Devoir Surveillé – Chapitre 1

Vocabulaire ensembliste et logique | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(x\in A\cup B\) : \(x\in A\) ou \(x\in B\) ; \(x\in A\cap B\) : \(x\in A\) et \(x\in B\) ; \(x\in\overline{A}\) : \(x\in E\) et \(x\notin A\) ; négation (De Morgan) : « et » \(\leftrightarrow\) « ou », négation de \(\gt\) est \(\leqslant\).

Exercice 1 — Vocabulaire des ensembles (7 points)

On pose \(E = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), \(A = \{1,2,4,5,10\}\) et \(B = \{2,3,5,7\}\).

1. Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) : \(5 \;\square\; A\) ; \(7 \;\square\; A\) ; \(10 \;\square\; B\). (1,5 pt)

2. Déterminer \(A\cap B\) et \(A\cup B\). (2 pts)

3. Déterminer \(\overline{A}\) (complémentaire dans \(E\)). (1,5 pt)

4. Calculer \(\text{Card}(A\cup B)\) et le vérifier avec la formule du cours. (2 pts)

1. \(5 \in A\) ; \(7 \notin A\) ; \(10 \notin B\).

2. \(A\cap B=\{2,5\}\) ; \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,10\}\).

3. \(\overline{A}=\{3,6,7,8,9\}\).

4. \(\text{Card}(A\cup B)=7\). Vérification : \(\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)=5+4-2=7\). ✓

Exercice 2 — Logique et négation (7 points)

1. Écrire la négation de « \(x \geqslant 0\) et \(x \lt 4\) ». (2 pts)

2. Donner un contre-exemple pour réfuter : « pour tout réel \(x\), \(x^2 \geqslant x\) ». (2 pts)

3. On considère l'implication : « si \(n\) est un multiple de \(10\), alors \(n\) est un multiple de \(5\) ».

a) Énoncer sa réciproque et dire si elle est vraie. (1,5 pt)
b) Énoncer sa contraposée. (1,5 pt)

1. « \(x \lt 0\) ou \(x \geqslant 4\) » (De Morgan : « et » devient « ou », et on nie chaque inégalité).

2. Prendre \(x=0{,}5\) : \(x^2=0{,}25 \lt 0{,}5\). L'énoncé est faux. (Tout \(x\) avec \(0\lt x\lt 1\) convient.)

3. a) Réciproque : « si \(n\) est multiple de \(5\), alors \(n\) est multiple de \(10\) » — fausse (\(15\) est multiple de \(5\) mais pas de \(10\)).

b) Contraposée : « si \(n\) n'est pas un multiple de \(5\), alors \(n\) n'est pas un multiple de \(10\) » (elle est vraie, comme l'implication de départ).

Exercice 3 — Produit cartésien et raisonnement (6 points)

1. On pose \(A = \{1,\,2,\,3\}\) et \(B = \{a,\,b\}\). Écrire tous les éléments de \(A\times B\) et donner \(\text{Card}(A\times B)\). (3 pts)

2. Démontrer par disjonction des cas que, pour tout entier \(n\), le nombre \(n^2 + n\) est pair. (3 pts)

1. \(A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}\). \(\text{Card}(A\times B)=3\times 2=6\).

2. On écrit \(n^2+n=n(n+1)\).

— Si \(n\) est pair : \(n\) est multiple de \(2\), donc \(n(n+1)\) l'est aussi.

— Si \(n\) est impair : \(n+1\) est pair, donc \(n(n+1)\) est multiple de \(2\).

Dans tous les cas, \(n^2+n\) est pair.