Devoir surveillé — Ch08 · Proportionnalité, fonctions linéaires et pourcentages
3e prépa-métiers · Durée : 55 min · /20
3e prépa-métiers | Mathématiques | Organisation et gestion de données, fonctions
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
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🎯 Objectifs du chapitre
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C1 – Reconnaître une situation de proportionnalité (avec un tableau ou un graphique : droite passant par l'origine).
C2 – Calculer une quatrième proportionnelle (coefficient, passage par l'unité ou produit en croix).
C3 – Calculer et appliquer un pourcentage (prendre t % d'une quantité, exprimer une part en %).
C4 – Appliquer une hausse ou une baisse en % avec le coefficient multiplicateur (+5 % ↔ × 1,05 ; −20 % ↔ × 0,8).
C5 – Reconnaître et utiliser une fonction linéaire \(f(x) = ax\) (image, antécédent, coefficient).
C6 – Représenter une fonction linéaire par une droite passant par l'origine.
Calculatrice autorisée. Écris tes calculs : ils rapportent des points. Prends un crayon à papier et une règle pour les graphiques.
Rappels
Proportionnalité : on passe d'une ligne à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient. Pour vérifier un tableau, on divise le nombre du bas par le nombre du haut dans chaque colonne.
Sur un graphique, une situation de proportionnalité donne une droite qui passe par l'origine O.
Produit en croix : on multiplie les deux nombres en diagonale, puis on divise par le nombre qui reste.
\(t\) % d'une quantité = quantité × \(t\) : 100. Part en % = part : total × 100.
Hausse de \(t\) % : on multiplie par \(1 + \dfrac{t}{100}\). Baisse de \(t\) % : on multiplie par \(1 - \dfrac{t}{100}\).
Fonction linéaire \(f(x) = ax\) : image → on multiplie par \(a\) ; antécédent → on divise par \(a\). Sa représentation graphique est une droite qui passe par O.
Socle Exercice 1 — Cahiers et parking (5 pts)
C1 · Voici deux tableaux.
Tableau 1 : le prix des cahiers à la papeterie.
Nombre de cahiers
1
2
3
5
Prix (€)
1,50
3
4,50
7,50
Tableau 2 : le prix d'un parking. On paie 2 € à l'entrée, puis 1 € par heure.
Durée (h)
1
2
4
Prix (€)
3
4
6
1. (2 pts) Tableau 1. Divise le prix par le nombre de cahiers, dans chaque colonne.
Est-ce un tableau de proportionnalité ? Entoure : OUI / NON Si oui, le coefficient est
2. (1,5 pt) Tableau 2. Divise le prix par la durée, dans les deux premières colonnes.
\(3 : 1 =\) \(4 : 2 =\)
Est-ce un tableau de proportionnalité ? Entoure : OUI / NON
3. (1,5 pt) On a placé les points des deux tableaux dans deux repères.
Les points des deux tableaux, placés dans deux repères.
Quel graphique montre une situation de proportionnalité ? Entoure : Graphique A / Graphique B
Pourquoi ? Sa droite passe par
Correction :
1. \(1{,}5 : 1 = 1{,}5\) ; \(3 : 2 = 1{,}5\) ; \(4{,}5 : 3 = 1{,}5\) ; \(7{,}5 : 5 = 1{,}5\). On trouve toujours 1,5 : OUI, c'est un tableau de proportionnalité. Le coefficient est 1,5 : un cahier coûte 1,50 €.
Correction : on passe du nombre de cahiers au prix en multipliant toujours par 1,5.
2. \(3 : 1 = 3\) ; \(4 : 2 = 2\). Les résultats sont différents : NON. À cause des 2 € d'entrée, 2 heures ne coûtent pas 2 fois plus cher qu'1 heure.
3. Graphique B (les cahiers) : ses points sont sur une droite qui passe par l'origine O. La droite du graphique A part de 2 sur l'axe vertical : elle ne passe pas par O.
Socle Exercice 2 — Croissants et plan de chantier (5 pts)
C2 · Les prix et les longueurs sont proportionnels.
1. (2 pts) À la boulangerie, 6 croissants coûtent 7,20 €. Combien coûtent 10 croissants ? Passe par l'unité.
On passe par la colonne « 1 croissant » pour aller de 6 à 10 croissants.
Prix d'un croissant : \(7{,}20 : 6 =\) €
Prix de 10 croissants : \(\times 10 =\) €
2. (3 pts) Sur le plan d'un chantier, 2 cm représentent 100 cm en vrai. Un mur mesure 7 cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle ? Utilise le produit en croix.
Le tableau du plan : la case cherchée est en rouge.
Étape 1. Les deux nombres en diagonale : \(7 \times 100 =\)
Étape 2. On divise par le nombre qui reste : \(: 2 =\)
Le mur mesure cm, soit m.
Correction :
1. Prix d'un croissant : \(7{,}20 : 6 = 1{,}20\) €. Prix de 10 croissants : \(1{,}20 \times 10 = 12\). Les 10 croissants coûtent 12 €.
2. En diagonale : \(7 \times 100 = 700\). On divise par 2 : \(700 : 2 = 350\). Le mur mesure 350 cm, soit 3,5 m.
Vérification : 7 cm, c'est 3 fois et demie 2 cm, et 350 cm, c'est 3 fois et demie 100 cm. ✓
Socle Exercice 3 — Les pourcentages au magasin (5 pts)
C3, C4 · Écris tes calculs.
1. (1,5 pt) Une casquette coûte 60 €. Calcule 10 % de 60 €.
\(60 \times 10 : 100 =\) €
2. (1,5 pt) Dans une classe de 20 élèves, 5 élèves font du foot en club. Quel pourcentage des élèves fait du foot en club ?
\(5 : 20 =\) puis \(\times 100 =\) %
3. (2 pts) Un sweat coûte 35 €. Pendant les soldes, son prix baisse de 20 %.
Coefficient multiplicateur : \(100 - 20 =\) , donc on multiplie par
Prix soldé : \(35 \times\) \(=\) €
Correction :
1. \(60 \times 10 : 100 = 600 : 100 = 6\). 10 % de 60 €, c'est 6 € (on peut aussi diviser par 10).
2. \(5 : 20 = 0{,}25\), puis \(0{,}25 \times 100 = 25\). 25 % des élèves font du foot en club.
3. \(100 - 20 = 80\), donc on multiplie par 0,8. \(35 \times 0{,}8 = 28\). Le sweat soldé coûte 28 €. C'est plus petit que 35 € : c'est bien une baisse. ✓
Socle Exercice 4 — Les sacs de sable (5 pts)
C5, C6 · Au magasin de bricolage, un sac de sable coûte 4 €. Le prix, en euros, de \(x\) sacs est donné par la fonction \(f(x) = 4x\).
1. (1 pt) \(f\) est-elle une fonction linéaire ? Entoure : OUI / NON Son coefficient est \(a =\)
2. (1 pt) Calcule le prix de 5 sacs : \(f(5) = 4 \times 5 =\) €
3. (1 pt) Avec 24 €, combien de sacs peut-on acheter ? On cherche l'antécédent de 24 : \(x = 24 : 4 =\) sacs
4. (2 pts) Trace la droite de \(f\) dans le repère.
Premier point : l'origine O \((0 \,;\, 0)\). Deuxième point : \((5 \,;\,\) \()\). Place les deux points, puis trace la droite à la règle.
Repère pour tracer la droite de f : un carreau pour 1 sac et un carreau pour 2 €.
Correction :
1. OUI : la formule s'écrit \(f(x) = ax\) avec \(a = 4\). Le coefficient est 4, c'est le prix d'un sac.
3. \(x = 24 : 4 = 6\). Avec 24 €, on peut acheter 6 sacs. Vérification : \(4 \times 6 = 24\). ✓
4. Deuxième point : \((5 \,;\, 20)\). On trace la droite qui passe par O et par \((5 \,;\, 20)\). Vérification : \(f(2) = 4 \times 2 = 8\), le point \((2 \,;\, 8)\) est bien sur la droite. ✓
Correction : la droite de f(x) = 4x passe par O, (2 ; 8) et (5 ; 20).
Standard Exercice 1 — Proportionnel ou pas ? (5 pts)
C1 · Justifie chaque réponse par un calcul ou par le graphique.
1. (2 pts) Au marché, voici le prix des tomates selon la masse achetée. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Si oui, donne le coefficient.
Masse (kg)
2
3
5
8
Prix (€)
5,40
8,10
13,50
21,60
2. (1,5 pt) Un plombier fait payer 30 € de déplacement, puis 45 € par heure de travail. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
Durée (h)
1
2
3
Prix (€)
75
120
165
3. (1,5 pt) On a placé les points du tableau du plombier dans un repère. Explique comment le graphique confirme ta réponse à la question 2.
Le prix de l'intervention du plombier en fonction de la durée.
Correction :
1. \(5{,}4 : 2 = 2{,}7\) ; \(8{,}1 : 3 = 2{,}7\) ; \(13{,}5 : 5 = 2{,}7\) ; \(21{,}6 : 8 = 2{,}7\). On trouve toujours 2,7 : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,7 (les tomates coûtent 2,70 € le kilo).
Correction : on passe de la masse au prix en multipliant toujours par 2,7.
2. \(75 : 1 = 75\) ; \(120 : 2 = 60\). Les résultats sont différents : ce n'est pas un tableau de proportionnalité (à cause des 30 € de déplacement).
3. Les points sont alignés, mais la droite ne passe pas par l'origine O : elle coupe l'axe vertical à 30 €. Ce n'est donc pas une situation de proportionnalité.
Standard Exercice 2 — Scooter et plan (5 pts)
C2 · Écris la méthode utilisée et tes calculs.
1. (1,5 pt) Un scooter consomme 3 L de carburant pour 100 km. Combien consomme-t-il pour 250 km ?
2. (1,5 pt) Avec 9 L de carburant, quelle distance ce scooter peut-il parcourir ?
3. (2 pts) Sur le plan d'une maison, 4 cm représentent 200 cm en vrai. Une pièce mesure 9 cm sur le plan. Calcule sa longueur réelle avec le produit en croix. Donne le résultat en cm, puis en m.
Correction :
1. Produit en croix (tableau : distance 100 et 250 ; carburant 3 et ?) : \(250 \times 3 = 750\), puis \(750 : 100 = 7{,}5\). Pour 250 km, le scooter consomme 7,5 L.
(Autre méthode : pour 1 km, \(3 : 100 = 0{,}03\) L ; pour 250 km, \(0{,}03 \times 250 = 7{,}5\) L.)
2. Tableau : carburant 3 et 9 ; distance 100 et ?. \(9 \times 100 = 900\), puis \(900 : 3 = 300\). Avec 9 L, il parcourt 300 km.
(Autre méthode : 9 L, c'est 3 fois 3 L, donc \(3 \times 100 = 300\) km.)
3. Tableau : plan (cm) 4 et 9 ; réalité (cm) 200 et ?. En diagonale : \(9 \times 200 = 1\,800\). On divise par 4 : \(1\,800 : 4 = 450\). La pièce mesure 450 cm, soit 4,5 m.
Standard Exercice 3 — Acheter et gagner (5 pts)
C3, C4 · Écris tes calculs.
1. (1,5 pt) Un casque audio coûte 80 € hors taxe (HT). On ajoute la TVA de 20 %. Calcule le montant de la TVA, puis le prix toutes taxes comprises (TTC).
2. (1,5 pt) Des baskets coûtent 90 €. Pendant les soldes, leur prix baisse de 30 %. Donne le coefficient multiplicateur, puis calcule le prix soldé.
3. (1 pt) Un salaire de 1 600 € augmente de 3 %. Calcule le nouveau salaire avec le coefficient multiplicateur.
4. (1 pt) Dans un collège de 400 élèves, 140 élèves viennent à pied. Quel pourcentage des élèves vient à pied ?
Correction :
1. TVA : \(80 \times 20 : 100 = 16\) €. Prix TTC : \(80 + 16 = 96\) €. (En un seul calcul : \(80 \times 1{,}2 = 96\).) Le casque coûte 96 € TTC.
2. Baisse de 30 % : \(100 - 30 = 70\), le coefficient est 0,7. \(90 \times 0{,}7 = 63\). Les baskets soldées coûtent 63 €.
3. Hausse de 3 % : \(100 + 3 = 103\), le coefficient est 1,03. \(1\,600 \times 1{,}03 = 1\,648\). Le nouveau salaire est 1 648 €.
4. \(140 : 400 = 0{,}35\), puis \(0{,}35 \times 100 = 35\). 35 % des élèves viennent à pied.
Standard Exercice 4 — La sortie à vélo (5 pts)
C5, C6 · Inès roule à vélo à vitesse constante. La distance parcourue, en km, au bout de \(t\) heures est \(d(t) = 15t\).
1. (1 pt) Pourquoi \(d\) est-elle une fonction linéaire ? Donne son coefficient.
2. (1 pt) Calcule \(d(3)\). Fais une phrase pour dire ce que tu as trouvé.
3. (1 pt) Calcule l'antécédent de 30 par \(d\). Que veut dire ce résultat pour Inès ?
4. (2 pts) Trace la droite de \(d\) pour \(t\) de 0 à 4 h. Écris le calcul du point choisi, puis vérifie avec un troisième point.
Repère pour tracer la droite de d : un carreau pour 0,5 h et un carreau pour 5 km.
Correction :
1. La formule s'écrit \(d(t) = at\) avec \(a = 15\) : c'est une fonction linéaire de coefficient 15 (Inès roule à 15 km par heure).
2. \(d(3) = 15 \times 3 = 45\). En 3 heures, Inès parcourt 45 km.
3. On résout \(15t = 30\) : \(t = 30 : 15 = 2\). L'antécédent de 30 est 2 : Inès met 2 heures pour parcourir 30 km.
4. Premier point : O \((0 \,;\, 0)\). On choisit \(t = 4\) : \(d(4) = 15 \times 4 = 60\), on place \((4 \,;\, 60)\) et on trace la droite à la règle. Vérification : \(d(2) = 30\), le point \((2 \,;\, 30)\) est bien sur la droite. ✓
Correction : la droite de d(t) = 15t passe par O, (2 ; 30) et (4 ; 60).
Approfondissement Exercice 1 — Recharger une voiture électrique (4 pts)
C1, C2, C5 · Le graphique donne le prix d'une recharge, en euros, selon l'énergie chargée dans la batterie, en kilowattheures (kWh).
Prix de la recharge (en €) en fonction de l'énergie chargée (en kWh).
1. (1 pt) Le prix est-il proportionnel à l'énergie chargée ? Justifie avec le graphique.
2. (1 pt) Lis sur le graphique le prix d'une recharge de 40 kWh.
3. (1 pt) Calcule le prix d'un kilowattheure.
4. (1 pt) La batterie de la voiture de Malik contient 52 kWh. Calcule le prix d'une recharge complète.
Correction :
Correction : 40 kWh coûtent 10 €.
1. Oui : la représentation graphique est une droite qui passe par l'origine O.
2. De 40 sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la droite et on lit 10 : une recharge de 40 kWh coûte 10 €.
3. On passe par l'unité : \(10 : 40 = 0{,}25\). Un kilowattheure coûte 0,25 €. C'est le coefficient de proportionnalité.
Approfondissement Exercice 2 — Le plan de l'appartement (5 pts)
C2, C3 · Sur le plan d'un appartement, 2,5 cm représentent 1 m en vrai.
1. (1,5 pt) Le salon mesure 12 cm de long sur le plan. Calcule sa longueur réelle, en m.
2. (1,5 pt) La cuisine mesure 3,2 m de long en vrai. Quelle longueur doit-on tracer sur le plan ?
3. (1 pt) L'appartement a une surface de 75 m². Le salon a une surface de 24 m². Quel pourcentage de la surface de l'appartement le salon représente-t-il ?
4. (1 pt) La chambre représente 16 % de la surface de l'appartement. Calcule la surface de la chambre.
Correction :
1. Même unité dans chaque ligne : 1 m = 100 cm. Tableau : plan (cm) 2,5 et 12 ; réalité (cm) 100 et ?. Produit en croix : \(12 \times 100 = 1\,200\), puis \(1\,200 : 2{,}5 = 480\). Le salon mesure 480 cm, soit 4,8 m.
2. 3,2 m = 320 cm. Tableau : plan (cm) 2,5 et ? ; réalité (cm) 100 et 320. \(320 \times 2{,}5 = 800\), puis \(800 : 100 = 8\). On trace 8 cm sur le plan.
3. \(24 : 75 = 0{,}32\), puis \(0{,}32 \times 100 = 32\). Le salon représente 32 % de la surface.
4. \(75 \times 16 : 100 = 1\,200 : 100 = 12\). La chambre a une surface de 12 m².
Approfondissement Exercice 3 — Le prix de la console (5 pts)
C4 · Écris chaque coefficient multiplicateur utilisé.
1. (1 pt) Donne le coefficient multiplicateur d'une hausse de 15 %, puis d'une baisse de 35 %.
2. (1 pt) Une console coûte 400 €. Le magasin A baisse son prix de 25 %. Calcule le nouveau prix.
3. (1,5 pt) Le magasin B vend la même console 380 €, avec une remise de 20 %. Dans quel magasin la console est-elle la moins chère ? Justifie.
4. (1,5 pt) Dans un magasin C, la console coûte 400 €. Son prix augmente de 10 %, puis le nouveau prix baisse de 10 %. Léo affirme : « On revient à 400 €. » A-t-il raison ? Justifie par des calculs.
2. Baisse de 25 % : coefficient 0,75. \(400 \times 0{,}75 = 300\). Dans le magasin A, la console coûte 300 €.
3. Baisse de 20 % : coefficient 0,8. \(380 \times 0{,}8 = 304\). Dans le magasin B, elle coûte 304 €. Comme \(300 < 304\), elle est moins chère dans le magasin A (de 4 €).
4. Hausse de 10 % : \(400 \times 1{,}1 = 440\) €. Puis baisse de 10 % : \(440 \times 0{,}9 = 396\) €. Léo a tort : on arrive à 396 €, pas à 400 €. La baisse de 10 % se calcule sur 440 €, un prix plus grand que 400 €.
Approfondissement Exercice 4 — La corde vendue au mètre (6 pts)
C5, C6 · Au rayon bricolage, une corde est vendue au mètre. On note \(g(x)\) le prix, en euros, de \(x\) mètres de corde. \(g\) est une fonction linéaire et 4 m de corde coûtent 6 € : \(g(4) = 6\).
1. (1 pt) Calcule le coefficient de \(g\), puis écris la formule de \(g(x)\).
2. (1 pt) Calcule le prix de 10 m de corde.
3. (1 pt) Calcule l'antécédent de 21 par \(g\). Que veut dire ce résultat ?
4. (1 pt) Parmi ces fonctions, entoure celles qui sont linéaires et donne leur coefficient.
5. (1,5 pt) Trace la droite de \(g\) pour \(x\) de 0 à 8 m. Écris les calculs des points utilisés.
Repère pour tracer la droite de g : un carreau pour 1 m et un carreau pour 1 €.
6. (0,5 pt) Le point A \((6 \,;\, 10)\) est-il sur la droite de \(g\) ? Justifie par un calcul.
Correction :
1. \(a = g(4) : 4 = 6 : 4 = 1{,}5\). La formule est \(g(x) = 1{,}5x\) : la corde coûte 1,50 € le mètre.
2. \(g(10) = 1{,}5 \times 10 = 15\). 10 m de corde coûtent 15 €.
3. On résout \(1{,}5x = 21\) : \(x = 21 : 1{,}5 = 14\). L'antécédent de 21 est 14 : avec 21 €, on achète 14 m de corde. Vérification : \(1{,}5 \times 14 = 21\). ✓
4. \(f\) est linéaire, de coefficient 3. \(m\) est linéaire, de coefficient \(-0{,}5\). \(h\) n'est pas linéaire, à cause du « + 1 » ; \(k\) non plus, car on multiplie \(x\) par lui-même et pas par un nombre fixé.
5. Premier point : O \((0 \,;\, 0)\). On choisit \(x = 8\) : \(g(8) = 1{,}5 \times 8 = 12\), on place \((8 \,;\, 12)\) et on trace la droite à la règle. Vérification : \(g(4) = 6\), le point \((4 \,;\, 6)\) est sur la droite. ✓
Correction : la droite de g(x) = 1,5x ; le point A n'est pas sur la droite.
6. \(g(6) = 1{,}5 \times 6 = 9\). Or le point A a pour ordonnée 10, et \(9 \neq 10\) : A n'est pas sur la droite de \(g\) (il est au-dessus).