Devoir Surveillé – Chapitre 4

Calcul numérique et algébrique | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) ; \(\sqrt{a^2}=|a|\), \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\) ; \((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\), \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) ; comparer par différence ou par quotient.

Exercice 1 — Puissances et racines (7 points)

1. Simplifier \(A = \dfrac{4^{3} \times 4^{-5}}{4^{-3}}\) sous forme d'une puissance de \(4\), puis d'une fraction. (2 pts)

2. Écrire \(0{,}00048\) en notation scientifique. (1,5 pt)

3. Écrire \(B = \sqrt{12} + \sqrt{27}\) sous la forme \(k\sqrt{3}\). (2 pts)

4. Calculer \(\sqrt{(-6)^2}\) et expliquer pourquoi \(\sqrt{a^2}=a\) est faux en général. (1,5 pt)

1. \(A = 4^{\,3 - 5 + 3} = 4^{1} = 4\).

2. \(0{,}00048 = 4{,}8 \times 10^{-4}\).

3. \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), donc \(B = 5\sqrt{3}\).

4. \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6 = |-6|\). L'égalité \(\sqrt{a^2}=a\) est fausse si \(a\lt 0\) (ici \(a=-6\) donne \(6\neq -6\)) ; la formule correcte est \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Exercice 2 — Développer, factoriser (7 points)

1. Développer et réduire \(D = (3x - 2)^2 - (x - 4)(x + 4)\). (3 pts)

2. Factoriser \(F = 25x^2 - 16\). (2 pts)

3. Factoriser \(G = 10x^2 - 15x\). (2 pts)

1. \((3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4\) et \((x-4)(x+4) = x^2 - 16\), d'où \(D = 9x^2 - 12x + 4 - (x^2 - 16) = 8x^2 - 12x + 20\).

2. \(F = (5x)^2 - 4^2 = (5x - 4)(5x + 4)\).

3. Facteur commun \(5x\) : \(G = 5x(2x - 3)\).

Exercice 3 — Comparaison et application numérique (6 points)

1. Comparer \(A = \dfrac{5}{6}\) et \(B = \dfrac{7}{9}\) en étudiant le signe de \(A - B\). (2 pts)

2. Un loyer passe de \(600\) € à \(660\) €. Donner la variation additive (en €) et la variation multiplicative (en %). (2 pts)

3. Un aquarium a la forme d'un pavé droit de dimensions \(0{,}8\ \text{m} \times 0{,}4\ \text{m} \times 0{,}5\ \text{m}\). Calculer son volume en \(\text{m}^3\), puis en litres. (2 pts)

1. \(A - B = \dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{9} = \dfrac{15}{18} - \dfrac{14}{18} = \dfrac{1}{18} \gt 0\), donc \(A \gt B\).

2. Différence : \(660 - 600 = 60\) €. Quotient : \(\dfrac{660}{600} = 1{,}1\), soit une hausse de 10 %.

3. \(V = 0{,}8 \times 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}16\ \text{m}^3\). Comme \(1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}\), \(V = 160\ \text{L}\).