Devoir Surveillé – Chapitre 1

Suites numériques | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : arithmétique \(u(n)=u(0)+n\,r\) (croissante si \(r\gt 0\)) ; géométrique \(u(n)=u(0)\times q^{\,n}\) (croissante si \(q\gt 1\), termes \(\gt 0\)) ; augmentation de \(t\,\%\) : \(q=1+\frac{t}{100}\) ; diminution : \(q=1-\frac{t}{100}\).

Exercice 1 — Suite arithmétique (7 points)

Soit la suite \(u\) définie par \(u(n)=12+4n\).

1. Calculer \(u(0)\), \(u(1)\) et \(u(5)\). (2 pts)

2. Montrer que \(u\) est arithmétique et donner sa raison. (2 pts)

3. En déduire son sens de variation. (1,5 pt)

4. Que peut-on dire du nuage de points de cette suite ? (1,5 pt)

1. \(u(0)=12\) ; \(u(1)=16\) ; \(u(5)=12+20=32\).

2. \(u(n+1)-u(n)=\big(12+4(n+1)\big)-\big(12+4n\big)=4\), constante : \(u\) est arithmétique de raison \(r=4\).

3. \(r=4\gt 0\) ⇒ suite croissante.

4. Les points \((n\,;\,u(n))\) sont alignés (sur une droite de coefficient directeur \(4\)).

Exercice 2 — Suite géométrique et pourcentage (7 points)

Le nombre d'abonnés d'une chaîne vidéo est de \(500\) au départ et augmente de \(20\,\%\) chaque mois. On note \(u(n)\) le nombre d'abonnés au bout de \(n\) mois.

1. Justifier que \(u\) est géométrique et donner \(u(0)\) et la raison \(q\). (2 pts)

2. Écrire la relation de récurrence, puis l'expression explicite de \(u(n)\). (2 pts)

3. Calculer le nombre d'abonnés au bout de \(3\) mois (arrondir à l'unité). (2 pts)

4. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier. (1 pt)

1. On multiplie chaque mois par \(q=1+0{,}20=1{,}2\) : suite géométrique, \(u(0)=500\).

2. \(u(n+1)=1{,}2\times u(n)\) et \(u(n)=500\times 1{,}2^{\,n}\).

3. \(u(3)=500\times 1{,}2^{3}=500\times 1{,}728=864\) abonnés.

4. \(q=1{,}2\gt 1\) et les termes sont positifs ⇒ suite croissante.

Exercice 3 — Reconnaître et comparer (6 points)

1. On donne \(u(0)=1\), \(u(1)=4\), \(u(2)=9\), \(u(3)=16\). En étudiant les différences puis les quotients, dire si cette suite est arithmétique, géométrique, ou aucune des deux. (3 pts)

2. Un capital de \(2000\) € est placé à intérêts et vaut \(v(n)=2000\times 1{,}03^{\,n}\) au bout de \(n\) années.

a) Quelle est la nature de \(v\) ? À quel taux d'intérêt annuel cela correspond-il ? (1,5 pt)
b) Calculer la valeur du capital au bout de \(5\) ans (arrondir à l'euro). (1,5 pt)

1. Différences : \(3,\,5,\,7\) → non constantes ⇒ pas arithmétique. Quotients : \(4\) puis \(2{,}25\) → non constants ⇒ pas géométrique. La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

2. a) \(v\) est géométrique de raison \(q=1{,}03\), ce qui correspond à un taux d'intérêt annuel de \(3\,\%\).

b) \(v(5)=2000\times 1{,}03^{5}\approx 2318\) €.