Chapitre 5 – Équations du premier degré

3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Calculer avec des nombres négatifs, par exemple \(2 - 6 = -4\) et \((-8) : 4 = -2\) (chapitre 1).
Calculer une expression quand on connaît \(x\), par exemple \(3x + 2\) pour \(x = 4\) (chapitre 4).
Réduire une expression, par exemple \(x + x + 3 = 2x + 3\) (chapitre 4).

Objectifs du chapitre :

C1 – Tester si un nombre est solution d'une équation.
C2 – Résoudre une équation du type \(x + a = b\) ou \(ax = b\).
C3 – Résoudre une équation du type \(ax + b = c\).
C4 – Résoudre une équation avec l'inconnue des deux côtés (\(ax + b = cx + d\)).
C5 – Mettre un problème en équation, le résoudre et vérifier la réponse.

1. Situation d'entrée — La balance et la salle de sport

Situation 1 — Les sacs de farine

À la boulangerie, on pose sur une balance à plateaux 3 sacs de farine identiques et un poids de 2 kg. De l'autre côté, on pose un poids de 14 kg. La balance est équilibrée.

3 sacs de farine et 2 kg d'un côté, 14 kg de l'autre côté.

Question 1 : quelle est la masse d'un sac de farine ?

Situation 2 — Choisir sa salle de sport

Salle A : on paie 5 € par séance.
Salle B : on paie un abonnement de 30 €, puis 2 € par séance.

Question 2 : pour combien de séances les deux salles coûtent-elles le même prix ?

On peut chercher au hasard… mais c'est long. Dans ce chapitre, on apprend une méthode sûre : écrire une équation et la résoudre. Les réponses sont données dans les sections 5 et 6.

2. Équation et solution (C1)

2.1 Le vocabulaire

Définition

Une équation est une égalité qui contient une lettre. Cette lettre (souvent \(x\)) est un nombre qu'on ne connaît pas : c'est l'inconnue.
Exemple : \(x + 5 = 12\).
Une équation a deux membres : ce qui est à gauche du signe = et ce qui est à droite.
Une solution est un nombre qui rend l'égalité vraie quand on le met à la place de \(x\).
Résoudre une équation, c'est trouver sa solution.

Exemple : dans l'équation \(x + 5 = 12\),

le membre de gauche est \(x + 5\) ; le membre de droite est \(12\) ;
7 est solution, car \(7 + 5 = 12\) : c'est vrai ;
6 n'est pas solution, car \(6 + 5 = 11\), et 11 n'est pas égal à 12.

Une équation, c'est comme une devinette : « quel nombre plus 5 fait 12 ? »

2.2 Tester une valeur

Méthode Tester si un nombre est solution

Calculer le membre de gauche en remplaçant \(x\) par le nombre (chapitre 4).

Calculer le membre de droite de la même façon.

Comparer : si on trouve le même résultat, le nombre est solution. Sinon, il n'est pas solution.

Exemple 1 : 4 est-il solution de \(3x + 2 = 14\) ?

Gauche : \(3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14\).

Droite : \(14\).

On trouve 14 des deux côtés. 4 est solution.

Et 5 ? Gauche : \(3 \times 5 + 2 = 17\). Droite : 14. 17 n'est pas égal à 14 : 5 n'est pas solution.

Exemple 2 (x des deux côtés) : 3 est-il solution de \(2x + 1 = x + 4\) ?

Gauche : \(2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7\).

Droite : \(3 + 4 = 7\).

7 et 7 : c'est pareil. 3 est solution.

Attention

Quand \(x\) est des deux côtés, on remplace \(x\) par le même nombre partout.
\(3x\) veut dire \(3 \times x\). Pour \(x = 4\), \(3x\) vaut 12, et pas 34.

Application

a) 6 est-il solution de \(4x - 5 = 19\) ? b) 2 est-il solution de \(5x + 1 = 3x + 7\) ? c) 3 est-il solution de \(5x + 1 = 3x + 7\) ?

a) Gauche : \(4 \times 6 - 5 = 24 - 5 = 19\). Droite : 19. Oui, 6 est solution.
b) Gauche : \(5 \times 2 + 1 = 11\). Droite : \(3 \times 2 + 7 = 13\). 11 et 13 sont différents : non, 2 n'est pas solution.
c) Gauche : \(5 \times 3 + 1 = 16\). Droite : \(3 \times 3 + 7 = 16\). Oui, 3 est solution.

3. La règle de la balance

Astuce Une équation, c'est une balance équilibrée. Le membre de gauche est sur un plateau, le membre de droite sur l'autre.
Si on enlève la même chose des deux côtés, la balance reste équilibrée.

On enlève 3 poids à gauche et 3 poids à droite : la balance reste équilibrée. Il reste la boîte d'un côté et 5 kg de l'autre : x = 5.

Règle de la balance Une équation reste vraie si on fait la même opération des deux côtés du signe = :

ajouter le même nombre aux deux membres ;
enlever (soustraire) le même nombre aux deux membres ;
multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre (sauf 0).

Le but : laisser \(x\) tout seul d'un côté.

Attention

Si on fait une opération d'un seul côté, la balance penche : l'équation devient fausse.
On ne divise jamais par 0.

4. Résoudre x + a = b et ax = b (C2)

4.1 Un nombre est ajouté ou enlevé à x

Méthode Résoudre \(x + a = b\) ou \(x - a = b\)

Si un nombre est ajouté à \(x\), on l'enlève des deux côtés.

Si un nombre est enlevé à \(x\), on l'ajoute des deux côtés.

Vérifier en remplaçant \(x\) par la solution trouvée (section 2).

Exemple 1 : résoudre \(x + 7 = 15\). On enlève 7 des deux côtés. \[\begin{aligned} x + 7 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{7} &= 15 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{7} \\ x &= 8 \end{aligned}\]

Vérification : \(8 + 7 = 15\). ✓ La solution est 8.

Exemple 2 : résoudre \(x - 4 = 9\). On ajoute 4 des deux côtés. \[\begin{aligned} x - 4 \mathbin{\color{#c53030}{+}} \color{#c53030}{4} &= 9 \mathbin{\color{#c53030}{+}} \color{#c53030}{4} \\ x &= 13 \end{aligned}\]

Vérification : \(13 - 4 = 9\). ✓ La solution est 13.

Exemple 3 (température) : depuis ce matin, la température a monté de 6 degrés. Il fait maintenant 2 °C. On appelle \(x\) la température du matin : \(x + 6 = 2\). \[\begin{aligned} x + 6 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{6} &= 2 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{6} \\ x &= -4 \end{aligned}\]

Vérification : \(-4 + 6 = 2\). ✓ Ce matin, il faisait −4 °C. Une solution peut être négative.

4.2 x est multiplié par un nombre

Méthode Résoudre \(ax = b\)

\(ax\) veut dire \(a \times x\). Pour défaire une multiplication, on divise les deux côtés par \(a\).

Vérifier en remplaçant \(x\) par la solution trouvée.

Exemple 4 : résoudre \(5x = 35\). On divise les deux côtés par 5. \[\begin{aligned} \dfrac{5x}{\color{#c53030}{5}} &= \dfrac{35}{\color{#c53030}{5}} \\ x &= 7 \end{aligned}\]

Vérification : \(5 \times 7 = 35\). ✓ La solution est 7.

Exemple 5 : résoudre \(4x = 10\). On divise par 4 : \(x = 10 : 4 = 2{,}5\).

Vérification : \(4 \times 2{,}5 = 10\). ✓ La solution est 2,5. Une solution peut être un nombre décimal.

Exemple 6 (avec un négatif) : résoudre \(3x = -12\). On divise par 3 : \(x = (-12) : 3 = -4\).

Vérification : \(3 \times (-4) = -12\). ✓ La solution est −4.

Attention

Pour \(5x = 35\), on ne fait pas \(35 - 5\) ! Le 5 multiplie \(x\) : on divise par 5.
Pour \(x + 5 = 35\), le 5 est ajouté : on enlève 5. Il faut bien regarder l'opération.

Application

Résous et vérifie : a) \(x + 9 = 20\) b) \(x - 5 = 12\) c) \(6x = 42\) d) \(2x = 7\) e) \(x + 8 = 3\)

a) On enlève 9 : \(x = 20 - 9 = \) 11. Vérification : \(11 + 9 = 20\). ✓
b) On ajoute 5 : \(x = 12 + 5 = \) 17. Vérification : \(17 - 5 = 12\). ✓
c) On divise par 6 : \(x = 42 : 6 = \) 7. Vérification : \(6 \times 7 = 42\). ✓
d) On divise par 2 : \(x = 7 : 2 = \) 3,5. Vérification : \(2 \times 3{,}5 = 7\). ✓
e) On enlève 8 : \(x = 3 - 8 = \) −5. Vérification : \(-5 + 8 = 3\). ✓

5. Résoudre ax + b = c (C3)

Méthode Résoudre \(ax + b = c\) en 3 étapes

Isoler les \(x\) : enlever (ou ajouter) le nombre seul des deux côtés. On obtient \(ax = \ldots\)

Diviser les deux côtés par le nombre devant \(x\). On obtient \(x = \ldots\)

Vérifier en remplaçant \(x\) par la solution dans l'équation de départ.

Réponse à la question 1 de la situation : on appelle \(x\) la masse d'un sac, en kg. La balance donne l'équation \(3x + 2 = 14\).

On enlève 2 des deux côtés : \(3x + 2 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{2} = 14 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{2}\), donc \(3x = 12\).

On divise par 3 : \(x = 12 : 3 = 4\).

Vérification : \(3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14\). ✓

Un sac de farine pèse 4 kg.

Exemple 2 : résoudre \(5x - 3 = 22\).

On ajoute 3 des deux côtés : \(5x = 22 + 3 = 25\).

On divise par 5 : \(x = 25 : 5 = 5\).

Vérification : \(5 \times 5 - 3 = 25 - 3 = 22\). ✓ La solution est 5.

Exemple 3 (solution négative) : résoudre \(4x + 10 = 2\).

On enlève 10 des deux côtés : \(4x = 2 - 10 = -8\).

On divise par 4 : \(x = (-8) : 4 = -2\).

Vérification : \(4 \times (-2) + 10 = -8 + 10 = 2\). ✓ La solution est −2.

Attention

On commence toujours par enlever le nombre seul, puis on divise. Dans \(3x + 2 = 14\), on ne divise pas tout de suite par 3.
Dans \(3x = 12\), on divise par 3 : \(x = 4\). Faire \(12 - 3 = 9\) est faux.
On ne dit pas « le 2 passe de l'autre côté » : on enlève 2 des deux côtés. C'est ça qui évite les erreurs de signe.

Application

Résous et vérifie : a) \(2x + 5 = 17\) b) \(4x - 7 = 13\) c) \(3x + 11 = 2\) d) \(10x + 4 = 9\)

a) \(2x = 17 - 5 = 12\), puis \(x = 12 : 2 = \) 6. Vérification : \(2 \times 6 + 5 = 17\). ✓
b) \(4x = 13 + 7 = 20\), puis \(x = 20 : 4 = \) 5. Vérification : \(4 \times 5 - 7 = 13\). ✓
c) \(3x = 2 - 11 = -9\), puis \(x = (-9) : 3 = \) −3. Vérification : \(3 \times (-3) + 11 = -9 + 11 = 2\). ✓
d) \(10x = 9 - 4 = 5\), puis \(x = 5 : 10 = \) 0,5. Vérification : \(10 \times 0{,}5 + 4 = 9\). ✓

6. L'inconnue des deux côtés (C4)

Idée Quand il y a des \(x\) des deux côtés, on commence par enlever des \(x\) des deux côtés, pour qu'il n'en reste que d'un seul côté. Sur la balance, on enlève la même boîte sur chaque plateau.

On barre une boîte à gauche et une boîte à droite : il reste 2 boîtes et 2 kg à gauche, 8 kg à droite.

Méthode Résoudre \(ax + b = cx + d\)

Regrouper les \(x\) d'un seul côté : enlever des deux côtés le terme en \(x\) qui a le plus petit nombre devant (chapitre 4 : \(3x - x = 2x\)).

On obtient une équation du type \(ax + b = c\) : on la résout avec la méthode de la section 5.

Vérifier : calculer les deux membres de l'équation de départ avec la solution.

Exemple 1 (la balance) : résoudre \(3x + 2 = x + 8\).

On enlève \(x\) des deux côtés : \(3x + 2 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{x} = x + 8 \mathbin{\color{#c53030}{-}} \color{#c53030}{x}\), donc \(2x + 2 = 8\).

On enlève 2 : \(2x = 6\). On divise par 2 : \(x = 3\).

Vérification : gauche \(3 \times 3 + 2 = 11\) ; droite \(3 + 8 = 11\). ✓ La solution est 3.

Réponse à la question 2 de la situation : on appelle \(x\) le nombre de séances.

Prix à la salle A : \(5x\).
Prix à la salle B : \(2x + 30\).

Même prix : \(5x = 2x + 30\).

On enlève \(2x\) des deux côtés : \(5x - 2x = 30\), donc \(3x = 30\).

On divise par 3 : \(x = 30 : 3 = 10\).

Vérification : salle A, \(5 \times 10 = 50\) € ; salle B, \(2 \times 10 + 30 = 50\) €. ✓

Pour 10 séances, les deux salles coûtent le même prix : 50 €.

Exemple 3 : résoudre \(6x - 5 = 2x + 7\).

On enlève \(2x\) des deux côtés : \(4x - 5 = 7\).

On ajoute 5 : \(4x = 12\). On divise par 4 : \(x = 3\).

Vérification : gauche \(6 \times 3 - 5 = 13\) ; droite \(2 \times 3 + 7 = 13\). ✓ La solution est 3.

Attention

Dans \(5x = 2x + 30\), on enlève \(2x\) (des boîtes), et pas 2 (des kilos) : on ne mélange pas les \(x\) et les nombres seuls (chapitre 4).
Pour vérifier, on calcule les deux membres de l'équation de départ.

Application

Résous et vérifie : a) \(5x + 2 = 3x + 10\) b) \(4x - 1 = x + 11\) c) \(8x + 3 = 5x + 18\)

a) On enlève \(3x\) : \(2x + 2 = 10\) ; \(2x = 8\) ; \(x = 4\). Vérification : \(5 \times 4 + 2 = 22\) et \(3 \times 4 + 10 = 22\). ✓
b) On enlève \(x\) : \(3x - 1 = 11\) ; \(3x = 12\) ; \(x = 4\). Vérification : \(4 \times 4 - 1 = 15\) et \(4 + 11 = 15\). ✓
c) On enlève \(5x\) : \(3x + 3 = 18\) ; \(3x = 15\) ; \(x = 5\). Vérification : \(8 \times 5 + 3 = 43\) et \(5 \times 5 + 18 = 43\). ✓

7. Mettre un problème en équation (C5)

Méthode Résoudre un problème avec une équation, en 4 étapes

Choisir l'inconnue : écrire « On appelle \(x\) … » (ce qu'on cherche, avec l'unité).

Écrire l'équation : traduire l'énoncé avec \(x\) (chapitre 4), puis écrire le signe = entre deux choses égales.

Résoudre l'équation (sections 4, 5 ou 6).

Répondre par une phrase, avec l'unité, et vérifier avec les nombres de l'énoncé.

Exemple 1 (taxi) : un taxi fait payer 4 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Nadia a payé 18 €. Combien de kilomètres a-t-elle parcourus ?

On appelle \(x\) le nombre de kilomètres.

Prix : \(2x + 4\). Elle a payé 18 € : \(2x + 4 = 18\).

\(2x = 18 - 4 = 14\), puis \(x = 14 : 2 = 7\).

Nadia a parcouru 7 km. Vérification : \(2 \times 7 + 4 = 18\) €. ✓

Exemple 2 (âges) : Yanis a 3 ans de plus que sa sœur. À eux deux, ils ont 29 ans. Quel âge a chacun ?

On appelle \(x\) l'âge de la sœur, en années. Yanis a donc \(x + 3\) ans.

À eux deux : \(x + x + 3 = 29\). On réduit (chapitre 4) : \(2x + 3 = 29\).

\(2x = 29 - 3 = 26\), puis \(x = 26 : 2 = 13\).

La sœur a 13 ans et Yanis a \(13 + 3 =\) 16 ans. Vérification : \(13 + 16 = 29\) et \(16 - 13 = 3\). ✓

Exemple 3 (chantier) : on veut clôturer un potager rectangulaire. Sa longueur mesure 6 m de plus que sa largeur. Il faut 48 m de grillage pour en faire le tour. Quelles sont ses dimensions ?

Potager rectangulaire : largeur x, longueur x + 6 (en mètres).

On appelle \(x\) la largeur, en mètres. La longueur est \(x + 6\).

On fait le tour : \(x + (x + 6) + x + (x + 6) = 48\). On réduit : \(4x + 12 = 48\).

\(4x = 48 - 12 = 36\), puis \(x = 36 : 4 = 9\).

La largeur mesure 9 m et la longueur \(9 + 6 =\) 15 m. Vérification : \(9 + 15 + 9 + 15 = 48\) m. ✓

Attention

La solution \(x\) n'est pas toujours la réponse complète : dans l'exemple 2, \(x = 13\) est l'âge de la sœur, il faut aussi donner l'âge de Yanis.
La réponse doit avoir du sens : une longueur ou un nombre de séances ne peut pas être négatif. Si c'est le cas, vérifie ton équation.
On n'oublie pas la phrase réponse, avec l'unité.

Application

a) Léa achète 4 places de concert. Elle paie aussi 6 € de frais de dossier. Elle paie 98 € en tout. Quel est le prix d'une place ?
b) Je pense à un nombre. Je le multiplie par 3, puis j'ajoute 7. Je trouve le même résultat qu'en ajoutant 19 à mon nombre. Quel est ce nombre ?

a) On appelle \(x\) le prix d'une place, en euros. Équation : \(4x + 6 = 98\).
\(4x = 98 - 6 = 92\), puis \(x = 92 : 4 = 23\). Une place coûte 23 €. Vérification : \(4 \times 23 + 6 = 92 + 6 = 98\). ✓
b) On appelle \(x\) le nombre choisi. Équation : \(3x + 7 = x + 19\).
On enlève \(x\) : \(2x + 7 = 19\) ; \(2x = 12\) ; \(x = 6\). Le nombre est 6. Vérification : \(3 \times 6 + 7 = 25\) et \(6 + 19 = 25\). ✓

8. L'essentiel à retenir

À retenir :

Une équation est une égalité avec une inconnue \(x\). Une solution rend l'égalité vraie.
Tester un nombre : calculer le membre de gauche, puis celui de droite, et comparer.
Règle de la balance : on fait toujours la même opération des deux côtés du signe =.
\(x + 7 = 15\) : on enlève 7, \(x = 8\). \(5x = 35\) : on divise par 5, \(x = 7\).
\(3x + 2 = 14\) : on enlève 2 (\(3x = 12\)), puis on divise par 3 (\(x = 4\)).
\(x\) des deux côtés : on enlève d'abord des \(x\) des deux côtés : \(5x = 2x + 30\) donne \(3x = 30\).
Problème : choisir l'inconnue, écrire l'équation, résoudre, répondre par une phrase.
On vérifie toujours en remplaçant \(x\) par la solution.