Devoir Surveillé – Chapitre 3

Arithmétique | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(a\) multiple de \(b\) \(\iff\) il existe un entier \(k\) tel que \(a=kb\) \(\iff\) \(b\) divise \(a\) ; pair : \(n=2k\), impair : \(n=2k+1\) ; une fraction est irréductible quand haut et bas n'ont plus de diviseur commun autre que \(1\).

Exercice 1 — Multiples, diviseurs, parité (8 points)

1. Compléter par « multiple » ou « diviseur » : (a) \(63\) est un … de \(9\) ; (b) \(9\) est un … de \(63\). (1,5 pt)

2. Donner tous les diviseurs de \(40\) dans \(\mathbb{N}\). (2 pts)

3. Indiquer si chaque entier est pair ou impair, en l'écrivant \(2k\) ou \(2k+1\) : \(\;-12\) ; \(\;33\). (2 pts)

4. Rendre irréductible la fraction \(\dfrac{56}{98}\) en indiquant les divisions successives. (2,5 pts)

1. (a) multiple ; (b) diviseur.

2. Diviseurs de \(40\) : \(1,\,2,\,4,\,5,\,8,\,10,\,20,\,40\).

3. \(-12 = 2\times(-6)\) pair ; \(33 = 2\times16+1\) impair.

4. \(\dfrac{56}{98} = \dfrac{28}{49} = \dfrac{4}{7}\) (division par \(2\), puis par \(7\)). \(\dfrac{4}{7}\) est irréductible.

Exercice 2 — Démonstrations (7 points)

1. Démontrer que la somme de deux multiples de \(3\) est un multiple de \(3\). (3 pts)

2. Démontrer que si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair. (On posera \(n = 2k+1\).) (4 pts)

1. Soit \(M = 3k\) et \(N = 3k'\) avec \(k,k'\) entiers. Alors \(M+N = 3k+3k' = 3(k+k')\). Comme \(k+k'\) est entier, \(M+N\) est un multiple de \(3\).

2. Supposons \(n\) impair : \(n = 2k+1\) pour un certain entier \(k\). Alors \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1\). Le nombre \(n^2\) s'écrit \(2\times(\text{entier})+1\) : il est impair.

Exercice 3 — Problème : atelier de découpe (5 points)

Un menuisier dispose de \(72\) tasseaux de chêne et \(48\) tasseaux de hêtre. Il veut préparer des lots identiques utilisant tous les tasseaux (même nombre de chêne et même nombre de hêtre par lot).

1. Quelle condition le nombre de lots doit-il vérifier ? (1 pt)

2. Donner tous les nombres de lots possibles. (2 pts)

3. Il veut le plus grand nombre de lots. Combien en prépare-t-il ? Combien de tasseaux de chaque bois chaque lot contient-il ? (2 pts)

1. Le nombre de lots doit être un diviseur commun de \(72\) et \(48\).

2. Diviseurs de \(72\) : \(1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\) ; diviseurs de \(48\) : \(1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\). Diviseurs communs : \(1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12,\,24\).

3. Le plus grand est \(24\) lots. Chaque lot contient alors \(72 \div 24 = 3\) tasseaux de chêne et \(48 \div 24 = 2\) tasseaux de hêtre.