Chapitre 2 – Puissances et notation scientifique

3e prépa-métiers | Mathématiques | Nombres et calculs

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…

Tes tables de multiplication (de 2 à 10).
Multiplier et diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000.
Comparer deux nombres relatifs, par exemple −7 et −3 (chapitre 1).

Objectifs du chapitre :

C1 – Écrire un produit de facteurs égaux sous forme de puissance et calculer une puissance.
C2 – Calculer avec les puissances de 10 (exposants positifs et négatifs).
C3 – Utiliser les préfixes de mesure (giga, méga, kilo, milli, micro, nano).
C4 – Écrire et lire un nombre en notation scientifique.
C5 – Comparer des ordres de grandeur et utiliser la calculatrice.
C6 – Résoudre un problème avec des puissances ou la notation scientifique.

1. Situation d'entrée — Du tout petit au très grand

Situation — Des nombres avec beaucoup de zéros

Le téléphone de Yanis peut stocker 128 Go (gigaoctets).
Question 1 : combien d'octets cela fait-il ?
Une bactérie mesure environ 2 µm (micromètres) de long.
Question 2 : combien de mètres cela fait-il ?
La Terre est à environ 150 000 000 km du Soleil.
Question 3 : comment écrire ce nombre plus court, sans tous ces zéros ?

Pour répondre, il faut savoir utiliser les puissances de 10. C'est le but de ce chapitre. Les réponses sont données dans les sections 4 et 5.

2. Écrire et calculer une puissance (C1)

2.1 Une écriture plus courte

Définition Quand on multiplie plusieurs fois le même nombre, on peut écrire plus court avec une puissance. \[2 \times 2 \times 2 = 2^{3}\]

Le nombre en bas (2) s'appelle la base : c'est le nombre que l'on multiplie.
Le petit nombre en haut (3) s'appelle l'exposant : c'est le nombre de facteurs.

On lit \(2^{3}\) : « 2 puissance 3 » ou « 2 au cube ». On lit \(5^{2}\) : « 5 au carré ».

Exemple 1 : Écrire sous forme de puissance.

\(7 \times 7 \times 7 = 7^{3}\) (3 facteurs égaux à 7).
\(8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^{5}\) (5 facteurs égaux à 8).
\((-4) \times (-4) = (-4)^{2}\) (2 facteurs égaux à −4).

Méthode Calculer une puissance

Écrire le produit : l'exposant dit combien de fois on écrit la base.

Calculer pas à pas, deux nombres à la fois.

Si la base est négative, utiliser la règle des signes du chapitre 1.

Exemple 2 : Calculer.

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\). On fait \(2 \times 2 = 4\), puis \(4 \times 2 = 8\). Donc \(2^{3} = 8\).
\(5^{2} = 5 \times 5 =\) 25.
\(10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 =\) 10 000.
\((-3)^{2} = (-3) \times (-3)\) : même signe, donc positif. \((-3)^{2} = 9\).
\((-2)^{3} = (-2) \times (-2) \times (-2)\) : 3 négatifs, c'est impair, donc négatif. \((-2)^{3} = -8\).

À la calculatrice, on utilise la touche ^ (ou \(x^{y}\)) : on tape 2 ^ 3 et on obtient 8.

Attention

\(2^{3}\) ne fait pas \(2 \times 3 = 6\). On multiplie 2 par lui-même 3 fois : \(2^{3} = 8\).
\((-3)^{2} = 9\), mais \(-3^{2} = -9\). Sans parenthèses, le carré porte seulement sur 3 : \(-3^{2} = -(3 \times 3) = -9\).

2.2 Exposant 0 et exposants négatifs

Regarde ce tableau. Quand l'exposant baisse de 1, on divise par 2. On peut continuer après l'exposant 1 :

Puissance	\(2^{3}\)	\(2^{2}\)	\(2^{1}\)	\(2^{0}\)	\(2^{-1}\)	\(2^{-2}\)	\(2^{-3}\)
Valeur	8	4	2	1	\(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\)	\(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\)	\(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\)
	← à chaque case vers la droite, on divise par 2 →

Règle Pour un nombre \(a\) différent de 0 :

\(a^{1} = a\). Exemple : \(7^{1} = 7\).
\(a^{0} = 1\). Exemple : \(7^{0} = 1\) ; \(10^{0} = 1\).
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) : un exposant négatif veut dire « 1 divisé par ». Exemple : \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}\).

Exemple 3 : Calculer.

\(5^{-2} = \dfrac{1}{5^{2}} = \dfrac{1}{25} =\) 0,04.
\(10^{-3} = \dfrac{1}{10^{3}} = \dfrac{1}{1\,000} =\) 0,001.
\(3^{-1} = \dfrac{1}{3^{1}} =\) \(\dfrac{1}{3}\).

Attention \(2^{-3}\) n'est pas un nombre négatif ! \(2^{-3} = 0{,}125\), c'est un petit nombre positif.
Le signe − dans l'exposant veut dire « 1 divisé par », pas « nombre négatif ».

2.3 Simplifier un produit ou un quotient

On n'apprend pas de formule : on écrit les facteurs et on compte.

Exemple 4 (produit) : \(2^{3} \times 2^{2} = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2)\).

Cela fait 5 facteurs égaux à 2. Donc \(2^{3} \times 2^{2} = 2^{5}\).

Exemple 5 (quotient) : \(\dfrac{2^{3}}{2^{5}} = \dfrac{2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}\).

On simplifie trois « 2 » en haut et trois « 2 » en bas. Il reste \(\dfrac{1}{2 \times 2} = \dfrac{1}{2^{2}}\).

Donc \(\dfrac{2^{3}}{2^{5}} = 2^{-2}\), c'est-à-dire \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\).

Application

a) Écris \(6 \times 6 \times 6 \times 6\) sous forme de puissance. b) Calcule \(3^{4}\). c) Calcule \((-5)^{2}\). d) Calcule \(4^{0}\). e) Écris \(2^{-2}\) en écriture décimale.

a) 4 facteurs égaux à 6 : \(6^{4}\)
b) \(3 \times 3 = 9\) ; \(9 \times 3 = 27\) ; \(27 \times 3 = 81\). \(3^{4} = 81\)
c) \((-5) \times (-5)\) : même signe, positif. 25
d) Exposant 0 : 1
e) \(2^{-2} = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4} =\) 0,25

3. Les puissances de 10 (C2)

3.1 Écrire une puissance de 10

Règle

Exposant positif : \(10^{n}\) s'écrit 1 suivi de \(n\) zéros. Exemple : \(10^{6} = 1\,000\,000\) (6 zéros).
Exposant négatif : \(10^{-n}\) s'écrit avec le 1 au \(n\)-ième rang après la virgule. Exemple : \(10^{-3} = 0{,}001\) (le 1 est au 3^e rang).

Puissance de 10	Écriture décimale	En mots
\(10^{9}\)	1 000 000 000	un milliard
\(10^{6}\)	1 000 000	un million
\(10^{3}\)	1 000	mille
\(10^{2}\)	100	cent
\(10^{1}\)	10	dix
\(10^{0}\)	1	un
\(10^{-1}\)	0,1	un dixième
\(10^{-2}\)	0,01	un centième
\(10^{-3}\)	0,001	un millième
\(10^{-6}\)	0,000 001	un millionième
\(10^{-9}\)	0,000 000 001	un milliardième

Attention

\(10^{3}\) ne fait pas 30. \(10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\).
\(10^{-2}\) ne fait pas −100. \(10^{-2} = 0{,}01\) : c'est un petit nombre positif.

3.2 Multiplier un nombre par une puissance de 10

Méthode Multiplier un nombre par \(10^{n}\)

Repérer la virgule du nombre. S'il n'y en a pas, elle est cachée à la fin : \(45 = 45{,}0\).

Exposant positif : déplacer la virgule vers la droite. Le nombre devient plus grand.
Exposant négatif : déplacer la virgule vers la gauche. Le nombre devient plus petit.

On la déplace d'autant de rangs que l'exposant (sans le signe). On complète avec des zéros si besoin.

Multiplier par 10³ : la virgule fait 3 sauts vers la droite.

Multiplier par 10⁻² : la virgule fait 2 sauts vers la gauche.

Exemple :

\(2{,}5 \times 10^{6}\) : 6 rangs vers la droite. \(2{,}5 \times 10^{6} =\) 2 500 000.
\(6 \times 10^{-3}\) : 3 rangs vers la gauche. \(6 \times 10^{-3} =\) 0,006.
\(0{,}8 \times 10^{2}\) : 2 rangs vers la droite. \(0{,}8 \times 10^{2} =\) 80.

Astuce Diviser par \(10^{3}\), c'est la même chose que multiplier par \(10^{-3}\) : la virgule va vers la gauche.
Exemple : \(4\,500 : 10^{3} = 4\,500 \times 10^{-3} = 4{,}5\).

Application

Écris en écriture décimale : a) \(10^{5}\) b) \(10^{-4}\) c) \(4{,}2 \times 10^{2}\) d) \(7 \times 10^{-3}\) e) \(86 : 10^{2}\)

a) 1 suivi de 5 zéros : 100 000
b) le 1 au 4^e rang après la virgule : 0,000 1
c) 2 rangs vers la droite : 420
d) 3 rangs vers la gauche : 0,007
e) diviser par 100 : 2 rangs vers la gauche : 0,86

4. Les préfixes des unités (C3)

Définition Un préfixe se place devant une unité (mètre, octet, watt…). Il remplace une puissance de 10.
Exemple : « kilo » veut dire \(10^{3}\). Donc 1 km = \(10^{3}\) m = 1 000 m.

Préfixe	Symbole	Puissance de 10	Veut dire	Exemple
giga	G	\(10^{9}\)	un milliard	128 Go (stockage d'un téléphone)
méga	M	\(10^{6}\)	un million	4 Mo (une photo)
kilo	k	\(10^{3}\)	mille	5 km (une course à pied)
(aucun)		\(10^{0} = 1\)	l'unité	1 m ; 1 octet
milli	m	\(10^{-3}\)	un millième	3 mm (une mine de crayon)
micro	µ	\(10^{-6}\)	un millionième	2 µm (une bactérie)
nano	n	\(10^{-9}\)	un milliardième	100 nm (un virus)

Méthode Convertir dans l'unité sans préfixe

Lire le préfixe (k, M, G, m, µ, n).

Le remplacer par sa puissance de 10 (tableau ci-dessus).

Calculer en déplaçant la virgule (méthode du 3.2).

Exemple 1 :

5 km = \(5 \times 10^{3}\) m = 5 000 m.
3 mm = \(3 \times 10^{-3}\) m = 0,003 m.
Une éolienne de 2 MW : 2 MW = \(2 \times 10^{6}\) W = 2 000 000 W.

Réponse à la question 1 de la situation : 128 Go = \(128 \times 10^{9}\) octets.

On déplace la virgule de 9 rangs vers la droite : le téléphone peut stocker 128 000 000 000 octets (128 milliards d'octets).

Réponse à la question 2 de la situation : 2 µm = \(2 \times 10^{-6}\) m.

On déplace la virgule de 6 rangs vers la gauche : la bactérie mesure 0,000 002 m.

Attention

m minuscule = milli (\(10^{-3}\)). M majuscule = méga (\(10^{6}\)). 1 mW et 1 MW, ce n'est pas du tout pareil !
Le symbole de micro est la lettre grecque µ (« mu »), pas la lettre u.

Application

Convertis en mètres : a) 7 km b) 25 mm c) 3 µm. d) Convertis 4 Mo en octets.

a) \(7 \times 10^{3}\) m = 7 000 m
b) \(25 \times 10^{-3}\) m : 3 rangs vers la gauche : 0,025 m
c) \(3 \times 10^{-6}\) m : 6 rangs vers la gauche : 0,000 003 m
d) \(4 \times 10^{6}\) octets = 4 000 000 octets

5. La notation scientifique (C4)

Définition Un nombre est écrit en notation scientifique quand il s'écrit : \[a \times 10^{n}\]

\(a\) a un seul chiffre avant la virgule, et ce chiffre n'est pas 0 (\(a\) est entre 1 et 10, sans atteindre 10) ;
\(n\) est un nombre entier, positif ou négatif.

Exemple 1 : Notation scientifique ou pas ?

\(1{,}5 \times 10^{8}\) : oui (un seul chiffre, 1, avant la virgule).
\(7 \times 10^{-6}\) : oui.
\(15 \times 10^{7}\) : non (deux chiffres avant la virgule).
\(0{,}3 \times 10^{4}\) : non (le chiffre avant la virgule est 0).

5.1 Écrire un nombre en notation scientifique

Méthode Écrire un nombre en notation scientifique

Placer la virgule juste après le premier chiffre qui n'est pas 0. On obtient \(a\).

Compter de combien de rangs la virgule s'est déplacée : c'est \(n\) (sans le signe).

Choisir le signe de \(n\) : grand nombre (10 ou plus) → \(n\) positif ; petit nombre (moins de 1) → \(n\) négatif.

Réponse à la question 3 de la situation : écrire 150 000 000 km en notation scientifique.

Premier chiffre non nul : 1. On écrit \(a = 1{,}5\).

La virgule était à la fin (150 000 000,0). Elle a reculé de 8 rangs.

C'est un grand nombre : l'exposant est positif.

La Terre est à environ \(1{,}5 \times 10^{8}\) km du Soleil.

Exemple 2 (bactérie) : écrire 0,000 002 m en notation scientifique.

Premier chiffre non nul : 2. On écrit \(a = 2\).

La virgule a avancé de 6 rangs (0,000 002 → 2).

C'est un petit nombre : l'exposant est négatif.

La bactérie mesure \(2 \times 10^{-6}\) m.

Exemple 3 :

Le mont Everest mesure 8 849 m. La virgule recule de 3 rangs : \(8{,}849 \times 10^{3}\) m.
Un cheveu a une épaisseur d'environ 0,07 mm. La virgule avance de 2 rangs : \(7 \times 10^{-2}\) mm.

Vérification : on refait le chemin à l'envers. \(8{,}849 \times 10^{3}\) : 3 rangs vers la droite, on retrouve 8 849. ✓

5.2 Lire un nombre en notation scientifique

Méthode Passer de la notation scientifique à l'écriture décimale

Regarder l'exposant : positif → la virgule va à droite ; négatif → la virgule va à gauche.

Déplacer la virgule d'autant de rangs que l'exposant, en ajoutant des zéros.

Exemple 4 :

La lumière parcourt environ \(3 \times 10^{5}\) km par seconde : 5 rangs à droite, 300 000 km par seconde.
Il y a environ \(8 \times 10^{9}\) habitants sur Terre : 9 rangs à droite, 8 000 000 000 habitants (8 milliards).
\(4{,}2 \times 10^{-3}\) : 3 rangs à gauche, 0,004 2.

Attention \(25 \times 10^{3}\) est juste, mais ce n'est pas la notation scientifique (deux chiffres avant la virgule).
\(25 \times 10^{3} = 25\,000 = 2{,}5 \times 10^{4}\).

Application

Écris en notation scientifique : a) 6 400 000 b) 0,000 35. Écris en écriture décimale : c) \(9{,}1 \times 10^{4}\) d) \(5 \times 10^{-4}\)

a) \(a = 6{,}4\) ; la virgule recule de 6 rangs ; grand nombre : \(6{,}4 \times 10^{6}\)
b) \(a = 3{,}5\) ; la virgule avance de 4 rangs ; petit nombre : \(3{,}5 \times 10^{-4}\)
c) 4 rangs à droite : 91 000
d) 4 rangs à gauche : 0,000 5

6. Comparer et utiliser la calculatrice (C5)

6.1 Comparer deux nombres en notation scientifique

Méthode Comparer deux nombres écrits en notation scientifique

Comparer d'abord les exposants. Le plus grand exposant donne le plus grand nombre.

Si les exposants sont égaux, comparer les nombres devant (\(a\)).

Exemple 1 (distances) : La Lune est à environ \(3{,}8 \times 10^{5}\) km de la Terre. Le Soleil est à environ \(1{,}5 \times 10^{8}\) km.

On compare les exposants : 8 est plus grand que 5. Donc le Soleil est bien plus loin, même si 3,8 est plus grand que 1,5.

Exemple 2 (même exposant) : Un globule rouge mesure environ \(7 \times 10^{-6}\) m. Une bactérie mesure environ \(2 \times 10^{-6}\) m.

Même exposant (−6). On compare 7 et 2 : le globule rouge est plus grand.

Exemple 3 (exposants négatifs) : Un virus mesure environ \(1 \times 10^{-7}\) m. Une bactérie mesure environ \(2 \times 10^{-6}\) m.

On compare −7 et −6 : comme au chapitre 1, −6 est plus près de 0, donc \(-7 < -6\). La bactérie est plus grande que le virus.

Attention Avec les exposants négatifs, pense au thermomètre : \(-9 < -3\). Donc \(10^{-9}\) est plus petit que \(10^{-3}\) : un nanomètre est beaucoup plus petit qu'un millimètre.

6.2 Les ordres de grandeur

Règle La puissance de 10 donne une idée de la taille d'un nombre : c'est son ordre de grandeur.
Quand l'exposant augmente de 1, le nombre est multiplié par 10.

Échelle des tailles : chaque graduation multiplie la taille par 10 (pour la Terre, c'est son diamètre).

Exemple 4 : Un cheveu a une épaisseur d'environ \(7 \times 10^{-5}\) m. Un globule rouge mesure environ \(7 \times 10^{-6}\) m.

De −6 à −5, l'exposant augmente de 1. Le cheveu est donc 10 fois plus épais qu'un globule rouge.

6.3 La calculatrice

Méthode Taper un nombre en notation scientifique

Trouver la touche ×10^x (elle s'appelle parfois EE ou EXP).

Pour \(1{,}5 \times 10^{8}\), taper : 1.5 puis ×10^x puis 8. Pour un exposant négatif, taper la touche (−) avant le nombre.

Lire l'affichage : 1.5E8 ou 1.5×10⁸ veut dire \(1{,}5 \times 10^{8}\). La calculatrice écrit un point à la place de la virgule.

Exemple 5 : La calculatrice affiche 3.2E-5. Cela veut dire \(3{,}2 \times 10^{-5}\), c'est-à-dire 0,000 032.

Exemple 6 : Calculer \(1{,}5 \times 10^{8} : (3 \times 10^{5})\).

On tape : 1.5 ×10^x 8 ÷ 3 ×10^x 5 puis =. On lit 500.

Attention

Pour \(10^{8}\) tout seul, tape 1 ×10^x 8. Si tu tapes 10 ×10^x 8, tu obtiens \(10 \times 10^{8} = 10^{9}\) : c'est faux.
Sans la touche ×10^x, mets des parenthèses : (1.5×10^8)÷(3×10^5).

Application

a) Compare \(4{,}5 \times 10^{6}\) et \(9 \times 10^{5}\). b) Range du plus petit au plus grand : \(10^{-3}\) ; \(10^{-9}\) ; \(10^{-6}\). c) La calculatrice affiche 2.5E-4. Écris ce nombre en écriture décimale.

a) Exposants : 6 est plus grand que 5. Donc \(4{,}5 \times 10^{6} > 9 \times 10^{5}\) (4 500 000 > 900 000).
b) \(-9 < -6 < -3\), donc \(10^{-9} < 10^{-6} < 10^{-3}\) (nanomètre, micromètre, millimètre).
c) \(2{,}5 \times 10^{-4}\) : 4 rangs à gauche : 0,000 25

7. Résoudre un problème (C6)

Méthode Résoudre un problème en 4 étapes

Lire l'énoncé deux fois. Souligner les nombres, les unités et la question.

Écrire les nombres avec des puissances de 10, dans la même unité (remplacer les préfixes).

Calculer, à la main ou à la calculatrice.

Répondre par une phrase, avec l'unité. Se demander si le résultat est possible.

Exemple 1 (photos) : Le téléphone de Yanis peut stocker 128 Go. Une photo prend 4 Mo. Combien de photos peut-il stocker ?

Nombres : 128 Go et 4 Mo. Question : combien de photos ?

128 Go = \(128 \times 10^{9}\) octets et 4 Mo = \(4 \times 10^{6}\) octets.

On divise : \(128 : 4 = 32\), et \(10^{9} : 10^{6} = 1\,000\,000\,000 : 1\,000\,000 = 1\,000\).
Donc \(128 \times 10^{9} : (4 \times 10^{6}) = 32 \times 1\,000 = 32\,000\).

Yanis peut stocker environ 32 000 photos (un peu moins en vrai, car les applications prennent aussi de la place).

Exemple 2 (lumière) : Le Soleil est à environ \(1{,}5 \times 10^{8}\) km de la Terre. La lumière parcourt environ \(3 \times 10^{5}\) km en une seconde. Combien de temps met la lumière du Soleil pour arriver jusqu'à nous ?

Temps = distance : vitesse. À la calculatrice (exemple 6) : \(1{,}5 \times 10^{8} : (3 \times 10^{5}) = 500\).

La lumière met 500 secondes. Comme \(8 \times 60 = 480\), cela fait 8 minutes et 20 secondes.

Attention Avant de calculer, mets les nombres dans la même unité. On ne divise pas directement 128 Go par 4 Mo : ce ne sont pas les mêmes unités.

Application 1

Une feuille de papier a une épaisseur d'environ 0,1 mm. Une ramette contient 500 feuilles. Quelle est l'épaisseur de la ramette, en mm puis en m ?

\(500 \times 0{,}1 = 50\). La ramette fait 50 mm d'épaisseur.
50 mm = \(50 \times 10^{-3}\) m = 0,05 m (c'est 5 cm), soit \(5 \times 10^{-2}\) m en notation scientifique.

Application 2

Le cœur bat environ 70 fois par minute. Combien de fois bat-il en une année de 365 jours ? Donne le résultat en notation scientifique, avec un chiffre après la virgule.

Minutes dans une journée : \(60 \times 24 = 1\,440\). Minutes dans une année : \(1\,440 \times 365 = 525\,600\).
Battements : \(70 \times 525\,600 = 36\,792\,000\).
Notation scientifique : \(3{,}679\,2 \times 10^{7}\), arrondi à \(3{,}7 \times 10^{7}\) battements (environ 37 millions).

8. L'essentiel à retenir

À retenir :

Puissance : \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\). La base est 2, l'exposant est 3 (le nombre de facteurs).
\(a^{0} = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) : \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\). Un exposant négatif donne un petit nombre, pas un nombre négatif.
\(10^{n}\) = 1 suivi de \(n\) zéros. \(10^{-n}\) = le 1 au \(n\)-ième rang après la virgule : \(10^{-3} = 0{,}001\).
× \(10^{n}\) : la virgule va à droite de \(n\) rangs. × \(10^{-n}\) : la virgule va à gauche de \(n\) rangs.
Préfixes : G = \(10^{9}\) ; M = \(10^{6}\) ; k = \(10^{3}\) ; m = \(10^{-3}\) ; µ = \(10^{-6}\) ; n = \(10^{-9}\).
Notation scientifique : \(a \times 10^{n}\) avec un seul chiffre (pas 0) avant la virgule. \(150\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^{8}\) ; \(0{,}000\,002 = 2 \times 10^{-6}\).
Comparer : d'abord les exposants, puis les nombres devant.
Calculatrice : touche ×10^x (ou EE, EXP). L'affichage 1.5E8 veut dire \(1{,}5 \times 10^{8}\).