Devoir Surveillé – Chapitre 2

Fonctions du second degré | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : parabole \(x\mapsto ax^2+bx+c\) tournée vers le haut si \(a\gt 0\) ; axe de symétrie obtenu en résolvant \(f(x)=c\) ; forme factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\) : racines \(x_1\), \(x_2\) ; trinôme du signe de \(a\) sauf entre les racines. Le discriminant \(\Delta\) n'est pas au programme.

Exercice 1 — Étude d'une parabole (8 points)

Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^2-6x+8\).

1. Préciser l'ouverture de la parabole (haut/bas) et justifier. (1,5 pt)

2. Déterminer l'axe de symétrie en résolvant \(f(x)=8\). (2 pts)

3. Donner les coordonnées du sommet \(S\) et préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. (2,5 pts)

4. Dresser le tableau de variation de \(f\). (2 pts)

\(x\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\)
Variations de \(f\)

1. \(a=1\gt 0\) : la parabole est tournée vers le haut.

2. \(f(x)=8 \iff x^2-6x=0 \iff x(x-6)=0 \iff x=0\) ou \(x=6\). Axe : \(x=\dfrac{0+6}{2}=3\).

3. \(f(3)=9-18+8=-1\), donc \(S(3\,;-1)\). Comme \(a\gt 0\), c'est un minimum.

4. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\), minimum \(-1\) en \(x=3\).

Exercice 2 — Racines, factorisation et signe (7 points)

Soit la fonction \(g\) définie par \(g(x)=x^2-7x+10\).

1. Vérifier que \(2\) est une racine de \(g\). (1,5 pt)

2. En déduire la factorisation de \(g\) et l'autre racine. (2,5 pts)

3. Dresser le tableau de signes de \(g(x)\). (2 pts)

\(x\)	\(-\infty\)			\(+\infty\)
\(g(x)\)

4. Résoudre l'inéquation \(g(x)\lt 0\). (1 pt)

1. \(g(2)=4-14+10=0\) ✓ : \(2\) est bien une racine.

2. \(g(x)=(x-2)(x-x_2)\) ; par identification \(2x_2=10\) donc \(x_2=5\) : \(g(x)=(x-2)(x-5)\).

3. \(a=1\gt 0\) : \(g(x)\gt 0\) sur \(]-\infty\,;2[\cup]5\,;+\infty[\), \(g(x)=0\) en \(2\) et \(5\), \(g(x)\lt 0\) sur \(]2\,;5[\).

4. \(g(x)\lt 0\) sur \(]2\,;5[\).

Exercice 3 — Problème d'optimisation (5 points)

Un maraîcher clôture un potager rectangulaire de périmètre \(80\) m. On note \(x\) la largeur (en m).

1. Exprimer la longueur en fonction de \(x\), puis l'aire \(A(x)\). (2 pts)

2. Justifier que l'aire admet un maximum. (1 pt)

3. Déterminer les dimensions donnant l'aire maximale et calculer cette aire. (2 pts)

1. Le demi-périmètre vaut \(40\) m : longueur \(=40-x\). Aire : \(A(x)=x(40-x)=-x^2+40x\).

2. \(a=-1\lt 0\) : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum.

3. \(A(x)=0 \iff x=0\) ou \(x=40\) ; axe \(x=\dfrac{0+40}{2}=20\). \(A(20)=20\times20=400\) m². Un carré de côté \(20\) m, aire maximale \(400\) m².