Devoir Surveillé – Chapitre 8

Activités géométriques (STD2A) | Première technologique — série STD2A | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : polygone régulier — angle au centre \(\frac{360^\circ}{n}\), angle intérieur \(180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\), \(P=n\,a\), \(\mathcal{A}=\frac{P\,r}{2}\), hexagone \(\frac{3\sqrt3}{2}a^2\) ; cavalière — fuyantes \(\times k\), cercle en oblique → ellipse ; espace — \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).

Exercice 1 — Polygones réguliers et motif (7 points)

Une créatrice conçoit un carreau hexagonal régulier de côté \(a=6\ \text{cm}\), décoré par un motif répété.

1. Donner l'angle au centre et l'angle intérieur de l'hexagone. (2 pts)

2. Calculer le périmètre du carreau. (1,5 pt)

3. Calculer son aire (valeur exacte puis arrondie au \(\text{cm}^2\)). (2 pts)

4. Le motif décoratif est obtenu en répétant une « part de gâteau » par rotations autour du centre. Quel angle de rotation et combien de fois ? (1,5 pt)

1. Angle au centre : \(\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ\) ; angle intérieur : \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). (2 pts)

2. \(P=6\times6=36\ \text{cm}\). (1,5 pt)

3. \(\mathcal{A}=\dfrac{3\sqrt3}{2}\times 6^2=54\sqrt3\approx 93\ \text{cm}^2\). (2 pts)

4. Rotation de \(60^\circ\), appliquée 6 fois (un tour complet). (1,5 pt)

Exercice 2 — Espace, cavalière et cercle (7 points)

Un objet est modélisé dans un repère orthonormal. Deux sommets sont \(A(1\,;2\,;2)\) et \(B(4\,;6\,;14)\) (en cm).

1. Calculer la distance \(AB\). (2 pts)

2. L'objet est un cube d'arête \(8\ \text{cm}\) dessiné en perspective cavalière (\(k=0{,}5\)). Quelle est la longueur, sur le dessin, des arêtes fuyantes ? Des arêtes frontales ? (2 pts)

3. Citer deux propriétés conservées et une propriété non conservée par la perspective cavalière. (2 pts)

4. On grave un cercle sur une face vue en oblique. Quelle courbe obtient-on sur le dessin ? (1 pt)

1. \(AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(14-2)^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\ \text{cm}\). (2 pts)

2. Fuyantes : \(8\times0{,}5=4\ \text{cm}\) ; frontales : \(8\ \text{cm}\) (vraie grandeur). (2 pts)

3. Conservées (au choix) : parallélisme, milieux, contacts/tangences, rapports sur une même direction. Non conservée : les longueurs (fuyantes réduites) ou les angles. (2 pts)

4. Une ellipse. (1 pt)

Exercice 3 — Frise, pavage et cylindre (6 points)

1. Sur un ruban, un motif se répète par un glissement horizontal de \(3\ \text{cm}\).

a) Nommer la transformation et donner son paramètre. (1,5 pt)
b) Combien de motifs sur une bordure de \(90\ \text{cm}\) ? (1 pt)

2. Un vase est un cylindre de révolution de rayon \(R=5\ \text{cm}\) et de hauteur \(h=12\ \text{cm}\).

a) Calculer son volume (valeur arrondie au \(\text{cm}^3\)). (2 pts)
b) On le coupe par un plan oblique : nature de la section ? Que vaut son petit axe ? (1,5 pt)

1. a) Une translation de période \(3\ \text{cm}\). (1,5 pt)

b) \(90\div3=30\) motifs. (1 pt)

2. a) \(V=\pi R^2 h=\pi\times25\times12=300\pi\approx 942\ \text{cm}^3\). (2 pts)

b) Une ellipse ; son petit axe vaut le diamètre \(2R=10\ \text{cm}\). (1,5 pt)