Devoir Surveillé – Chapitre 5

Équations et inéquations | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 18:15

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(ax + b = 0\) (\(a \neq 0\)) a pour solution \(x = -\dfrac{b}{a}\) ; on inverse le sens d'une inégalité en divisant par un négatif ; produit nul : \(AB = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\) ; \(x^2 = a\) a deux, une ou zéro solution selon le signe de \(a\).

Exercice 1 — Équations et inéquations du premier degré (7 points)

1. Résoudre \(6x - 5 = 2x + 7\). (2 pts)

2. Résoudre \(3(x - 2) = 5 - (x + 1)\). (2 pts)

3. Résoudre l'inéquation \(7 - 4x \geqslant x + 2\) et donner \(S\) sous forme d'intervalle. (3 pts)

1. \(6x - 2x = 7 + 5 \iff 4x = 12 \iff x = 3\). \(S = \{3\}\).

2. \(3x - 6 = 5 - x - 1 \iff 3x - 6 = 4 - x \iff 4x = 10 \iff x = \tfrac{5}{2}\). \(S = \left\{\tfrac{5}{2}\right\}\).

3. \(7 - 4x \geqslant x + 2 \iff -5x \geqslant -5 \iff x \leqslant 1\) (division par \(-5\), sens inversé). \(S = \left]-\infty\,;\,1\right]\).

Exercice 2 — Produit nul, \(x^2 = a\) et tableau de signes (7 points)

1. Résoudre \((2x + 4)(3 - x) = 0\). (2 pts)

2. Résoudre \(2x^2 - 32 = 0\). (2 pts)

3. On pose \(P(x) = (x + 1)(x - 3)\). Dresser le tableau de signes de \(P(x)\), puis résoudre \(P(x) \lt 0\). (3 pts)

\(x\)	\(-\infty\)			\(+\infty\)
\(P(x)\)

1. \(2x + 4 = 0\) ou \(3 - x = 0\), soit \(x = -2\) ou \(x = 3\). \(S = \{-2\,;\,3\}\).

2. \(2x^2 = 32 \iff x^2 = 16\), et \(16 \gt 0\), donc \(S = \{-4\,;\,4\}\).

3. \(P\) s'annule en \(-1\) et \(3\). Le facteur \(x+1\) est \(-\) avant \(-1\) puis \(+\) ; le facteur \(x-3\) est \(-\) avant \(3\) puis \(+\). Ainsi \(P(x)\) est \(+\) sur \(\left]-\infty\,;\,-1\right[\), \(-\) sur \(\left]-1\,;\,3\right[\), \(+\) sur \(\left]3\,;\,+\infty\right[\). Donc \(P(x) \lt 0\) sur \(\left]-1\,;\,3\right[\).

Exercice 3 — Équation quotient et mise en équation (6 points)

1. Résoudre \(\dfrac{3x - 2}{x + 1} = 2\) en précisant la valeur interdite. (3 pts)

2. Un club de sport propose deux formules : la formule A coûte \(120\) € par an sans supplément ; la formule B coûte \(40\) € par an plus \(4\) € par séance. En notant \(n\) le nombre de séances, déterminer à partir de combien de séances la formule A devient plus avantageuse que la formule B. (3 pts)

1. Valeur interdite : \(x = -1\). Pour \(x \neq -1\) : \(3x - 2 = 2(x + 1) \iff 3x - 2 = 2x + 2 \iff x = 4\). Comme \(4 \neq -1\), \(S = \{4\}\).

2. La formule A est plus avantageuse quand son coût est inférieur à celui de B : \(120 \lt 40 + 4n \iff 80 \lt 4n \iff n \gt 20\). La formule A devient plus avantageuse à partir de \(21\) séances.