Variations et fonctions de référence | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Une fonction \(f\) définie sur \([-5\,;6]\) est croissante sur \([-5\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;3]\), puis croissante sur \([3\,;6]\). On donne \(f(-5)=0\), \(f(-1)=7\), \(f(3)=-2\), \(f(6)=4\).
1. Décrire les variations de \(f\) par des flèches (↗ / ↘) sur chaque intervalle. (2 pts)
2. Donner tous les extrémums locaux visibles (maximums et minimums) et où ils sont atteints. (2 pts)
3. Donner le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-5\,;6]\). (2 pts)
4. Comparer \(f(0)\) et \(f(2)\) sans calcul. (1 pt)
1. ↗ sur \([-5\,;-1]\), ↘ sur \([-1\,;3]\), ↗ sur \([3\,;6]\).
2. Maximum local \(7\) en \(x=-1\) (« ↗ puis ↘ ») ; minimum local \(-2\) en \(x=3\) (« ↘ puis ↗ »).
3. Maximum sur \([-5\,;6]\) : \(\max(7\,;4)=7\), en \(x=-1\). Minimum : \(\min(0\,;-2)=-2\), en \(x=3\).
4. Sur \([-1\,;3]\), \(f\) est décroissante et \(0 \lt 2\), donc \(f(0) \geqslant f(2)\).
1. Soit \(f(x)=-3x+9\). Préciser son sens de variation, la valeur où elle s'annule, et son signe. (3 pts)
2. Sans calculatrice, comparer en justifiant par une fonction de référence : (3 pts)
a) \(\sqrt{50}\) et \(\sqrt{45}\) b) \(\dfrac{1}{12}\) et \(\dfrac{1}{7}\) c) \((-6)^2\) et \((-9)^2\)
3. Pour \(x \geqslant 0\), comparer \(x^2\) et \(x\) lorsque \(x=0{,}8\), puis lorsque \(x=4\). (1 pt)
1. \(m=-3 \lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante. Elle s'annule en \(x_0=\dfrac{9}{3}=3\) ; \(f(x) \gt 0\) pour \(x \lt 3\), \(f(x) \lt 0\) pour \(x \gt 3\).
2. a) racine croissante, \(45 \lt 50\) : \(\sqrt{45} \lt \sqrt{50}\). b) inverse décroissant sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), \(7 \lt 12\) : \(\dfrac{1}{7} \gt \dfrac{1}{12}\). c) carré décroissant sur les négatifs, \(-9 \lt -6\) : \((-9)^2 \gt (-6)^2\).
3. \(x=0{,}8 \in [0\,;1]\) : \(x^2=0{,}64 \lt 0{,}8=x\). \(x=4 \geqslant 1\) : \(x^2=16 \gt 4=x\).
1. Soit \(f(x)=x^2-2x\). Pour \(a \lt b\), montrer que \(f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-2)\), puis en déduire que \(f\) est croissante sur \(\left[1\,;+\infty\right[\). (3 pts)
2. On dispose de \(30\) m de clôture pour un enclos rectangulaire de dimensions \(x\) et \(y\). Montrer que l'aire vaut \(A(x)=x(15-x)\), puis déterminer les dimensions qui maximisent l'aire et cette aire maximale. (3 pts)
1. \(f(b)-f(a)=(b^2-a^2)-2(b-a)=(b-a)(b+a)-2(b-a)=(b-a)(b+a-2)\). Pour \(1 \leqslant a \lt b\) : \(b-a \gt 0\) et \(a+b-2 \geqslant 1+1-2=0\) (et \(\gt 0\) dès que \(a\) ou \(b \gt 1\)). Produit positif : \(f(a) \lt f(b)\), donc \(f\) est croissante sur \(\left[1\,;+\infty\right[\).
2. \(2(x+y)=30\) donne \(y=15-x\) (\(0 \lt x \lt 15\)), donc \(A(x)=x(15-x)\). Le sommet de la parabole (tournée vers le bas) est au milieu des racines \(0\) et \(15\), en \(x=7{,}5\). Alors \(y=7{,}5\) et \(A(7{,}5)=7{,}5\times 7{,}5=56{,}25\). Aire maximale \(56{,}25\) m² pour un carré de côté \(7{,}5\) m.