Activité — Ch04 : Le tour de magie du nombre mystère

3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs (environ 35 minutes) :

Tester un programme de calcul avec plusieurs nombres (C2).
Écrire ce programme avec une lettre (C1).
Regrouper les \(x\) avec les \(x\) et les nombres avec les nombres pour comprendre le « truc » (C3).

Situation — Le tour de Lina

Lina fait un tour de magie à ses amis. Elle dit :

« Pense à un nombre dans ta tête. Ne me le dis pas. Suis mes consignes. À la fin, je devine ton résultat ! »

Étape	Consigne de Lina
1	Choisis un nombre.
2	Ajoute 7.
3	Multiplie le résultat par 2.
4	Enlève le double du nombre de départ.

Ses amis font le calcul. Lina dit à chaque fois : « Tu trouves 14 ! » Et elle a raison.

Rappel : le double d'un nombre, c'est 2 fois ce nombre. Le double de 3, c'est \(2 \times 3 = 6\).

Problématique : Comment Lina peut-elle connaître le résultat sans connaître le nombre de départ ?

Partie 1 — Tester le tour

Question 1 APP : Tom choisit le nombre 3. Complète ses calculs.

Étape 2 : \(3 + 7 =\)

Étape 3 : \(\times 2 =\)

Étape 4 : le double de 3 est . Donc − =

Lina a-t-elle raison ?

Correction :
Étape 2 : \(3 + 7 = 10\).
Étape 3 : \(10 \times 2 = 20\).
Étape 4 : le double de 3 est \(2 \times 3 = 6\). Donc \(20 - 6 = 14\).
Oui, Lina a raison : Tom trouve 14.

Question 2 REA : Complète le tableau avec d'autres nombres de départ.

Nombre de départ	Étape 2 : + 7	Étape 3 : × 2	Double du nombre de départ	Étape 4 : résultat
5	12	24	10	\(24 - 10 = 14\)
10
1
50
Ton nombre :

Aide : la première ligne est faite pour te montrer.

Correction :

Nombre de départ	+ 7	× 2	Double du départ	Résultat
10	17	34	20	\(34 - 20 = 14\)
1	8	16	2	\(16 - 2 = 14\)
50	57	114	100	\(114 - 100 = 14\)

Avec ton nombre, tu dois aussi trouver 14. Si tu trouves autre chose, refais tes calculs.

Question 3 ANA : Regarde la dernière colonne du tableau.

a) Que remarques-tu ?

b) Peut-on tester tous les nombres un par un ? Pourquoi ?

Correction :
a) On trouve toujours 14, quel que soit le nombre de départ.
b) Non : il y a une infinité de nombres, on n'aura jamais fini. Il faut une autre idée pour être sûr que ça marche à chaque fois.

Partie 2 — Découvrir le truc avec une lettre

Question 4 REA : On ne sait pas quel nombre l'ami a choisi. On l'appelle \(x\). La lettre \(x\) remplace n'importe quel nombre.

a) Étape 2 : on ajoute 7 à \(x\). On obtient :

b) Étape 3 : on multiplie tout ce résultat par 2. Cela veut dire qu'on prend deux fois \(x + 7\).

Deux fois « x + 7 » : chaque ligne contient une boîte x (en vert) et 7 jetons (en rouge).

Compte sur le dessin : il y a boîtes \(x\) et jetons en tout.

Donc, après l'étape 3, on a : \(x\) +

Correction :
a) \(x + 7\).
b) Il y a 2 boîtes \(x\) et \(7 + 7 = 14\) jetons.
Après l'étape 3, on a \(2x + 14\).
On a écrit \(x + 7 + x + 7\), puis on a regroupé : les \(x\) avec les \(x\) (\(x + x = 2x\)) et les nombres avec les nombres (\(7 + 7 = 14\)).

Question 5 REA : Étape 4 : on enlève le double du nombre de départ, c'est-à-dire \(2x\) (2 boîtes).

a) Complète : \(2x + 14 - 2x =\)

Aide : on avait 2 boîtes et 14 jetons. On enlève les 2 boîtes. Que reste-t-il ?

b) Explique avec tes mots pourquoi on trouve toujours le même résultat.

Correction :
a) \(2x - 2x = 0\) : les boîtes disparaissent. Il reste \(2x + 14 - 2x = \) 14.
b) À l'étape 4, on enlève exactement les deux « nombres de départ » qu'on avait. Le nombre choisi disparaît : il ne reste que les 14 jetons. C'est pour cela que le résultat ne dépend pas du nombre choisi.

Question 6 VAL : Lina change son tour. À l'étape 2, elle dit « Ajoute 10 » au lieu de « Ajoute 7 ». Le reste ne change pas.

a) Sans calculer avec un nombre, devine le résultat du nouveau tour :

b) Vérifie avec le nombre 4 :

Correction :
a) Avec \(x\) : \(x + 10\), puis deux fois : \(x + 10 + x + 10 = 2x + 20\), puis on enlève \(2x\). Le résultat est toujours 20 (le double de 10).
b) \(4 + 10 = 14\), puis \(14 \times 2 = 28\), puis le double de 4 est 8 : \(28 - 8 = 20\). ✓

Bilan — Ce que j'ai découvert

Complète avec tes mots :

Pour parler de n'importe quel nombre, on utilise une , par exemple \(x\).
Le programme de Lina avec \(x\) : on part de \(x\), puis on obtient \(x + 7\), puis \(2x +\) , puis .
Pour simplifier, on regroupe les \(x\) avec les et les nombres avec les .
\(x + x =\) et \(2x - 2x =\) .

On utilise une lettre, par exemple \(x\).
\(x\), puis \(x + 7\), puis \(2x + \mathbf{14}\), puis 14.
On regroupe les \(x\) avec les \(x\) et les nombres avec les nombres.
\(x + x = \mathbf{2x}\) et \(2x - 2x = \mathbf{0}\).

Réponse à la problématique : Lina a écrit son programme avec une lettre \(x\) à la place du nombre choisi. En regroupant, elle a vu que le nombre de départ disparaît : il reste toujours 14. Dans le cours, tu apprendras à écrire des expressions littérales, à les calculer pour une valeur de \(x\) et à les réduire.