Variables aléatoires réelles | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Une variable aléatoire \(X\) a pour loi de probabilité :
| \(x_i\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}3\) | \(a\) | \(0{,}1\) |
1. Déterminer la valeur de \(a\). (1,5 pt)
2. Calculer \(P(X \le 2)\). (1 pt)
3. Calculer l'espérance \(E(X)\). (2 pts)
4. Calculer \(E(X^2)\), puis la variance \(V(X)\) et l'écart type \(\sigma(X)\) (arrondi au centième). (3,5 pts)
1. \(0{,}2 + 0{,}3 + a + 0{,}1 = 1\), donc \(a = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\).
2. \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=2) = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\).
3. \(E(X) = 0\times 0{,}2 + 2\times 0{,}3 + 4\times 0{,}4 + 6\times 0{,}1 = 0 + 0{,}6 + 1{,}6 + 0{,}6 = 2{,}8\).
4. \(E(X^2) = 0 + 4\times 0{,}3 + 16\times 0{,}4 + 36\times 0{,}1 = 1{,}2 + 6{,}4 + 3{,}6 = 11{,}2\). \(V(X) = 11{,}2 - 2{,}8^2 = 11{,}2 - 7{,}84 = 3{,}36\). \(\sigma(X) = \sqrt{3{,}36} \approx 1{,}83\).
On reprend la variable \(X\) de l'exercice 1, pour laquelle \(E(X) = 2{,}8\) et \(V(X) = 3{,}36\). On pose \(Y = 5X - 3\).
1. Calculer \(E(Y)\). (1,5 pt)
2. Calculer \(V(Y)\). (1,5 pt)
3. En déduire \(\sigma(Y)\) (arrondi au centième). (1 pt)
4. Justifier pourquoi \(V(Y) \ne 5\,V(X)\). (1 pt)
1. \(E(Y) = 5\,E(X) - 3 = 5\times 2{,}8 - 3 = 14 - 3 = 11\).
2. \(V(Y) = 5^2 \times V(X) = 25 \times 3{,}36 = 84\).
3. \(\sigma(Y) = |5|\times\sigma(X) = 5\times\sqrt{3{,}36} \approx 5\times 1{,}83 \approx 9{,}17\) (ou \(\sqrt{84} \approx 9{,}17\)).
4. Dans \(V(aX+b) = a^2 V(X)\), le coefficient \(a=5\) intervient au carré : c'est \(a^2 = 25\), et non \(a = 5\), qui multiplie la variance. Le décalage \(-3\) ne change rien à la dispersion.
À une fête, un stand propose le jeu suivant. On lance un dé équilibré à \(6\) faces. Si le dé affiche \(6\), le joueur gagne \(8\) € ; s'il affiche \(4\) ou \(5\), il gagne \(2\) € ; sinon il ne gagne rien. Pour jouer, le joueur paie une mise de \(2{,}50\) €. On note \(G\) le gain net du joueur.
1. Déterminer les valeurs prises par \(G\) et leurs probabilités (loi de \(G\)). (3 pts)
2. Calculer \(E(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ? (2 pts)
3. Quelle mise devrait fixer l'organisateur pour que le jeu soit équitable ? (2 pts)
1. Le gain affiché vaut \(8\) € si le dé fait \(6\) (proba \(\tfrac16\)), \(2\) € si le dé fait \(4\) ou \(5\) (proba \(\tfrac26\)), \(0\) € sinon (\(1,2,3\), proba \(\tfrac36\)). Avec une mise de \(2{,}50\) €, le gain net \(G\) vaut \(8-2{,}5=5{,}5\) €, \(2-2{,}5=-0{,}5\) € ou \(0-2{,}5=-2{,}5\) € :
| \(g_i\) | \(5{,}5\) | \(-0{,}5\) | \(-2{,}5\) |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | \(\tfrac16\) | \(\tfrac26\) | \(\tfrac36\) |
2. \(E(G) = 5{,}5\cdot\tfrac16 - 0{,}5\cdot\tfrac26 - 2{,}5\cdot\tfrac36 = \dfrac{5{,}5 - 1 - 7{,}5}{6} = \dfrac{-3}{6} = -0{,}5\) €. \(E(G) \lt 0\) : le jeu est défavorable au joueur (il perd \(0{,}50\) € en moyenne par partie).
3. L'espérance du gain affiché est \(E(\text{gain}) = 8\cdot\tfrac16 + 2\cdot\tfrac26 + 0\cdot\tfrac36 = \dfrac{8 + 4}{6} = 2\) €. Comme \(E(G) = E(\text{gain}) - m = 2 - m\), le jeu est équitable pour \(m = 2\) €.