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Chapitre 1 – Nombres relatifs et fractions

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Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Avant de commencer, tu dois savoir…
Objectifs du chapitre :

1. Situation d'entrée — Une journée à la montagne

Situation — Sortie au ski

La classe part une journée à la montagne.

Pour répondre, il faut savoir calculer avec des nombres négatifs et avec des fractions. C'est le but de ce chapitre. Les réponses sont données dans les sections 3 et 8.

2. Les nombres relatifs (C1)

2.1 Positifs et négatifs

Définition
Définition Deux nombres sont opposés s'ils ont la même distance à 0 mais des signes différents.
Exemples : l'opposé de 5 est −5 ; l'opposé de −8 est 8.
Dans la vie de tous les jours :

2.2 La droite graduée

Définition Sur une droite graduée, le 0 est au milieu. Les nombres négatifs sont à gauche de 0. Les nombres positifs sont à droite de 0.

2.3 Comparer et ranger

Règle Sur la droite graduée, le plus grand nombre est le plus à droite.
On écrit \(<\) pour « est plus petit que » et \(>\) pour « est plus grand que ».
Méthode Comparer deux nombres relatifs
1
Regarder les signes. Un positif est toujours plus grand qu'un négatif.
2
Deux positifs : on compare comme d'habitude.
3
Deux négatifs : le plus grand est celui qui est le plus près de 0.
Exemple 1 : Comparer.

Pense au thermomètre : il fait plus froid à −7 °C qu'à −3 °C.

Exemple 2 : Ranger dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) : 2 ; −3 ; 5 ; −7 ; 0 ; −1.
1
Les négatifs d'abord, du plus loin de 0 au plus près : −7 ; −3 ; −1.
2
Puis 0.
3
Puis les positifs : 2 ; 5.

Réponse : −7 < −3 < −1 < 0 < 2 < 5.

Attention 7 est plus grand que 3, mais −7 est plus petit que −3. Chez les négatifs, « gros chiffre » veut dire « plus petit nombre ».
Application

Range ces températures dans l'ordre décroissant, c'est-à-dire de la plus chaude à la plus froide : −2,5 °C ; 1 °C ; −6 °C ; 3,5 °C ; 0 °C.

Positifs d'abord, du plus grand au plus petit : 3,5 puis 1. Puis 0. Puis les négatifs, du plus près de 0 au plus loin : −2,5 puis −6.
3,5 > 1 > 0 > −2,5 > −6

3. Additionner et soustraire des nombres relatifs (C2)

3.1 Additionner : la méthode « gains et pertes »

Astuce Un nombre positif est un gain. Un nombre négatif est une perte.
Additionner, c'est faire le bilan : est-ce que je gagne ou est-ce que je perds au total ?
Exemple 1 : \((+5) + (-8)\)

Je gagne 5 €, puis je perds 8 €. Au total, je perds 3 €.

Donc \((+5) + (-8) = -3\).

Exemple 2 : \((-4) + (-6)\)

Je perds 4 €, puis je perds encore 6 €. Au total, je perds 10 €.

Donc \((-4) + (-6) = -10\).

Méthode Additionner deux nombres relatifs
1
Même signe : on additionne les nombres sans leur signe, et on garde le signe.
Exemple : \((-4) + (-6) = -10\).
2
Signes différents : on fait la différence des nombres sans leur signe (le grand moins le petit).
On prend le signe du nombre le plus loin de 0.
Exemple : \((+5) + (-8)\) : \(8 - 5 = 3\) ; −8 est le plus loin de 0, donc le résultat est \(-3\).
Réponse à la question 1 de la situation : il fait −4 °C, puis la température monte de 7 degrés.

\(-4 + 7\) : signes différents. \(7 - 4 = 3\). Le 7 est le plus loin de 0 et il est positif.

Donc \(-4 + 7 = 3\). À midi, il fait 3 °C.

3.2 Soustraire

Règle Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.
\(a - b = a + (\text{opposé de } b)\)
Méthode Calculer une soustraction de relatifs
1
Remplacer « − » par « + ».
2
Remplacer le nombre qui suit par son opposé.
3
Calculer l'addition avec la méthode du 3.1.
Exemple 1 : \(3 - 7 = 3 + (-7) = -4\)
Exemple 2 : \((-2) - (-6) = (-2) + (+6) = 4\)

Enlever une perte, c'est comme gagner.

Exemple 3 (compte en banque) : Sami a 45 € sur son compte. Il achète des chaussures à 60 €.

\(45 - 60 = 45 + (-60) = -15\).

Son compte est à −15 € : il est à découvert de 15 €.

Attention \(-2 - 5\) ne fait ni 3, ni −3. On perd 2, puis on perd encore 5 : \(-2 - 5 = -7\).
Application

Calcule : a) \((-6) + (-3)\)   b) \(5 + (-9)\)   c) \(-2 - 5\)   d) \(4 - (-3)\)

a) \((-6) + (-3)\) : deux pertes, 6 + 3 = 9, signe − : −9
b) Signes différents : 9 − 5 = 4, le 9 est le plus loin de 0 et il est négatif : −4
c) \(-2 + (-5)\) : deux pertes : −7
d) \(4 + (+3) = \) 7

4. Multiplier et diviser des nombres relatifs (C3)

Règle des signes Pour une multiplication ou une division de deux nombres :
× ou :positifnégatif
positif+−
négatif−+
Méthode Multiplier ou diviser deux relatifs
1
Trouver le signe du résultat avec la règle des signes.
2
Calculer avec les nombres sans leur signe (tables de multiplication).
3
Écrire le signe devant le résultat.
Exemple 1 :
Exemple 2 (température) : Le soir, la température baisse de 2 °C chaque heure, pendant 3 heures.

Variation totale : \(3 \times (-2) = -6\). La température a baissé de 6 °C.

Plus de deux nombres On compte les nombres négatifs : Exemple : \((-2) \times (-3) \times (-1)\) : 3 négatifs, c'est impair → négatif. \(2 \times 3 \times 1 = 6\). Résultat : −6.
Attention La règle des signes sert seulement pour × et :.
\((-3) \times (-4) = 12\) mais \((-3) + (-4) = -7\) (deux pertes, ce n'est pas un gain !).
Application

Calcule : a) \((-7) \times 4\)   b) \((-9) \times (-2)\)   c) \(36 : (-4)\)   d) \((-45) : (-5)\)

a) \((-7) \times 4\) : signes différents, 7 × 4 = 28 : −28
b) même signe, 9 × 2 = 18 : 18
c) signes différents, 36 : 4 = 9 : −9
d) même signe, 45 : 5 = 9 : 9

5. Les priorités de calcul (C7)

Règle Dans un calcul, on fait dans cet ordre :
1
Les calculs entre parenthèses.
2
Les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
3
Les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Méthode Calculer une expression
1
Repérer ce qui est prioritaire et le souligner.
2
Calculer cette partie seulement. Recopier le reste sans le changer.
3
Recommencer ligne par ligne jusqu'au résultat.
Exemple 1 : \[5 + 3 \times (-2) = 5 + (-6) = -1\]

On fait d'abord la multiplication.

Exemple 2 : \[(-4 + 10) \times (-3) = 6 \times (-3) = -18\]

On fait d'abord la parenthèse.

Exemple 3 : \[-12 : 4 - 2 \times (-5) = -3 - (-10) = -3 + 10 = 7\]

On fait la division et la multiplication, puis la soustraction.

Attention On ne calcule pas de gauche à droite sans réfléchir !
\(5 + 3 \times (-2)\) ne fait pas \(8 \times (-2) = -16\). Le bon résultat est \(-1\).
Application

Calcule : a) \(7 - 2 \times 5\)   b) \((7 - 2) \times 5\)   c) \(-3 + 4 \times (-2)\)

a) \(7 - 10 = \) −3
b) \(5 \times 5 = \) 25
c) \(-3 + (-8) = \) −11

6. Les fractions : sens, simplification, comparaison (C4)

6.1 Que veut dire une fraction ?

Définition La fraction \(\dfrac{3}{4}\) veut dire : on partage une unité en 4 parts égales et on en prend 3. Une fraction est aussi une division : \(\dfrac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75\).

6.2 Fractions égales et simplification

Règle On obtient une fraction égale si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur par le même nombre. \[\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4} \qquad \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 4}{2 \times 4} = \dfrac{4}{8}\]
Définition Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits, sans changer sa valeur.
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Méthode Simplifier une fraction
1
Chercher un nombre qui divise le haut et le bas. Essayer 2, 3, 5, 10 (pense aux tables).
2
Diviser le numérateur et le dénominateur par ce nombre.
3
Recommencer tant que c'est possible. À la fin, la fraction est irréductible.
Exemple 1 : Simplifier \(\dfrac{12}{18}\).

12 et 18 sont dans la table de 2 : \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 : 2}{18 : 2} = \dfrac{6}{9}\).

6 et 9 sont dans la table de 3 : \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 : 3}{9 : 3} = \dfrac{2}{3}\).

2 et 3 n'ont plus de diviseur commun (à part 1). \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\), fraction irréductible.

Exemple 2 : Simplifier \(\dfrac{15}{25}\).

15 et 25 sont dans la table de 5 : \(\dfrac{15}{25} = \dfrac{15 : 5}{25 : 5} = \dfrac{3}{5}\). C'est irréductible.

6.3 Comparer des fractions

Méthode Comparer deux fractions
1
Même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Exemple : \(\dfrac{3}{7} < \dfrac{5}{7}\) (3 parts, c'est moins que 5 parts de même taille).
2
Dénominateurs différents : on les écrit d'abord avec le même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
Exemple : Comparer \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{4}\).

On cherche un nombre qui est dans la table de 3 et dans la table de 4 : 12.

\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}\)   et   \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}\).

8 < 9, donc \(\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}\).

Attention
Application

a) Rends irréductibles : \(\dfrac{8}{20}\) ; \(\dfrac{18}{24}\) ; \(\dfrac{21}{35}\).   b) Compare \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{3}{4}\).

a) \(\dfrac{8}{20} = \dfrac{4}{10} = \) \(\dfrac{2}{5}\) (÷ 2 deux fois) ; \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{9}{12} = \) \(\dfrac{3}{4}\) (÷ 2 puis ÷ 3) ; \(\dfrac{21}{35} = \) \(\dfrac{3}{5}\) (÷ 7).
b) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}\). Comme 5 < 6 : \(\dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}\).

7. Additionner et soustraire des fractions (C5)

7.1 Avec le même dénominateur

Règle On additionne (ou on soustrait) les numérateurs. On garde le dénominateur. \[\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{1 + 2}{4} = \dfrac{3}{4} \qquad \dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{5 - 3}{7} = \dfrac{2}{7}\]

7.2 Avec des dénominateurs différents

Méthode Additionner ou soustraire deux fractions
1
Trouver un dénominateur commun : un nombre qui est dans la table des deux dénominateurs.
Souvent, le plus grand dénominateur marche déjà (4 est dans la table de 2).
2
Transformer chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur (multiplier en haut et en bas).
3
Additionner (ou soustraire) les numérateurs.
4
Simplifier le résultat si c'est possible.
Exemple 1 (recette) : Pour une pâte à crêpes, on verse \(\dfrac{1}{2}\) L de lait puis \(\dfrac{1}{4}\) L d'eau. Quel volume de liquide au total ?

4 est dans la table de 2 : \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4}\).

\(\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\). On a versé \(\dfrac{3}{4}\) L de liquide.

Exemple 2 : \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\)

6 est dans la table de 3 : \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\).

\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6}\), puis on simplifie par 3 : \(\dfrac{1}{2}\).

Exemple 3 : \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\)

3 n'est pas dans la table de 4. On prend 12 (table de 3 et table de 4).

\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\) et \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\). Donc \(\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \) \(\dfrac{11}{12}\).

Exemple 4 (avec un entier) : \(1 + \dfrac{2}{5}\)

Un entier, c'est aussi une fraction : \(1 = \dfrac{5}{5}\). Donc \(\dfrac{5}{5} + \dfrac{2}{5} = \) \(\dfrac{7}{5}\).

Attention On n'additionne jamais les dénominateurs !
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\) ne fait pas \(\dfrac{2}{6}\). Le bon résultat est \(\dfrac{3}{4}\).
Application

Calcule et simplifie : a) \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8}\)   b) \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{5}\)   c) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}\)

a) \(\dfrac{4}{8} = \) \(\dfrac{1}{2}\)
b) \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10}\), donc \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{10} = \dfrac{5}{10} = \) \(\dfrac{1}{2}\)
c) dénominateur commun 6 : \(\dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \) \(\dfrac{5}{6}\)

8. Multiplier, diviser, prendre une fraction d'une quantité (C6)

8.1 Multiplier deux fractions

Règle On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux. \[\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}\] Pas besoin de dénominateur commun !
Exemple 1 : \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 9} = \dfrac{6}{36}\). On simplifie par 6 : \(\dfrac{1}{6}\).
Exemple 2 (un entier fois une fraction) : \(3 \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{7} = \) \(\dfrac{6}{7}\). On multiplie seulement le numérateur.
Exemple 3 (avec un signe) : la règle des signes marche aussi.

\(\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{3}{5} = -\dfrac{6}{15} = \) \(-\dfrac{2}{5}\) (signes différents → négatif ; on simplifie par 3).

Réponse à la question 2 de la situation : pour 4 personnes au lieu de 8, il faut la moitié du lait.

La moitié de \(\dfrac{3}{4}\) L : \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\). Il faut \(\dfrac{3}{8}\) L de lait, soit 0,375 L.

8.2 Prendre une fraction d'une quantité

Méthode Calculer \(\dfrac{3}{4}\) de 20 €
1
On divise la quantité par le dénominateur : \(20 : 4 = 5\). Une part vaut 5 €.
2
On multiplie par le numérateur : \(5 \times 3 = 15\).
3
On fait une phrase : \(\dfrac{3}{4}\) de 20 €, c'est 15 €.
Exemple 1 (classe) : Dans une classe de 30 élèves, \(\dfrac{2}{5}\) font du football. Combien d'élèves ?

\(30 : 5 = 6\), puis \(6 \times 2 = 12\). 12 élèves font du football.

Exemple 2 (chantier) : Un carreleur doit poser 400 m² de carrelage. Il en a déjà posé \(\dfrac{3}{8}\). Quelle surface a-t-il posée ?

\(400 : 8 = 50\), puis \(50 \times 3 = 150\). Il a posé 150 m².

8.3 Diviser par une fraction

Définition L'inverse d'une fraction, c'est la fraction « retournée ».
L'inverse de \(\dfrac{2}{5}\) est \(\dfrac{5}{2}\). L'inverse de 4 (c'est-à-dire \(\dfrac{4}{1}\)) est \(\dfrac{1}{4}\).
Règle Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. \[\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}\]
Exemple (bouteilles) : Avec 6 L de jus, combien de bouteilles de \(\dfrac{3}{4}\) L peut-on remplir ?

\(6 : \dfrac{3}{4} = 6 \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{24}{3} = 8\). On peut remplir 8 bouteilles.

Vérification : \(8 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{24}{4} = 6\) L. ✓

Attention
Application

a) \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7}\)   b) \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10}\)   c) \(\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{9}\)   d) Combien de minutes font les \(\dfrac{2}{3}\) de 45 min ?

a) \(\dfrac{2 \times 3}{5 \times 7} = \) \(\dfrac{6}{35}\)
b) \(\dfrac{15}{60}\), on simplifie par 15 : \(\dfrac{1}{4}\)
c) \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12}\), on simplifie par 6 : \(\dfrac{3}{2}\)
d) \(45 : 3 = 15\), puis \(15 \times 2 = \) 30 min

9. Résoudre un problème (C7)

Méthode Résoudre un problème en 4 étapes
1
Lire l'énoncé deux fois. Souligner les nombres et la question.
2
Choisir les opérations : gain → +, perte → −, « fraction de » → ×.
3
Calculer en respectant les priorités.
4
Répondre par une phrase, avec l'unité.
Exemple 1 (argent) : Lina a 80 € sur son compte. Elle dépense \(\dfrac{1}{4}\) de cette somme pour un jeu vidéo, puis elle paie 3 places de concert à 25 € chacune. Combien reste-t-il sur son compte ?
1
Nombres : 80 €, \(\dfrac{1}{4}\) de 80 €, 3 places à 25 €.
2
Jeu : \(\dfrac{1}{4}\) de 80 = \(80 : 4 = 20\) €. Places : \(3 \times 25\).
3
\(80 - 20 - 3 \times 25 = 80 - 20 - 75 = 60 - 75 = -15\)
4
Le compte de Lina est à −15 € : elle est à découvert de 15 €.
Exemple 2 (température) : Un matin d'hiver, il fait −6 °C. L'après-midi, il fait 9 °C. Quel est l'écart de température ?

Écart = température la plus haute − température la plus basse.

\(9 - (-6) = 9 + 6 = 15\). L'écart est de 15 °C.

Attention Un résultat négatif n'est pas forcément une erreur : un compte peut être à −15 €, une température à −6 °C. Mais un nombre d'élèves ou une longueur ne peut pas être négatif : dans ce cas, vérifie ton calcul.
Application

Un maçon a 120 sacs de ciment. Il utilise \(\dfrac{3}{8}\) des sacs le lundi et \(\dfrac{1}{4}\) des sacs le mardi. Combien de sacs lui reste-t-il ?

Lundi : \(120 : 8 = 15\), \(15 \times 3 = 45\) sacs.
Mardi : \(120 : 4 = 30\) sacs.
Reste : \(120 - 45 - 30 = 45\). Il lui reste 45 sacs.
Autre méthode : \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\) utilisés, donc il reste \(\dfrac{3}{8}\) de 120, soit 45 sacs.

10. L'essentiel à retenir

À retenir :