Probabilités conditionnelles et indépendance | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Dans une entreprise de \(400\) salariés, on étudie la pratique du télétravail (\(T\)) selon le statut cadre (\(C\)) ou non-cadre (\(\bar C\)). On dispose du tableau croisé :
| Télétravail (\(T\)) | Pas de télétravail (\(\bar T\)) | Total | |
|---|---|---|---|
| Cadre (\(C\)) | 90 | 30 | 120 |
| Non-cadre (\(\bar C\)) | 70 | 210 | 280 |
| Total | 160 | 240 | 400 |
On choisit un salarié au hasard.
1. Calculer \(P(C)\) et \(P(T)\). (2 pts)
2. Calculer \(P_C(T)\), probabilité de télétravailler sachant qu'on est cadre. (2 pts)
3. Calculer \(P(C\cap T)\). (1,5 pt)
4. Les évènements \(C\) et \(T\) sont-ils indépendants ? Justifier. (1,5 pt)
1. \(P(C)=\dfrac{120}{400}=0{,}30\) ; \(P(T)=\dfrac{160}{400}=0{,}40\).
2. \(P_C(T)=\dfrac{90}{120}=0{,}75\) (ligne des cadres).
3. \(P(C\cap T)=\dfrac{90}{400}=0{,}225\).
4. \(P(C)\times P(T)=0{,}30\times 0{,}40=0{,}12\neq 0{,}225=P(C\cap T)\) : les évènements ne sont pas indépendants. (On voit aussi que \(P_C(T)=0{,}75\neq 0{,}40=P(T)\).)
Un atelier fabrique des pièces avec deux machines. La machine \(A\) produit \(65\,\%\) des pièces, la machine \(B\) les \(35\,\%\) restants. Parmi les pièces de \(A\), \(4\,\%\) sont défectueuses (\(D\)) ; parmi celles de \(B\), \(6\,\%\) sont défectueuses. On tire une pièce au hasard.
1. Construire un arbre pondéré représentant la situation. (2 pts)
2. Calculer \(P(A\cap D)\) et \(P(B\cap D)\). (2 pts)
3. En déduire \(P(D)\) par la formule des probabilités totales. (2 pts)
4. La pièce tirée est défectueuse. Calculer \(P_D(A)\), probabilité qu'elle vienne de la machine \(A\) (arrondir au centième). (2 pts)
1. 1ᵉ niveau : \(P(A)=0{,}65\), \(P(B)=0{,}35\). 2ᵉ niveau : \(P_A(D)=0{,}04\), \(P_A(\bar D)=0{,}96\), \(P_B(D)=0{,}06\), \(P_B(\bar D)=0{,}94\).
2. \(P(A\cap D)=0{,}65\times 0{,}04=0{,}026\) ; \(P(B\cap D)=0{,}35\times 0{,}06=0{,}021\).
3. \(P(D)=0{,}026+0{,}021=0{,}047\), soit \(4{,}7\,\%\) de pièces défectueuses.
4. \(P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}026}{0{,}047}\approx 0{,}55\).
1. On lance un dé équilibré à six faces. Soit \(A\) : « le résultat est pair » et \(B\) : « le résultat est un multiple de 3 ».
a) Donner \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A\cap B)\). (2 pts)
b) Les évènements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? (1,5 pt)
2. Deux évènements \(E\) et \(F\) vérifient \(P(E)=0{,}5\), \(P(F)=0{,}2\) et sont indépendants. Calculer \(P(E\cap F)\). (1,5 pt)
1. a) Pairs : \(2,4,6\) donc \(P(A)=\dfrac36=\dfrac12\). Multiples de 3 : \(3,6\) donc \(P(B)=\dfrac26=\dfrac13\). \(A\cap B\) : le \(6\), donc \(P(A\cap B)=\dfrac16\).
b) \(P(A)\times P(B)=\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16=P(A\cap B)\) : les évènements sont indépendants.
2. \(E\) et \(F\) indépendants ⇒ \(P(E\cap F)=P(E)\times P(F)=0{,}5\times 0{,}2=0{,}10\).