Devoir Surveillé – Chapitre 8

Fonctions : généralités | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : image de \(a\) = \(f(a)\) ; antécédents de \(k\) : résoudre \(f(x)=k\) ; \(M(x\,;\,y)\in\mathcal{C}_f \iff y=f(x)\) ; \(x^2=k\) a deux solutions si \(k\gt 0\), une si \(k=0\), aucune si \(k\lt 0\) ; \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Exercice 1 — Images, antécédents, domaine (7 points)

Soit \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).

1. Calculer les images de \(0\) et de \(4\). (2 pts)

2. Déterminer les antécédents de \(3\). (2 pts)

3. Le point \(A(2\,;\,-1)\) appartient-il à \(\mathcal{C}_f\) ? Justifier. (1,5 pt)

4. Déterminer l'ensemble de définition de \(g(x) = \dfrac{1}{x-3}\). (1,5 pt)

1. \(f(0) = 3\) ; \(f(4) = 16 - 16 + 3 = 3\).

2. \(x^2 - 4x + 3 = 3 \iff x^2 - 4x = 0 \iff x(x-4) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 4\).

3. \(f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 = y_A\) : donc \(A \in \mathcal{C}_f\).

4. Il faut \(x - 3 \neq 0\), donc \(D_g = \left]-\infty\,;\,3\right[ \cup \left]3\,;\,+\infty\right[\).

Exercice 2 — Lecture graphique (6 points)

La courbe \(\mathcal{C}_f\) ci-dessous représente une fonction \(f\).

1. Lire l'image de \(0\) par \(f\). (1,5 pt)

2. Résoudre graphiquement \(f(x) = 3\). (2,5 pts)

3. Combien \(-2\) admet-il d'antécédents par \(f\) ? Justifier à partir du graphique. (2 pts)

1. Le point d'abscisse \(0\) a pour ordonnée \(-1\) : \(f(0) = -1\).

2. La droite \(y = 3\) (en rouge) coupe la courbe en deux points d'abscisses \(-2\) et \(4\) : \(S = \{-2\,;\,4\}\).

3. La valeur minimale de \(f\) lue sur la courbe est \(-1\) ; comme \(-2 \lt -1\), la droite \(y = -2\) ne rencontre jamais la courbe : \(-2\) n'a aucun antécédent.

Exercice 3 — Tableau de signes (7 points)

On considère \(f(x) = (x+2)(4-2x)\).

1. Résoudre \(f(x) = 0\). (2 pts)

2. Dresser le tableau de signes de \(f(x)\). (3 pts)

\(x\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(x+2\)
\(4-2x\)
\(f(x)\)

3. En déduire l'ensemble des solutions de \(f(x) \gt 0\). (2 pts)

1. \(f(x) = 0 \iff x + 2 = 0\) ou \(4 - 2x = 0\), donc \(x = -2\) ou \(x = 2\). \(S = \{-2\,;\,2\}\).

2. \(x+2\) : croissant, \(-\) avant \(-2\), \(+\) après. \(4-2x\) : décroissant, \(+\) avant \(2\), \(-\) après.

\(x\)	\(-\infty\)	\(-2\)	\(2\)	\(+\infty\)
\(x+2\)	\(-\)	\(0\ +\)	\(+\)	\(+\)
\(4-2x\)	\(+\)	\(+\)	\(0\ -\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(-\)	\(0\ +\)	\(0\ -\)	\(-\)

3. \(f(x) \gt 0\) sur \(S = \left]-2\,;\,2\right[\) (bornes exclues, inégalité stricte).