Devoir Surveillé – Chapitre 6

Variables aléatoires et loi de Bernoulli | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : loi de probabilité (\(\sum p_i=1\)) ; espérance \(E(X)=\sum x_i p_i\), jeu équitable si \(E(G)=0\) ; loi de Bernoulli\((p)\) : \(P(X=1)=p\), \(P(X=0)=1-p\), \(E(X)=p\) ; arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins ; « au moins un succès » \(=1-P(\text{aucun})\).

Exercice 1 — Loi de probabilité et espérance (7 points)

Une roue de loterie donne un gain \(X\) (en €) selon la loi suivante :

\(x_i\)	\(0\)	\(2\)	\(5\)	\(10\)
\(P(X=x_i)\)	\(0{,}5\)	\(0{,}3\)	\(?\)	\(0{,}05\)

1. Déterminer \(P(X=5)\). (2 pts)

2. Calculer \(P(X\leqslant 2)\). (2 pts)

3. Calculer l'espérance \(E(X)\). (2 pts)

4. Jouer coûte \(2\) €. Le jeu est-il favorable au joueur ? (1 pt)

1. \(P(X=5)=1-(0{,}5+0{,}3+0{,}05)=1-0{,}85=0{,}15\).

2. \(P(X\leqslant 2)=0{,}5+0{,}3=0{,}8\).

3. \(E(X)=0\times 0{,}5+2\times 0{,}3+5\times 0{,}15+10\times 0{,}05=0+0{,}6+0{,}75+0{,}5=1{,}85\) €.

4. Le gain moyen \(1{,}85\) € est inférieur à la mise \(2\) € : le jeu est défavorable au joueur (il perd en moyenne \(0{,}15\) € par partie).

Exercice 2 — Loi de Bernoulli (6 points)

Un standard téléphonique reçoit des appels : \(30\,\%\) concernent une réclamation. On prélève un appel au hasard et on pose \(X=1\) si c'est une réclamation, \(X=0\) sinon.

1. Justifier que \(X\) suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre \(p\). (2 pts)

2. Donner la loi de \(X\) sous forme de tableau. (2 pts)

\(x_i\)	\(0\)	\(1\)
\(P(X=x_i)\)

3. Calculer \(E(X)\) et l'interpréter. (2 pts)

1. Deux issues seulement (réclamation / autre) : \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}3\).

2. \(P(X=1)=0{,}3\) et \(P(X=0)=0{,}7\).

3. \(E(X)=p=0{,}3\) : sur un grand nombre d'appels, \(30\,\%\) en moyenne sont des réclamations.

Exercice 3 — Arbre de Bernoulli (7 points)

Un archer atteint la cible (succès) avec probabilité \(p=0{,}8\). Il tire \(3\) flèches de façon indépendante.

1. Représenter la situation par un arbre à trois niveaux (branches \(S\) et \(E\) avec leurs probabilités). (2 pts)

2. Calculer la probabilité que les \(3\) flèches atteignent la cible. (1,5 pt)

3. Calculer la probabilité qu'aucune flèche n'atteigne la cible, puis celle d'au moins une réussite. (2 pts)

4. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(2\) réussites. (1,5 pt)

1. Arbre à trois niveaux ; à chaque nœud, branche \(S\) (\(0{,}8\)) et branche \(E\) (\(0{,}2\)).

2. Un seul chemin \((S,S,S)\) : \(P=0{,}8^3=0{,}512\).

3. \(P(\text{aucune})=0{,}2^3=0{,}008\), donc \(P(\text{au moins une})=1-0{,}008=0{,}992\).

4. \(3\) chemins (\(SSE\), \(SES\), \(ESS\)), chacun \(0{,}8^2\times 0{,}2=0{,}128\) : \(P(\text{exactement 2})=3\times 0{,}128=0{,}384\).