Calculer pour une valeur : remettre les ×, remplacer \(x\) (un nombre négatif se met entre parenthèses), puis respecter les priorités.
Réduire : les \(x\) avec les \(x\), les nombres seuls avec les nombres seuls. Exemple : \(5x + 8 - 3x - 2 = 2x + 6\).
Simple distributivité : \(k(a + b) = k \times a + k \times b\). Exemple : \(3(x + 5) = 3x + 15\).
Double distributivité : \((a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d\), puis on réduit.
Factoriser, c'est le chemin inverse : \(5x + 15 = 5 \times x + 5 \times 3 = 5(x + 3)\).
Pour vérifier : on remplace \(x\) par 1 des deux côtés, on doit trouver le même nombre.
Socle Exercice 1 — Écrire une expression (5 pts)
C1, C2
1. (1,5 pt) Écris sans le signe ×.
a) \(4 \times x =\) b) \(x \times 6 =\) c) \(3 \times (x + 2) =\)
2. (1 pt) Une partie de bowling coûte 7 €. Écris le prix de \(x\) parties : €
3. (1,5 pt) Complète le tableau du programme de calcul.
Programme
Avec le nombre 3
Avec le nombre \(x\)
Choisir un nombre.
3
\(x\)
Le multiplier par 2.
…
…
Ajouter 5.
…
…
4. (1 pt) Calcule \(2x + 5\) pour \(x = 10\).
\(2x + 5 = 2 \times\) \(+ 5 =\) \(+ 5 =\)
Correction :
1. a) \(4x\) ; b) \(6x\) (le nombre se met devant) ; c) \(3(x + 2)\) (0,5 pt chacun).
2. \(x\) parties à 7 € : \(7 \times x =\) \(7x\) €.
3. Avec 3 : \(3 \times 2 = 6\), puis \(6 + 5 = 11\). Avec \(x\) : \(2x\), puis \(2x + 5\) (0,5 pt pour la colonne « 3 », 1 pt pour la colonne « \(x\) »).
4. \(2x + 5 = 2 \times 10 + 5 = 20 + 5 =\) 25.
Socle Exercice 2 — Calculer et réduire (5 pts)
C2, C3
1. (2 pts) Calcule pour \(x = 4\).
a) \(3x = 3 \times\) \(=\) b) \(x + 7 =\) \(+ 7 =\)
a) \(2x + 5 + 3x + 1\)
Les \(x\) : \(2x + 3x =\) Les nombres : \(5 + 1 =\) Résultat :
b) \(7x + 6 - 2x - 4\)
Les \(x\) : \(7x - 2x =\) Les nombres : \(6 - 4 =\) Résultat :
Correction :
1. a) \(3 \times 4 =\) 12 (et pas 34).
b) \(4 + 7 =\) 11.
c) \(5 \times (4 - 1) = 5 \times 3 =\) 15 (la parenthèse d'abord).
d) \(4 \times 4 =\) 16 (0,5 pt chacun).
2. a) 4 boîtes + 3 boîtes : \(7x\). b) \(6x - 1x =\) \(5x\).
3. a) \(2x + 3x = 5x\) et \(5 + 1 = 6\) : \(5x + 6\).
b) \(7x - 2x = 5x\) et \(6 - 4 = 2\) : \(5x + 2\).
On ne réduit pas plus : \(5x + 6\) ne fait pas \(11x\).
Socle Exercice 3 — Développer et factoriser (6 pts)
C4, C5, C6
1. (2 pts) Développe. Trace les deux flèches, puis complète.
a) \(3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times\) \(=\)
b) \(2(x - 5) = 2 \times x - 2 \times\) \(=\)
2. (2 pts) Développe et réduis \((x + 2)(x + 3)\). Il y a 4 multiplications.
\((x + 2)(x + 3) = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3\)
\(=\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(=\) (on réduit)
3. (2 pts) Factorise. Complète.
a) \(4x + 12 = 4 \times x + 4 \times\) \(= 4(\) \()\)
b) \(5x + 5 = 5 \times x + 5 \times\) \(= 5(\) \()\)
Correction :
1. a) \(3 \times x + 3 \times 4 =\) \(3x + 12\) (et pas \(3x + 4\) : on n'oublie pas la deuxième flèche).
b) \(2 \times x - 2 \times 5 =\) \(2x - 10\).
2. \(x \times x = x^2\) ; \(x \times 3 = 3x\) ; \(2 \times x = 2x\) ; \(2 \times 3 = 6\).
\(x^2 + 3x + 2x + 6\), puis \(3x + 2x = 5x\) : \(x^2 + 5x + 6\) (1 pt pour les 4 produits, 1 pt pour la réduction).
3. a) \(4 \times x + 4 \times 3 =\) \(4(x + 3)\). Vérification : \(4(x + 3) = 4x + 12\). ✓
b) \(5 = 5 \times 1\), donc \(5 \times x + 5 \times 1 =\) \(5(x + 1)\) (il reste 1, pas 0).
Socle Exercice 4 — Le potager (4 pts)
C1, C2, C3, C4 · Un jardinier prépare un potager rectangulaire. Sa largeur est 3 m. Sa longueur est \(x + 4\) (en m).
Le potager : longueur \(x + 4\) (en m), largeur 3 m.
3. \(3 \times 6 + 12 = 18 + 12 =\) 30 m².
Vérification avec le schéma : la longueur vaut \(6 + 4 = 10\) m, et \(3 \times 10 = 30\) m². ✓
4. Les \(x\) : \(x + x = 2x\). Les nombres : \(4 + 3 + 4 + 3 = 14\). Périmètre : \(2x + 14\) m.
Standard Exercice 1 — Écrire et calculer (5 pts)
C1, C2
1. (1 pt) Traduis par une expression.
a) Le triple de \(x\), diminué de 4 : b) Le carré de \(x\), augmenté de 1 :
2. (2 pts) Voici un programme de calcul.
Choisir un nombre.
Lui ajouter 3.
Multiplier le résultat par 4.
a) Applique ce programme au nombre 5.
b) Écris l'expression obtenue avec le nombre \(x\).
3. (2 pts) Calcule en écrivant les étapes.
a) \(5x - 3\) pour \(x = 4\)
b) \(5x - 3\) pour \(x = -2\)
c) \(2x^2 + 1\) pour \(x = 3\)
Correction :
1. a) Le triple de \(x\) : \(3x\) ; on enlève 4 : \(3x - 4\).
b) Le carré de \(x\) : \(x^2\) ; on ajoute 1 : \(x^2 + 1\).
2. a) \(5 + 3 = 8\), puis \(8 \times 4 = 32\). Résultat : 32.
b) \(x + 3\), puis \((x + 3) \times 4\) : \(4(x + 3)\). On multiplie tout le résultat : il faut des parenthèses (\(x + 3 \times 4\) est faux).
b) Les \(x\) : \(3x + 2x = 5x\). Les nombres : \(7 - 4 = 3\). \(B = 5x + 3\).
c) Les \(x\) : \(8x - 6x = 2x\). Les nombres : \(-5 + 9 = 4\). \(C = 2x + 4\).
d) Les \(x^2\) : \(x^2 + 2x^2 = 3x^2\). Les \(x\) : \(4x - x = 3x\). \(D = 3x^2 + 3x\) (on ne mélange pas les \(x^2\) et les \(x\)).
Standard Exercice 3 — Développer et factoriser (6 pts)
C4, C5, C6
1. (1,5 pt) Développe.
a) \(6(x + 2)\)
b) \(4(2x - 3)\)
c) \(x(x + 5)\)
2. (2 pts) Développe et réduis.
a) \((x + 3)(x + 5)\)
b) \((x + 4)(x - 2)\)
3. (1,5 pt) Factorise.
a) \(3x + 21\)
b) \(8x - 8\)
c) \(x^2 + 6x\)
4. (1 pt) Vérifie ton résultat du 2. a) en remplaçant \(x\) par 1 des deux côtés.
Correction :
1. a) \(6 \times x + 6 \times 2 =\) \(6x + 12\).
b) \(4 \times 2x - 4 \times 3 =\) \(8x - 12\).
c) \(x \times x + x \times 5 =\) \(x^2 + 5x\) (0,5 pt chacun).
2. a) \(x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5 = x^2 + 5x + 3x + 15 =\) \(x^2 + 8x + 15\).
b) \(x \times x - x \times 2 + 4 \times x - 4 \times 2 = x^2 - 2x + 4x - 8 =\) \(x^2 + 2x - 8\) (1 pt chacun).
3. a) \(3 \times x + 3 \times 7 =\) \(3(x + 7)\).
b) \(8 \times x - 8 \times 1 =\) \(8(x - 1)\) (il reste 1).
c) \(x \times x + x \times 6 =\) \(x(x + 6)\) (0,5 pt chacun).
4. Oui : pour n'importe quel nombre \(x\), le résultat est \(2x\). Le programme donne toujours le double du nombre choisi.
Approfondissement Exercice 1 — Location de vélos (4 pts)
C1, C2 · Un loueur de vélos propose deux formules.
Formule A : 6 € d'inscription, puis 3 € par heure.
Formule B : 5 € par heure, sans inscription.
1. (1 pt) On loue un vélo pendant \(x\) heures. Écris le prix de chaque formule en fonction de \(x\).
2. (2 pts) Calcule le prix de chaque formule pour 2 heures, puis pour 4 heures.
3. (1 pt) Pour combien d'heures les deux formules coûtent-elles le même prix ? Essaie d'autres valeurs de \(x\) et justifie.
Correction :
1. Formule A : \(3x + 6\) euros. Formule B : \(5x\) euros (0,5 pt chacune).
2. Pour 2 h : A : \(3 \times 2 + 6 = 12\) € ; B : \(5 \times 2 = 10\) €.
Pour 4 h : A : \(3 \times 4 + 6 = 18\) € ; B : \(5 \times 4 = 20\) € (0,5 pt par calcul).
Pour 2 h, B est moins chère ; pour 4 h, c'est A.
3. Pour \(x = 3\) : A : \(3 \times 3 + 6 = 15\) € et B : \(5 \times 3 = 15\) €. Les deux formules coûtent le même prix pour 3 heures.
Approfondissement Exercice 2 — Réduire et calculer (5 pts)
C2, C3
1. (3 pts) Réduis chaque expression.
\(A = 4x - 7 + 2x + 3\)
\(B = 3x^2 + 5x - x^2 - 8x\)
\(C = 2x + 1 - 5x - 6\)
2. (1 pt) Calcule \(B\) pour \(x = -2\), avec la forme réduite.
3. (1 pt) Sami écrit : « \(3x + 4 = 7x\) ». A-t-il raison ? Justifie avec \(x = 2\).
3. Pour \(x = 2\) : \(3 \times 2 + 4 = 10\) mais \(7 \times 2 = 14\). Les résultats sont différents : Sami a tort. On ne mélange pas les \(x\) et les nombres seuls : \(3x + 4\) ne se réduit pas.
Approfondissement Exercice 3 — Développer et factoriser (6 pts)
C3, C4, C5, C6
1. (1 pt) Développe : a) \(5(3x - 2)\) b) \(x(2x + 3)\)
2. (2,5 pts) Développe et réduis.
a) \((x - 3)(x + 7)\)
b) \((2x + 5)(x - 1)\)
3. (1,5 pt) Factorise : a) \(9x - 27\) b) \(4x^2 + 7x\) c) \(6x + 6\)
4. (1 pt) Montre que \(2(x + 3) + 4x\) est égal à \(6(x + 1)\).
Correction :
1. a) \(5 \times 3x - 5 \times 2 =\) \(15x - 10\). b) \(x \times 2x + x \times 3 =\) \(2x^2 + 3x\).
2. a) \(x \times x + x \times 7 - 3 \times x - 3 \times 7 = x^2 + 7x - 3x - 21 =\) \(x^2 + 4x - 21\) (1,25 pt).
b) \(2x \times x - 2x \times 1 + 5 \times x - 5 \times 1 = 2x^2 - 2x + 5x - 5 =\) \(2x^2 + 3x - 5\) (1,25 pt).
Vérification de a) avec \(x = 1\) : \((1 - 3) \times (1 + 7) = (-2) \times 8 = -16\) et \(1 + 4 - 21 = -16\). ✓
3. a) \(9 \times x - 9 \times 3 =\) \(9(x - 3)\).
b) \(x \times 4x + x \times 7 =\) \(x(4x + 7)\).
c) \(6 \times x + 6 \times 1 =\) \(6(x + 1)\) (0,5 pt chacune).
4. \(2(x + 3) + 4x = 2x + 6 + 4x = 6x + 6\). Et \(6(x + 1) = 6x + 6\). Les deux expressions donnent \(6x + 6\) : elles sont égales.
Approfondissement Exercice 4 — Agrandir une dalle (5 pts)
C1, C2, C3, C5 · Un maçon a coulé une dalle de béton carrée de côté \(x\) (en m). Il l'agrandit : il ajoute 4 m à la longueur et 1 m à la largeur.
La dalle de départ (carré de côté \(x\)) et la nouvelle dalle (grand rectangle). Le schéma n'est pas à l'échelle.
1. (1 pt) Écris l'aire de la nouvelle dalle sous la forme d'un produit.
2. (1,5 pt) Développe et réduis cette aire.
3. (1 pt) Le maçon affirme : « L'aire a augmenté de \(5x + 4\) m². » A-t-il raison ? Justifie.
4. (1,5 pt) La dalle de départ mesurait 6 m de côté. Calcule l'aire de la nouvelle dalle de deux façons : avec le produit, puis avec la forme développée.
2. \(x \times x + x \times 1 + 4 \times x + 4 \times 1 = x^2 + x + 4x + 4 =\) \(x^2 + 5x + 4\).
3. L'aire de départ est \(x \times x = x^2\). Nouvelle aire − aire de départ : \(x^2 + 5x + 4 - x^2 = 5x + 4\). Le maçon a raison.
4. Avec le produit : \((6 + 4) \times (6 + 1) = 10 \times 7 =\) 70 m².
Avec la forme développée : \(6 \times 6 + 5 \times 6 + 4 = 36 + 30 + 4 =\) 70 m². Les deux calculs donnent le même résultat ✓.