Devoir Surveillé – Chapitre 7

Géométrie repérée et droites du plan | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\) ; \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) ; cartésienne \(ax+by+c=0\) → \(\vec{u}(-b\,;a)\) ; réduite \(y=mx+p\) ; pente \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) ; parallèles \(\iff m=m'\) ; alignés \(\iff \det=0\).

Exercice 1 — Repère : milieu, distance, alignement (7 points)

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-3\,;1)\), \(B(5\,;7)\) et \(C(1\,;4)\).

1. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\). (2 pts)

2. Calculer la distance \(AB\). (2 pts)

3. Les points \(A\), \(C\) et \(B\) sont-ils alignés ? Justifier à l'aide du déterminant. (3 pts)

1. \(I\!\left(\dfrac{-3+5}{2}\,;\dfrac{1+7}{2}\right)=I(1\,;4)\).

2. \(AB=\sqrt{(5-(-3))^2+(7-1)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\).

3. \(\overrightarrow{AC}(4\,;3)\) et \(\overrightarrow{AB}(8\,;6)\). \(\det(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=4\times 6 - 8\times 3 = 24 - 24 = 0\). Le déterminant est nul : les points sont alignés (\(C\) est même le milieu de \([AB]\)).

Exercice 2 — Équations de droites (7 points)

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d_1\) passant par \(A(1\,;3)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;-1)\). (2,5 pts)

2. Déterminer l'équation réduite de la droite \(d_2\) passant par \(P(0\,;-2)\) et \(Q(3\,;4)\). (2,5 pts)

3. On donne \(d_3 : 3x + y - 5 = 0\). Donner un vecteur directeur de \(d_3\) et sa pente. (2 pts)

1. \(M(x\,;y)\in d_1 \iff \det(\overrightarrow{AM},\vec{u})=0\) : \((x-1)\times(-1) - (y-3)\times 2 = 0\), soit \(-x+1-2y+6=0\), d'où \(x + 2y - 7 = 0\).

2. \(m=\dfrac{4-(-2)}{3-0}=\dfrac{6}{3}=2\) ; \(p=-2\) (ordonnée quand \(x=0\)). Donc \(d_2 : y = 2x - 2\).

3. \(a=3\), \(b=1\) : \(\vec{u}(-b\,;a)=\vec{u}(-1\,;3)\). Pente \(m=-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{3}{1}=-3\).

Exercice 3 — Parallélisme et intersection (6 points)

On considère les droites \(d : y = 2x - 1\), \(d' : y = 2x + 3\) et \(\delta : y = -x + 5\).

1. Les droites \(d\) et \(d'\) sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier. (2 pts)

2. Déterminer le point d'intersection de \(d\) et \(\delta\). (3 pts)

3. Vérifier que le point trouvé appartient bien à \(d\). (1 pt)

1. \(d\) et \(d'\) ont la même pente \(m = m' = 2\), mais \(p = -1 \neq 3 = p'\). Elles sont strictement parallèles.

2. On résout \(2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2\), puis \(y = 2\times 2 - 1 = 3\). Intersection : \(M(2\,;3)\).

3. Dans \(d\) : \(y = 2\times 2 - 1 = 3\). On retrouve bien \(y = 3\), donc \(M(2\,;3)\) appartient à \(d\). ✓