Dérivation | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^2-6x+5\).
1. Calculer \(f'(x)\). (1,5 pt)
2. Calculer \(f(4)\) et \(f'(4)\). (2 pts)
3. En déduire l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(4\). (2 pts)
4. Résoudre \(f'(x)=0\) et interpréter le résultat sur la courbe. (1,5 pt)
1. \(f'(x)=2x-6\).
2. \(f(4)=16-24+5=-3\) ; \(f'(4)=8-6=2\).
3. \(y=f'(4)(x-4)+f(4)=2(x-4)+(-3)=2x-11\).
4. \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 2x-6=0 \Leftrightarrow x=3\) : en \(x=3\) la tangente est horizontale (la parabole y présente son sommet).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x^2\).
1. Calculer \(f'(x)\) et le factoriser. (2 pts)
2. Déterminer les racines de \(f'(x)\). (1,5 pt)
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (2 pts)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | ||||
| Variations de \(f\) |
4. Donner les extrémums locaux de \(f\) (abscisses et valeurs). (1,5 pt)
1. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\).
2. \(f'(x)=0\) pour \(x=0\) et \(x=2\).
3. Coefficient \(3\gt 0\) : \(f'\gt 0\) sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]2\,;+\infty[\) (\(f\) croissante), \(f'\lt 0\) sur \(]0\,;2[\) (\(f\) décroissante).
4. En \(x=0\), \(f\) passe de croissante à décroissante : maximum local \(f(0)=0\). En \(x=2\), de décroissante à croissante : minimum local \(f(2)=8-12=-4\).
On fabrique une boîte sans couvercle à partir d'une plaque carrée de côté \(10\) cm : on découpe un carré de côté \(x\) (en cm) à chaque coin, puis on relève les bords. Le volume obtenu est \(V(x)=x(10-2x)^2\) pour \(x\in\;]0\,;5[\).
1. Vérifier qu'après développement, \(V(x)=4x^3-40x^2+100x\). (1,5 pt)
2. Calculer \(V'(x)\). (1,5 pt)
3. On admet que \(V'(x)=12\left(x-\tfrac{5}{3}\right)(x-5)\). Étudier le signe de \(V'(x)\) sur \(]0\,;5[\). (1,5 pt)
4. En déduire la valeur de \(x\) qui rend le volume maximal. (1,5 pt)
1. \((10-2x)^2=100-40x+4x^2\), donc \(V(x)=x(100-40x+4x^2)=100x-40x^2+4x^3=4x^3-40x^2+100x\).
2. \(V'(x)=12x^2-80x+100\).
3. Racines \(\tfrac{5}{3}\approx 1{,}67\) et \(5\). Coefficient \(12\gt 0\) : sur \(]0\,;5[\), \(V'(x)\gt 0\) pour \(x\lt \tfrac{5}{3}\), \(V'(x)\lt 0\) pour \(x\gt \tfrac{5}{3}\).
4. \(V\) croît puis décroît : le volume est maximal pour \(x=\dfrac{5}{3}\) cm (soit environ \(1{,}67\) cm).