Activité — Ch06 : La corde des bâtisseurs

3e prépa-métiers | Mathématiques | Espace et géométrie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs (environ 45 minutes) :

Compter des carreaux sur les côtés d'un triangle rectangle et comparer.
Découvrir un lien entre les trois côtés d'un triangle rectangle (C1).
Utiliser ce lien pour trouver une longueur qu'on ne peut pas mesurer facilement.

Situation — La corde à 13 nœuds

Au Moyen Âge, les bâtisseurs des cathédrales n'avaient pas d'équerre géante. Pour tracer un angle droit sur le sol du chantier, ils utilisaient une corde avec 13 nœuds, tous à la même distance les uns des autres.

Ils tendaient la corde pour former un triangle : 3 espaces sur un côté, 4 espaces sur un autre, 5 espaces sur le dernier. Le coin entre les côtés de 3 et de 4 espaces était alors un angle droit.

La corde à 13 nœuds, à plat puis tendue en triangle. Le petit carré code l'angle droit.

Source : Hervé Lehning, « Le triangle égyptien », Futura-Sciences (la corde à treize nœuds des maîtres d'œuvre du Moyen Âge, triangle de côtés 3, 4 et 5).

Problématique : Dans un triangle qui a un angle droit, existe-t-il un lien entre les longueurs des trois côtés ? Et à quoi peut-il servir ?

Partie 1 — Des carrés sur les côtés

Question 1 APP : Regarde la corde à plat, en haut de la figure.

a) Combien y a-t-il d'espaces entre le premier nœud et le dernier nœud ? espaces.

b) Sur le triangle, compte les espaces de chaque côté : côté vertical ; côté horizontal ; côté en biais .

c) Quel côté est en face de l'angle droit ? Est-ce le plus long ?

Correction :
a) 13 nœuds font 12 espaces (il y a toujours un espace de moins que de nœuds).
b) Côté vertical : 3 ; côté horizontal : 4 ; côté en biais : 5. On vérifie : \(3 + 4 + 5 = 12\).
c) Le côté en face de l'angle droit est le côté en biais (5 espaces). Oui, c'est le plus long.

Question 2 REA : On prend 1 espace de la corde comme unité. Sur chaque côté du triangle, on a dessiné un carré, découpé en petits carreaux.

Un carré sur chaque côté du triangle : vert sur le côté de 3, orange sur le côté de 4, rouge sur le côté de 5.

Compte les petits carreaux de chaque carré.

a) Carré vert : carreaux. b) Carré orange : carreaux. c) Carré rouge : carreaux.

Aide : dans le carré rouge, compte ligne par ligne en suivant les traits penchés.

Correction :
a) Carré vert : 3 lignes de 3 carreaux, \(3 \times 3 =\) 9 carreaux.
b) Carré orange : 4 lignes de 4 carreaux, \(4 \times 4 =\) 16 carreaux.
c) Carré rouge : 5 lignes de 5 carreaux, \(5 \times 5 =\) 25 carreaux.

Question 3 ANA : Compare les nombres de carreaux.

a) Ajoute les carreaux du carré vert et du carré orange : \(9 + 16 =\)

b) Compare avec le carré rouge. Que remarques-tu ?

Correction :
a) \(9 + 16 = 25\).
b) On trouve 25, comme dans le carré rouge. Les carreaux des deux petits carrés remplissent exactement le grand carré, celui du côté en face de l'angle droit.

Partie 2 — Est-ce vrai pour d'autres triangles ?

Question 4 REA : Un nombre multiplié par lui-même s'appelle son carré. On écrit \(3 \times 3 = 3^2 = 9\). Sur la calculatrice, c'est la touche x².

Voici trois triangles. Les triangles 1 et 2 ont un angle droit. Le triangle 3 n'en a pas.

Triangles 1 et 2 : un angle droit (petit carré). Triangle 3 : pas d'angle droit.

Complète le tableau. La première ligne est faite pour le triangle de la corde.

Triangle	Côtés	petit côté² + moyen côté²	grand côté²	Égal ?
Corde	3 ; 4 ; 5	\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)	\(5^2 = 25\)	oui
1	6 ; 8 ; 10	\(6^2 + 8^2 =\)	\(10^2 =\)
2	5 ; 12 ; 13	\(5^2 + 12^2 =\)	\(13^2 =\)
3	4 ; 5 ; 6	\(4^2 + 5^2 =\)	\(6^2 =\)

Correction :

Triangle	Côtés	petit côté² + moyen côté²	grand côté²	Égal ?
1	6 ; 8 ; 10	\(36 + 64 = 100\)	\(100\)	oui
2	5 ; 12 ; 13	\(25 + 144 = 169\)	\(169\)	oui
3	4 ; 5 ; 6	\(16 + 25 = 41\)	\(36\)	non

Question 5 VAL : Regarde la dernière colonne du tableau.

a) Pour quels triangles l'égalité est-elle vraie ?

b) Qu'ont ces triangles en commun ?

Correction :
a) L'égalité est vraie pour le triangle de la corde, le triangle 1 et le triangle 2.
b) Ils ont tous un angle droit. Le triangle 3 n'a pas d'angle droit, et l'égalité est fausse (\(41\) n'est pas égal à \(36\)).

Partie 3 — La diagonale d'un terrain de football

Question 6 REA : Pour les grands matchs, la FIFA demande un terrain de 105 m de long et 68 m de large. Un joueur court d'un coin du terrain au coin opposé, en ligne droite. On cherche cette distance : la diagonale.

Terrain de football : 105 m sur 68 m. On cherche la longueur de la diagonale (en pointillés).

Source : FIFA, « Football Stadiums Guidelines », partie 5.3 « Dimensions du terrain » (dimensions recommandées 105 m × 68 m) ; IFAB, Lois du jeu, loi 1 (matchs internationaux : longueur de 100 à 110 m, largeur de 64 à 75 m).

a) La diagonale, la longueur et la largeur forment un triangle avec un angle droit. Quel est le côté le plus long de ce triangle ?

b) Calcule : \(105^2 =\) et \(68^2 =\)

c) D'après la partie 2, diagonale² \(= 105^2 + 68^2 =\)

d) On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne ce résultat. Tape √, puis ce nombre, puis =. Arrondis au dixième : diagonale \(\approx\) m.

Correction :
a) Le côté le plus long est la diagonale : elle est en face de l'angle droit.
b) \(105^2 = 11\,025\) et \(68^2 = 4\,624\).
c) diagonale² \(= 11\,025 + 4\,624 = 15\,649\).
d) \(\sqrt{15\,649}\) : la calculatrice affiche 125,095… La diagonale mesure environ 125,1 m.
Vérification : \(125 \times 125 = 15\,625\), très proche de \(15\,649\). Et 125,1 m est bien plus long que 105 m.

Partie 4 — Un écran de 55 pouces

Question 7 VAL : Dans les magasins, la taille d'un téléviseur est la longueur de la diagonale de l'écran, en pouces (1 pouce = 2,54 cm). Un écran de 55 pouces mesure environ 122 cm de large et 68 cm de haut.

Écran de 55 pouces : environ 122 cm de large et 68 cm de haut. On cherche la diagonale.

Source : Philips France, « Guide des tailles de téléviseur » (un écran de 55 pouces mesure environ 122 cm de large et 68 cm de haut ; la taille est la diagonale de l'écran).

a) Calcule : diagonale² \(= 122^2 + 68^2 =\)

b) Avec la touche √, arrondis au dixième : diagonale \(\approx\) cm.

c) Divise par 2,54 pour avoir des pouces. L'écran fait-il bien 55 pouces ?

Correction :
a) diagonale² \(= 122^2 + 68^2 = 14\,884 + 4\,624 = 19\,508\).
b) \(\sqrt{19\,508} \approx 139{,}7\). La diagonale mesure environ 139,7 cm.
c) \(139{,}7 : 2{,}54 = 55\). Oui, l'écran fait bien 55 pouces.

Bilan — Ce que j'ai découvert

Complète avec tes mots :

Dans un triangle qui a un angle droit, le côté en face de l'angle droit est le côté le plus .
Le carré de ce côté est à la somme des carrés des deux autres côtés. Exemple : \(5^2 = 3^2 + 4^2\).
Si le triangle n'a pas d'angle droit, cette égalité est .
Pour trouver le côté le plus long, on additionne les deux carrés, puis on utilise la touche de la calculatrice.

Le côté en face de l'angle droit est le côté le plus long. Dans le cours, on l'appelle l'hypoténuse.
Son carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Sans angle droit, l'égalité est fausse (triangle 3 : 41 et 36).
On utilise la touche √.

Réponse à la problématique : oui, dans un triangle qui a un angle droit, on a toujours : (côté le plus long)² = (premier côté)² + (deuxième côté)². C'est ce lien qui fait marcher la corde des bâtisseurs (\(9 + 16 = 25\)). Il permet aussi de calculer une longueur difficile à mesurer, comme la diagonale d'un terrain (environ 125,1 m) ou d'un écran (environ 139,7 cm, soit 55 pouces). Dans le cours, ce lien s'appelle le théorème de Pythagore.