Devoir Surveillé – Chapitre 6

Vecteurs et problèmes de géométrie | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; colinéarité \(\iff \det(\vec{u},\vec{v})=xy'-x'y=0\) ; milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).

Exercice 1 — Coordonnées, norme, milieu (7 points)

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-2\,;1)\) et \(B(4\,;9)\).

1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\). (1,5 pt)

2. Calculer la distance \(AB\). (2 pts)

3. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\). (2 pts)

4. Le vecteur \(\vec{u}(3\,;4)\) et le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont-ils colinéaires ? (1,5 pt)

1. \(\overrightarrow{AB}\big(4-(-2)\,;\,9-1\big) = \overrightarrow{AB}(6\,;8)\).

2. \(AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\).

3. \(I\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\,\dfrac{1+9}{2}\right) = I(1\,;5)\).

4. \(\det(\vec{u},\overrightarrow{AB}) = 3\times 8 - 6\times 4 = 24 - 24 = 0\) : les vecteurs sont colinéaires (on a d'ailleurs \(\overrightarrow{AB} = 2\vec{u}\)).

Exercice 2 — Alignement et parallélisme (7 points)

On considère \(A(1\,;-1)\), \(B(4\,;5)\), \(C(6\,;9)\), \(D(0\,;-2)\), \(E(3\,;4)\).

1. Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ? Justifier par un calcul de déterminant. (3 pts)

2. Montrer que les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont parallèles. (2,5 pts)

3. Calculer les coordonnées de \(2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DE}\). (1,5 pt)

1. \(\overrightarrow{AB}(3\,;6)\), \(\overrightarrow{AC}(5\,;10)\). \(\det = 3\times 10 - 5\times 6 = 30 - 30 = 0\) : les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

2. \(\overrightarrow{AB}(3\,;6)\), \(\overrightarrow{DE}\big(3-0\,;\,4-(-2)\big) = \overrightarrow{DE}(3\,;6)\). \(\det = 3\times 6 - 3\times 6 = 0\) : les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont parallèles (ici \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DE}\)).

3. \(2\overrightarrow{AB}(6\,;12)\), \(\overrightarrow{DE}(3\,;6)\), donc \(2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DE}(6-3\,;12-6) = (3\,;6)\).

Exercice 3 — Problème : nature d'un quadrilatère (6 points)

On donne \(A(-1\,;0)\), \(B(2\,;1)\), \(C(3\,;4)\), \(D(0\,;3)\), placés ci-dessous.

Le quadrilatère \(ABCD\).

1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{DC}\). En déduire que \(ABCD\) est un parallélogramme. (3 pts)

2. Calculer les longueurs \(AB\) et \(AD\). Le parallélogramme \(ABCD\) est-il un losange ? (3 pts)

1. \(\overrightarrow{AB}\big(2-(-1)\,;\,1-0\big) = \overrightarrow{AB}(3\,;1)\). \(\overrightarrow{DC}\big(3-0\,;\,4-3\big) = \overrightarrow{DC}(3\,;1)\). Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

2. \(AB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\). \(\overrightarrow{AD}\big(0-(-1)\,;\,3-0\big) = \overrightarrow{AD}(1\,;3)\), donc \(AD = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\). Deux côtés consécutifs sont égaux (\(AB = AD = \sqrt{10}\)) : le parallélogramme \(ABCD\) est un losange.