Probabilités | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Une urne contient \(10\) boules numérotées de \(1\) à \(10\), indiscernables au toucher. On en tire une au hasard.
1. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair. (1,5 pt)
2. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de \(3\). (1,5 pt)
3. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre qui n'est pas un multiple de \(3\). (1,5 pt)
4. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair et multiple de \(3\). (1,5 pt)
1. Pairs : \(\{2,4,6,8,10\}\), donc \(P=\tfrac{5}{10}=\tfrac12\).
2. Multiples de \(3\) : \(\{3,6,9\}\), donc \(P=\tfrac{3}{10}\).
3. Évènement contraire : \(P=1-\tfrac{3}{10}=\tfrac{7}{10}\).
4. Pair et multiple de \(3\) : \(\{6\}\), donc \(P=\tfrac{1}{10}\).
Un lycée compte \(400\) élèves. \(240\) sont demi-pensionnaires (\(D\)), les autres externes (\(\overline{D}\)). Parmi les demi-pensionnaires, \(180\) pratiquent une activité sportive au club (\(S\)) ; parmi les externes, \(80\) la pratiquent. On choisit un élève au hasard.
1. Recopier et compléter le tableau croisé (\(D\)/\(\overline{D}\) × \(S\)/\(\overline{S}\)) avec tous les totaux. (2 pts)
| \(S\) | \(\overline{S}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(D\) | |||
| \(\overline{D}\) | |||
| Total |
2. Calculer \(P(S)\). (1,5 pt)
3. Calculer \(P_D(S)\) : probabilité de pratiquer le sport sachant qu'on est demi-pensionnaire. (1,5 pt)
4. Calculer \(P_S(D)\). Comparer avec \(P_D(S)\) et interpréter. (2 pts)
1.
| \(S\) | \(\overline{S}\) | Total | |
|---|---|---|---|
| \(D\) | \(180\) | \(60\) | \(240\) |
| \(\overline{D}\) | \(80\) | \(80\) | \(160\) |
| Total | \(260\) | \(140\) | \(400\) |
2. \(P(S)=\tfrac{260}{400}=0{,}65\).
3. \(P_D(S)=\dfrac{\text{Card}(D\cap S)}{\text{Card}(D)}=\dfrac{180}{240}=0{,}75\).
4. \(P_S(D)=\dfrac{\text{Card}(D\cap S)}{\text{Card}(S)}=\dfrac{180}{260}\approx 0{,}69\). Les deux valeurs sont différentes : « sportif sachant DP » et « DP sachant sportif » sont deux questions distinctes (inversion des conditionnements).
Une entreprise reçoit ses composants de deux fournisseurs. Le fournisseur A livre \(70\%\) des composants, le fournisseur B le reste. \(4\%\) des composants de A sont défectueux, contre \(10\%\) de ceux de B. On prélève un composant au hasard.
1. Construire l'arbre pondéré de la situation (deux étapes : fournisseur puis état). (2 pts)
À compléter : nommer les événements sur les branches et y porter les probabilités.
2. Calculer la probabilité que le composant vienne de A et soit défectueux. (1,5 pt)
3. Calculer la probabilité \(P(D)\) que le composant soit défectueux. (2 pts)
4. Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il vienne de B ? (1,5 pt)
1. 1re étape : A \((0{,}7)\) / B \((0{,}3)\). 2e étape depuis A : \(D\ (0{,}04)\) / \(\overline{D}\ (0{,}96)\) ; depuis B : \(D\ (0{,}10)\) / \(\overline{D}\ (0{,}90)\). Les branches de chaque nœud somment bien à \(1\).
2. \(P(A\cap D)=0{,}7\times0{,}04=0{,}028\).
3. Deux chemins mènent à \(D\) : \(P(D)=0{,}7\times0{,}04+0{,}3\times0{,}10=0{,}028+0{,}030=0{,}058\).
4. \(P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}030}{0{,}058}\approx 0{,}517\), soit environ \(52\%\).