – Reconnaître une situation de proportionnalité (avec un tableau ou un graphique : droite passant par l'origine).
C2 – Calculer une quatrième proportionnelle (coefficient, passage par l'unité ou produit en croix).
C3 – Calculer et appliquer un pourcentage (prendre t % d'une quantité, exprimer une part en %).
C4 – Appliquer une hausse ou une baisse en % avec le coefficient multiplicateur (+5 % ↔ × 1,05 ; −20 % ↔ × 0,8).
C5 – Reconnaître et utiliser une fonction linéaire \(f(x) = ax\) (image, antécédent, coefficient).
C6 – Représenter une fonction linéaire par une droite passant par l'origine.

1. Situation d'entrée — Les clémentines du marché

Combien je paie ?

Au marché, Sami achète des clémentines. Sur l'étiquette, il lit : 2,50 € le kilo.

Question 1 : combien coûtent 3 kg de clémentines ?
Question 2 : Sami a un billet de 10 €. Combien de kilos peut-il acheter ?
Question 3 : en fin de marché, le marchand baisse ses prix de 20 %. Quel est le nouveau prix du kilo ?

Le prix dépend de la masse : 2 fois plus de clémentines, c'est 2 fois plus cher. On dit que le prix est proportionnel à la masse. Les réponses sont données dans les sections 3 et 5.

2. Reconnaître une situation de proportionnalité (C1)

2.1 Avec un tableau

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Un tableau où l'on passe de la ligne du haut à la ligne du bas en multipliant toujours par le même nombre est un tableau de proportionnalité.

Méthode Savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité

Dans chaque colonne, diviser le nombre du bas par le nombre du haut (calculatrice autorisée).

Si on trouve toujours le même résultat, le tableau est un tableau de proportionnalité. Ce résultat est le coefficient.

Si on trouve au moins un résultat différent, ce n'est pas un tableau de proportionnalité.

Exemple 1 (les clémentines) : prix des clémentines à 2,50 € le kilo.

On passe de la masse au prix en multipliant toujours par 2,5.

On divise : \(2{,}5 : 1 = 2{,}5\) ; \(5 : 2 = 2{,}5\) ; \(7{,}5 : 3 = 2{,}5\) ; \(10 : 4 = 2{,}5\).

On trouve toujours 2,5.

C'est un tableau de proportionnalité. Le coefficient est 2,5 : c'est le prix d'un kilo.

Exemple 2 (location de vélo) : un loueur de vélos fait payer 3 € de frais, puis 2 € par heure.

Prix de la location de vélo selon la durée.

On divise : \(5 : 1 = 5\) ; \(7 : 2 = 3{,}5\).

5 et 3,5 sont différents : pas besoin d'aller plus loin.

Ce n'est pas un tableau de proportionnalité. À cause des 3 € de frais, 2 heures ne coûtent pas 2 fois plus cher qu'1 heure.

2.2 Avec un graphique

Propriété Dans un repère, on place les points du tableau.

Si la situation est de proportionnalité, les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine (le point O de coordonnées \((0 \,;\, 0)\)).
Inversement, si les points sont sur une droite qui passe par l'origine, la situation est de proportionnalité.

À gauche, la droite passe par l'origine : proportionnel. À droite, la droite part de 3 : pas proportionnel.

Méthode Reconnaître la proportionnalité sur un graphique

Regarder si les points forment une droite (on peut vérifier avec une règle).

Regarder si cette droite passe par l'origine O.

Deux fois « oui » : la situation est de proportionnalité. Un seul « non » : elle ne l'est pas.

Attention

Une droite qui ne passe pas par l'origine ne représente pas une situation de proportionnalité (exemple du vélo).
Une courbe qui passe par l'origine non plus : la courbe de l'aire du carré du chapitre 7 passe par O, mais ce n'est pas une droite.
Pour un tableau, il faut vérifier toutes les colonnes : une seule colonne différente suffit pour dire « non ».

À toi

Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?

Nombre de places de cinéma	1	2	4
Prix (€)	8	16	32

Âge d'un bébé (ans)	1	2	4
Masse (kg)	10	12	16

Cinéma : \(8 : 1 = 8\) ; \(16 : 2 = 8\) ; \(32 : 4 = 8\). Toujours 8 : oui, c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 8.
Bébé : \(10 : 1 = 10\) ; \(12 : 2 = 6\). Les résultats sont différents : non, la masse n'est pas proportionnelle à l'âge.

3. Calculer une quatrième proportionnelle (C2)

Définition Dans un tableau de proportionnalité, on connaît trois nombres et on cherche le quatrième. Ce nombre s'appelle la quatrième proportionnelle. Il y a trois façons de le trouver : choisis celle qui te paraît la plus simple.

3.1 Avec le coefficient

Méthode 1 Utiliser le coefficient de proportionnalité

Trouver le coefficient : diviser un nombre du bas par le nombre du haut de la même colonne.

Pour aller du haut vers le bas : multiplier par le coefficient.

Pour aller du bas vers le haut : diviser par le coefficient.

Réponses aux questions 1 et 2 de la situation :

Les deux cases à trouver sont en rouge.

Le coefficient est \(2{,}50 : 1 = 2{,}5\).

Question 1 (du haut vers le bas) : \(3 \times 2{,}5 = 7{,}5\). Les 3 kg coûtent 7,50 €.

Question 2 (du bas vers le haut) : \(10 : 2{,}5 = 4\). Avec 10 €, Sami peut acheter 4 kg.

3.2 En passant par l'unité

Méthode 2 Passer par l'unité (calculer pour 1)

Calculer la valeur pour 1 (1 personne, 1 objet, 1 heure…) : on divise.

Multiplier ce résultat par le nombre voulu.

Exemple (une recette de crêpes) : pour 4 personnes, il faut 250 g de farine. Combien faut-il de farine pour 6 personnes ?

On passe par la colonne « 1 personne » pour aller de 4 à 6 personnes.

Pour 1 personne : \(250 : 4 = 62{,}5\) g.

Pour 6 personnes : \(62{,}5 \times 6 = 375\) g.

Pour 6 personnes, il faut 375 g de farine.

3.3 Avec le produit en croix

Méthode 3 Le produit en croix, pas à pas

Écrire un tableau à 2 lignes et 2 colonnes, avec un « ? » dans la case cherchée. Une ligne = une grandeur, avec son unité.

Repérer les deux nombres en diagonale (en face l'un de l'autre, en biais) qui ne touchent pas le « ? ». Les multiplier.

Diviser le résultat par le nombre qui reste.

Vérifier que le résultat est raisonnable.

Exemple (le carburant) : une voiture consomme 6 L de carburant pour 100 km. Combien consomme-t-elle pour 250 km ?

Le produit en croix : on multiplie en diagonale, puis on divise par le nombre qui reste.

Le tableau est écrit, le « ? » est en bas à droite.

En diagonale : 250 et 6. On multiplie : \(250 \times 6 = 1\,500\).

Le nombre qui reste est 100. On divise : \(1\,500 : 100 = 15\).

250 km, c'est 2 fois et demie 100 km, et 15 L, c'est 2 fois et demie 6 L : c'est raisonnable.

Pour 250 km, la voiture consomme 15 L.

Attention

Ces méthodes ne marchent que si la situation est de proportionnalité. Pour la location de vélo, elles donnent un faux résultat.
Dans une même ligne, les nombres doivent avoir la même unité (tous en km, ou tous en m…).
Produit en croix : on multiplie les deux nombres en diagonale, pas les deux nombres d'une même ligne.

À toi

a) 5 baguettes coûtent 6 €. Combien coûtent 8 baguettes ? (Passe par l'unité.)
b) Sur le plan d'un chantier, 3 cm représentent 150 cm en vrai. Un mur mesure 8 cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle ? (Utilise le produit en croix.)

a) Pour 1 baguette : \(6 : 5 = 1{,}2\) €. Pour 8 baguettes : \(1{,}2 \times 8 = 9{,}6\). Les 8 baguettes coûtent 9,60 €.
b) Tableau : plan (cm) 3 et 8 ; réalité (cm) 150 et ?. En diagonale : \(8 \times 150 = 1\,200\). On divise par 3 : \(1\,200 : 3 = 400\). Le mur mesure 400 cm, soit 4 m.

4. Calculer et appliquer un pourcentage (C3)

Définition

\(t\) % se lit « \(t\) pour cent ». Cela veut dire « \(t\) sur 100 » : \(t \,\% = \dfrac{t}{100}\).
Exemples : \(20 \,\% = \dfrac{20}{100} = 0{,}2\) ; \(5 \,\% = \dfrac{5}{100} = 0{,}05\) ; \(100 \,\% = 1\), c'est le tout.
Un pourcentage est une situation de proportionnalité : 20 % veut dire 20 pour 100, 40 pour 200, 10 pour 50…

Repères à connaître

50 %, c'est la moitié : on divise par 2.
25 %, c'est le quart : on divise par 4.
10 %, c'est un dixième : on divise par 10.

4.1 Prendre t % d'une quantité

Méthode Calculer t % d'une quantité

Écrire le calcul : quantité × \(t\) : 100.

Le faire à la calculatrice.

Écrire le résultat avec son unité.

Exemple (la TVA) : la TVA est une taxe ajoutée au prix de la plupart des objets que l'on achète. En France métropolitaine, son taux normal est de 20 % (source : Code général des impôts, article 278, sur Légifrance).
Le prix hors taxe (HT) d'un casque audio est 50 €. Calculer le montant de la TVA.

Calcul : \(50 \times 20 : 100\).

\(50 \times 20 = 1\,000\), puis \(1\,000 : 100 = 10\).

La TVA est de 10 €.

Le prix payé en caisse, toutes taxes comprises (TTC), est \(50 + 10 = 60\) €.

4.2 Exprimer une part en %

Méthode Exprimer une part en pourcentage

Repérer la part (un morceau) et le total (le tout).

Calculer : part : total × 100.

Écrire le résultat suivi du signe %.

Exemple (la classe) : dans une classe de 25 élèves, 9 élèves viennent au lycée en bus. Quel pourcentage des élèves vient en bus ?

Chaque case est un élève : 9 cases colorées sur 25.

La part : 9 élèves. Le total : 25 élèves.

\(9 : 25 = 0{,}36\), puis \(0{,}36 \times 100 = 36\).

36 % des élèves viennent en bus.

Attention

20 % de 50, ce n'est pas \(50 - 20\). C'est \(50 \times 20 : 100 = 10\).
Pour une part en %, on divise la part par le total, pas l'inverse : un pourcentage d'une part est toujours plus petit que 100 %.

À toi

a) Calcule 10 % de 80 €.
b) Calcule 25 % de 60 élèves.
c) 12 élèves sur 30 mangent à la cantine. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

a) \(80 \times 10 : 100 = 8\). 10 % de 80 €, c'est 8 € (ou \(80 : 10 = 8\)).
b) \(60 \times 25 : 100 = 15\). 25 % de 60 élèves, c'est 15 élèves (ou \(60 : 4 = 15\)).
c) \(12 : 30 = 0{,}4\), puis \(0{,}4 \times 100 = 40\). Cela représente 40 % des élèves.

5. Hausse et baisse en % : le coefficient multiplicateur (C4)

Propriété

Augmenter de \(t\) %, c'est multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\).
Diminuer de \(t\) %, c'est multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).
Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur.

Pourquoi ? Le prix de départ, c'est 100 %. Après une hausse de 20 %, on paie \(100 + 20 = 120\) %, c'est-à-dire \(1{,}2\) fois le prix. Après une baisse de 20 %, on paie \(100 - 20 = 80\) %, c'est-à-dire \(0{,}8\) fois le prix.

Évolution	+5 %	+10 %	+20 %	−10 %	−20 %	−30 %	−50 %
Calcul	100 + 5 = 105	100 + 10 = 110	100 + 20 = 120	100 − 10 = 90	100 − 20 = 80	100 − 30 = 70	100 − 50 = 50
Coefficient multiplicateur	× 1,05	× 1,1	× 1,2	× 0,9	× 0,8	× 0,7	× 0,5

Méthode Appliquer une hausse ou une baisse en %

Est-ce une hausse (+) ou une baisse (−) ?

Calculer le coefficient : \(100 + t\) ou \(100 - t\), puis diviser par 100 (voir le tableau).

Multiplier la valeur de départ par le coefficient.

Vérifier : après une hausse, le résultat est plus grand ; après une baisse, il est plus petit.

Exemple 1 (les soldes) : un jean coûte 40 €. Pendant les soldes, son prix baisse de 30 %. Quel est son prix soldé ?

Une baisse de 30 % : on multiplie par 0,7.

C'est une baisse de 30 %.

\(100 - 30 = 70\), donc le coefficient est \(0{,}7\).

\(40 \times 0{,}7 = 28\).

28 € est plus petit que 40 € : c'est bien une baisse.

Le jean soldé coûte 28 €. On peut vérifier autrement : 30 % de 40 €, c'est 12 €, et \(40 - 12 = 28\). ✓

Exemple 2 (prix TTC) : le casque de la section 4 coûte 50 € hors taxe. On ajoute la TVA de 20 %.

Ajouter la TVA, c'est une hausse de 20 % : le coefficient est \(1{,}2\).

\(50 \times 1{,}2 = 60\). Le prix TTC est 60 €, comme dans la section 4, mais en un seul calcul.

Exemple 3 (un salaire) : un salaire de 1 500 € augmente de 5 %.

Hausse de 5 % : \(100 + 5 = 105\), le coefficient est \(1{,}05\).

\(1\,500 \times 1{,}05 = 1\,575\). Le nouveau salaire est 1 575 €.

Réponse à la question 3 de la situation : le prix des clémentines (2,50 € le kilo) baisse de 20 %.

Baisse de 20 % : le coefficient est \(0{,}8\).

\(2{,}5 \times 0{,}8 = 2\). Le nouveau prix est 2 € le kilo.

Attention

Baisse de 20 % : on multiplie par 0,8, pas par 0,2. Multiplier par 0,2, c'est calculer les 20 % seulement.
Hausse de 5 % : le coefficient est 1,05, pas 1,5 (1,5 correspond à une hausse de 50 %).
Pour aller plus loin : une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % ne ramènent pas au prix de départ. Avec 100 € : \(100 \times 1{,}1 = 110\), puis \(110 \times 0{,}9 = 99\). On arrive à 99 €, pas à 100 €.

À toi

a) Donne le coefficient multiplicateur d'une hausse de 15 %, puis d'une baisse de 25 %.
b) Un vélo coûte 300 €. Son prix baisse de 20 %. Calcule le nouveau prix.
c) Un loyer de 600 € augmente de 2 %. Calcule le nouveau loyer.

a) Hausse de 15 % : \(100 + 15 = 115\), coefficient 1,15. Baisse de 25 % : \(100 - 25 = 75\), coefficient 0,75.
b) Baisse de 20 % : coefficient 0,8. \(300 \times 0{,}8 = 240\). Le vélo coûte 240 €.
c) Hausse de 2 % : coefficient 1,02. \(600 \times 1{,}02 = 612\). Le loyer est de 612 €.

6. La fonction linéaire (C5)

Définition

Une fonction linéaire est une fonction dont la formule s'écrit \(f(x) = ax\), où \(a\) est un nombre fixé.
Le nombre \(a\) s'appelle le coefficient de la fonction linéaire.
La machine d'une fonction linéaire fait un seul calcul : multiplier par \(a\).

Exemples : \(f(x) = 2{,}5x\) (coefficient 2,5) ; \(g(x) = 0{,}8x\) (coefficient 0,8, c'est la baisse de 20 %) ; \(k(x) = -2x\) (coefficient \(-2\)).

Propriété

Le tableau de valeurs d'une fonction linéaire \(f(x) = ax\) est un tableau de proportionnalité de coefficient \(a\).
Inversement, une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire. Pour les clémentines : prix \(= 2{,}5 \times\) masse, donc \(f(x) = 2{,}5x\).

Méthode Utiliser une fonction linéaire \(f(x) = ax\)

Image d'un nombre : remplacer \(x\) par ce nombre, puis multiplier par \(a\).

Antécédent d'un nombre \(b\) : résoudre \(ax = b\), c'est-à-dire diviser \(b\) par \(a\).

Coefficient \(a\), si on connaît une image : \(a = f(x) : x\) (on divise l'image par le nombre de départ, qui ne doit pas être 0).

Exemple 1 (un salaire à l'heure) : Yanis travaille dans un snack. Il est payé 12 € par heure. Son salaire, en euros, pour \(x\) heures est \(s(x) = 12x\).

Le tableau de valeurs de s est un tableau de proportionnalité de coefficient 12.

Image de 7 : \(s(7) = 12 \times 7 = 84\). Pour 7 heures, Yanis gagne 84 €.

Antécédent de 300 : on résout \(12x = 300\), donc \(x = 300 : 12 = 25\). Pour gagner 300 €, il doit travailler 25 heures.

Vérification : \(s(25) = 12 \times 25 = 300\). ✓

Exemple 2 (trouver le coefficient) : \(f\) est une fonction linéaire et \(f(4) = 10\). Trouver sa formule.

\(a = f(4) : 4 = 10 : 4 = 2{,}5\).

La formule est \(f(x) = 2{,}5x\) : on retrouve le prix des clémentines (4 kg pour 10 €).

Exemple 3 (reconnaître une fonction linéaire) :

\(f(x) = 3x\) : oui, linéaire, de coefficient 3.
\(g(x) = 4x + 3\) (la plante du chapitre 7) : non, à cause du « + 3 ».
\(h(x) = x \times x\) : non, on multiplie \(x\) par lui-même, pas par un nombre fixé.

Attention

Pour un antécédent, on divise par \(a\), on ne multiplie pas.
Pour toute fonction linéaire, \(f(0) = a \times 0 = 0\) : l'image de 0 est toujours 0.

À toi

\(f(x) = 1{,}5x\).
a) Calcule \(f(6)\).
b) Trouve l'antécédent de 12.
c) \(g\) est une fonction linéaire et \(g(5) = 35\). Trouve le coefficient de \(g\).

a) \(f(6) = 1{,}5 \times 6 = \) 9.
b) On résout \(1{,}5x = 12\) : \(x = 12 : 1{,}5 = 8\). Vérification : \(1{,}5 \times 8 = 12\). ✓ L'antécédent de 12 est 8.
c) \(a = 35 : 5 = 7\). Le coefficient est 7 : \(g(x) = 7x\).

7. Représenter une fonction linéaire (C6)

Propriété

La représentation graphique d'une fonction linéaire \(f(x) = ax\) est une droite qui passe par l'origine O du repère.
Le coefficient \(a\) est l'image de 1 : le point d'abscisse 1 de la droite est à la hauteur \(a\).
Plus \(a\) est grand, plus la droite monte vite. Si \(a\) est négatif, la droite descend.

Trois fonctions linéaires : toutes les droites passent par O. Au-dessus de 1, on lit le coefficient : 2, 1 et 0,5.

Méthode Tracer la droite d'une fonction linéaire

La droite passe par l'origine O \((0 \,;\, 0)\) : c'est le premier point, sans calcul.

Choisir une valeur simple de \(x\), assez loin de 0, et calculer son image \(f(x)\).

Placer le point \((x \,;\, f(x))\).

Tracer à la règle la droite qui passe par O et par ce point.

Vérifier avec un troisième point : il doit être sur la droite.

Exemple (les clémentines) : tracer la droite de \(f(x) = 2{,}5x\) pour \(x\) de 0 à 6 kg.

Premier point : O \((0 \,;\, 0)\).

On choisit \(x = 4\) : \(f(4) = 2{,}5 \times 4 = 10\).

On place le point A \((4 \,;\, 10)\).

On trace à la règle la droite qui passe par O et A.

Vérification : \(f(2) = 2{,}5 \times 2 = 5\). Le point B \((2 \,;\, 5)\) est bien sur la droite. ✓

La droite de f(x) = 2,5x passe par O et A ; le point B sert à vérifier.

Lire sur la droite : on lit une image et un antécédent comme au chapitre 7.

En rouge : l'image de 6 est 15. En vert : l'antécédent de 5 est 2.

Image de 6 (en rouge) : de 6, on monte jusqu'à la droite, puis on lit 15. 6 kg coûtent 15 €.

Antécédent de 5 (en vert) : de 5, on va jusqu'à la droite, puis on descend et on lit 2. Avec 5 €, on achète 2 kg.

Attention

Deux points suffisent pour tracer une droite, mais si l'un est faux, toute la droite est fausse : fais toujours la vérification avec un troisième point.
Choisis un \(x\) assez loin de 0 : avec deux points trop proches, la droite est moins précise.
Une droite qui ne passe pas par O n'est pas la droite d'une fonction linéaire (on verra ces fonctions au chapitre 10).

À toi

Trace la droite de la fonction linéaire \(g(x) = 0{,}5x\) pour \(x\) de 0 à 8, dans un repère comme celui-ci (un carreau pour 1 sur chaque axe).

Repère pour tracer la droite de g.

Premier point : O \((0 \,;\, 0)\). On choisit \(x = 8\) : \(g(8) = 0{,}5 \times 8 = 4\), on place \((8 \,;\, 4)\). On trace la droite à la règle. Vérification : \(g(4) = 0{,}5 \times 4 = 2\), le point \((4 \,;\, 2)\) est bien sur la droite. ✓

Correction : la droite de g(x) = 0,5x passe par O, (4 ; 2) et (8 ; 4).

8. L'essentiel à retenir

À retenir :

Proportionnalité : on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient. Pour vérifier un tableau, on divise le bas par le haut dans chaque colonne.
Sur un graphique, une situation de proportionnalité donne des points alignés sur une droite qui passe par l'origine.
Quatrième proportionnelle : avec le coefficient, en passant par l'unité, ou avec le produit en croix (on multiplie en diagonale, on divise par le nombre qui reste).
t % d'une quantité = quantité × \(t\) : 100. Part en % = part : total × 100.
Hausse de t % : on multiplie par \(1 + \dfrac{t}{100}\) (+5 % ↔ × 1,05). Baisse de t % : on multiplie par \(1 - \dfrac{t}{100}\) (−20 % ↔ × 0,8).
Fonction linéaire : \(f(x) = ax\). Image : on multiplie par \(a\). Antécédent : on divise par \(a\). Coefficient : \(a = f(x) : x\).
La représentation graphique de \(f(x) = ax\) est une droite qui passe par l'origine. Pour la tracer : O, un point bien choisi, la règle, puis un point de vérification.