Devoir Surveillé – Chapitre 2

Nombres réels et intervalles | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 18:05

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \([a,b]\) inclut ses bornes, \(\left]a,b\right[\) les exclut ; côté \(\infty\), crochet ouvert. \(|a|\) = distance de \(a\) à \(0\), \(d(a,b)=|b-a|\). \(|x-a|\leqslant r \iff x\in[a-r,\,a+r]\). \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).

Exercice 1 — Intervalles et appartenance (7 points)

1. Traduire par des inégalités les intervalles \([-2,\,4[\) et \(\left]-\infty,\,1\right]\). (2 pts)

2. Dire, en justifiant, si \(-2\), \(0\) et \(4\) appartiennent à \([-2,\,4[\). (2 pts)

3. Déterminer \([-2,\,4[\,\cap\,\left]0,\,6\right]\) et \([-2,\,4[\,\cup\,\left]0,\,6\right]\). (2 pts)

4. L'ensemble \([-2,\,4[\,\cup\,\left]0,\,6\right]\) est-il un intervalle ? Justifier. (1 pt)

1. \([-2,\,4[\) : \(-2\leqslant x\lt 4\). \(\left]-\infty,\,1\right]\) : \(x\leqslant 1\).

2. \(-2\in\) (borne incluse) ; \(0\in\) (car \(-2\leqslant 0\lt 4\)) ; \(4\notin\) (borne exclue).

3. \(\cap=\left]0,\,4\right[\) (les réels communs). \(\cup=[-2,\,6]\) (les deux morceaux se recouvrent).

4. Oui : les deux intervalles se chevauchent, la réunion est « d'un seul tenant » \([-2,\,6]\).

Exercice 2 — Valeur absolue et inéquations (7 points)

1. Calculer \(|-9|\), \(\;|4-10|\), et la distance entre \(-3\) et \(5\). (2 pts)

2. Résoudre \(|x-3|\leqslant 2\) et représenter les solutions sur une droite. (2 pts)

3. Résoudre \(|x+1|\leqslant 4\). (1,5 pt)

4. Écrire l'intervalle \([-3,\,7]\) sous la forme \(|x-a|\leqslant r\). (1,5 pt)

1. \(|-9|=9\) ; \(|4-10|=|-6|=6\) ; \(d(-3,5)=|5-(-3)|=|8|=8\).

2. Centre \(3\), rayon \(2\) : \([3-2,\,3+2]=[1,\,5]\). (Segment plein de \(1\) à \(5\), crochets fermés.)

3. \(|x-(-1)|\leqslant 4\) : centre \(-1\), rayon \(4\) : \([-5,\,3]\).

4. Centre \(a=\tfrac{-3+7}{2}=2\), rayon \(r=\tfrac{7-(-3)}{2}=5\) : \(|x-2|\leqslant 5\).

Exercice 3 — Ensembles de nombres et encadrement (6 points)

1. Pour chacun de \(-5\), \(\;\dfrac{1}{4}\), \(\;\dfrac{2}{3}\), \(\;\sqrt{3}\), donner le plus petit ensemble (\(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) ou « irrationnel ») auquel il appartient. (2 pts)

2. Donner un encadrement de \(\sqrt{3}\) à \(10^{-1}\) près, en testant des carrés. (2 pts)

3. On admet le rappel « si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair ». Rédiger la démonstration par l'absurde du fait que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. (2 pts)

1. \(-5\in\mathbb{Z}\) ; \(\dfrac{1}{4}=0{,}25\in\mathbb{D}\) ; \(\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}\) (rationnel non décimal) ; \(\sqrt{3}\) irrationnel.

2. \(1{,}7^2=2{,}89\lt 3\) et \(1{,}8^2=3{,}24\gt 3\), donc \(1{,}7\leqslant\sqrt{3}\lt 1{,}8\).

3. Supposons \(\sqrt{2}\) rationnel, écrit \(\sqrt{2}=\tfrac{p}{q}\) fraction irréductible. En élevant au carré : \(p^2=2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p=2k\). Alors \(4k^2=2q^2\), soit \(q^2=2k^2\), donc \(q^2\) pair et \(q\) pair. \(p\) et \(q\) seraient tous deux pairs : contradiction avec l'irréductibilité. Donc \(\sqrt{2}\) est irrationnel.