Devoir Surveillé – Chapitre 10

Statistiques descriptives | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : moyenne pondérée \(\bar{x} = \dfrac{1}{N}\sum n_i x_i\) ; variance \(V = \dfrac{1}{N}\sum n_i(x_i-\bar{x})^2\) ; écart type \(\sigma = \sqrt{V}\) ; transformation affine \(y=ax+b\) : \(\bar{y}=a\bar{x}+b\), \(\sigma_y=|a|\,\sigma_x\) ; série en classes : moyenne par les centres, classe médiane par les effectifs cumulés.

Exercice 1 — Indicateurs d'une série de notes (8 points)

Les notes obtenues par \(20\) élèves à un devoir sont réparties ainsi :

Note	\(8\)	\(11\)	\(14\)	\(17\)
Effectif	\(5\)	\(6\)	\(5\)	\(4\)

1. Calculer la moyenne de la série. (2 pts)

2. Déterminer la médiane. (2 pts)

3. Donner l'étendue de la série. (1 pt)

4. Calculer la fréquence, puis le pourcentage d'élèves ayant obtenu \(14\) ou plus. (3 pts)

1. \(\bar{x} = \dfrac{5\times 8 + 6\times 11 + 5\times 14 + 4\times 17}{20} = \dfrac{40+66+70+68}{20} = \dfrac{244}{20} = 12{,}2\).

2. \(N=20\) (pair) : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs \(10\) et \(11\). Les \(5\) premiers valent \(8\), puis \(6\) valent \(11\) (rangs \(6\) à \(11\)) : les rangs \(10\) et \(11\) valent \(11\), donc \(\text{Me} = 11\).

3. Étendue \(= 17 - 8 = 9\).

4. Élèves à \(14\) ou plus : \(5 + 4 = 9\). Fréquence \(= \dfrac{9}{20} = 0{,}45\), soit \(45\%\).

Exercice 2 — Écart type et transformation affine (6 points)

On considère la série \(2,\ 5,\ 5,\ 8\).

1. Calculer la moyenne \(\bar{x}\). (1 pt)

2. Calculer la variance, puis l'écart type \(\sigma\) (arrondi au centième). (3 pts)

3. On applique la transformation \(y = 3x + 4\) à chaque valeur. Sans recalculer la série, donner \(\bar{y}\) et \(\sigma_y\). (2 pts)

1. \(\bar{x} = \dfrac{2+5+5+8}{4} = \dfrac{20}{4} = 5\).

2. Carrés des écarts : \((2-5)^2 = 9\) ; \((5-5)^2 = 0\) ; \((5-5)^2 = 0\) ; \((8-5)^2 = 9\). Variance : \(V = \dfrac{9+0+0+9}{4} = 4{,}5\). Écart type : \(\sigma = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12\).

3. \(\bar{y} = 3\bar{x} + 4 = 3\times 5 + 4 = 19\) et \(\sigma_y = |3|\,\sigma_x = 3 \times 2{,}12 \approx 6{,}36\).

Exercice 3 — Série regroupée en classes (6 points)

Les tailles (en cm) de \(40\) plants sont réparties en classes :

Classe (cm)	\([10\,;20[\)	\([20\,;30[\)	\([30\,;40[\)	\([40\,;50[\)
Effectif	\(7\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)

1. Donner le centre de chaque classe et dresser les effectifs cumulés. (2 pts)

2. Calculer la moyenne (centres de classes). (2 pts)

3. Déterminer la classe médiane, puis estimer la médiane (répartition uniforme). (2 pts)

1. Centres : \(15,\ 25,\ 35,\ 45\). Effectifs cumulés : \(7,\ 20,\ 32,\ 40\).

2. \(\bar{x} \approx \dfrac{7\times 15 + 13\times 25 + 12\times 35 + 8\times 45}{40} = \dfrac{105+325+420+360}{40} = \dfrac{1210}{40} = 30{,}25\) cm.

3. \(\dfrac{N}{2} = 20\) : l'effectif cumulé atteint \(20\) à la fin de \([20\,;30[\), qui est la classe médiane. Avec \(a = 20\), \(b = 30\), \(E_a = 7\), \(n = 13\) : \(\text{Me} \approx 20 + \dfrac{20 - 7}{13}\times 10 = 20 + \dfrac{13}{13}\times 10 = 30\) cm.