Devoir Surveillé – Chapitre 10

Probabilités conditionnelles et indépendance | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) ; \(P(A\cap B)=P(A)P_A(B)\) ; indépendance : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) ; probabilités totales : \(P(B)=\sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)\). Sur un arbre, chemin = produit des branches, événement = somme des chemins.

Exercice 1 — Tableau croisé et conditionnelles (7 points)

Une enquête est menée auprès de \(400\) lycéens. \(240\) possèdent un vélo (\(V\)). Parmi ceux qui ont un vélo, \(180\) viennent au lycée à vélo (\(C\)). Au total, \(180\) lycéens viennent à vélo.

1. Reproduire et compléter le tableau croisé des effectifs (\(V/\overline{V}\) et \(C/\overline{C}\)). (2,5 pts)

	\(C\)	\(\overline{C}\)	Total
\(V\)
\(\overline{V}\)
Total

2. On choisit un lycéen au hasard. Calculer \(P(V)\), \(P(C)\) et \(P(V\cap C)\). (1,5 pt)

3. Calculer \(P_V(C)\) et interpréter le résultat par une phrase. (1,5 pt)

4. Les événements \(V\) et \(C\) sont-ils indépendants ? Justifier. (1,5 pt)

1. \(\overline{V}=400-240=160\). Vélo et vient à vélo : \(180\). Vient à vélo sans posséder de vélo : \(180-180=0\). Possède un vélo mais ne l'utilise pas : \(240-180=60\). Ne possède pas de vélo et ne vient pas à vélo : \(160\). (Ligne \(V\) : \(180\) et \(60\) ; ligne \(\overline{V}\) : \(0\) et \(160\).)

2. \(P(V)=\tfrac{240}{400}=0{,}6\) ; \(P(C)=\tfrac{180}{400}=0{,}45\) ; \(P(V\cap C)=\tfrac{180}{400}=0{,}45\).

3. \(P_V(C)=\dfrac{0{,}45}{0{,}6}=0{,}75\) : parmi les lycéens qui possèdent un vélo, \(75\%\) viennent au lycée à vélo.

4. \(P(V)\times P(C)=0{,}6\times0{,}45=0{,}27 \ne 0{,}45=P(V\cap C)\) : les événements ne sont pas indépendants.

Exercice 2 — Arbre pondéré et probabilités totales (7 points)

Un site internet est visité depuis un ordinateur dans \(60\%\) des cas, sinon depuis un téléphone. Un achat est réalisé dans \(8\%\) des visites depuis un ordinateur et dans \(3\%\) des visites depuis un téléphone. On note \(O\) « visite depuis un ordinateur », \(T\) « visite depuis un téléphone » et \(A\) « un achat est réalisé ».

1. Construire l'arbre pondéré de la situation. (2 pts)

À compléter : nommer les événements sur les branches et y porter les probabilités.

2. Calculer \(P(O\cap A)\) et \(P(T\cap A)\). (2 pts)

3. En déduire \(P(A)\). (1,5 pt)

4. Un achat a été réalisé. Quelle est la probabilité que la visite ait été faite depuis un ordinateur ? (1,5 pt)

1. Niveau 1 : \(O\) (0,6) et \(T\) (0,4). Niveau 2 : sous \(O\), \(A\) (0,08) et \(\overline{A}\) (0,92) ; sous \(T\), \(A\) (0,03) et \(\overline{A}\) (0,97).

2. \(P(O\cap A)=0{,}6\times0{,}08=0{,}048\) ; \(P(T\cap A)=0{,}4\times0{,}03=0{,}012\).

3. \(P(A)=0{,}048+0{,}012=0{,}060\), soit \(6\%\).

4. \(P_A(O)=\dfrac{P(O\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0{,}048}{0{,}060}=0{,}8\), soit \(80\%\).

Exercice 3 — Épreuves de Bernoulli (6 points)

Un composant électronique fonctionne correctement avec probabilité \(0{,}9\). On teste \(3\) composants, de façon indépendante. On appelle « succès » le fait qu'un composant fonctionne.

1. Représenter la répétition par un arbre à \(3\) niveaux (succès \(S\) / échec \(\overline{S}\)). (2 pts)

2. Calculer la probabilité que les trois composants fonctionnent. (1,5 pt)

3. Calculer la probabilité qu'exactement un composant soit défaillant. (2,5 pts)

1. Arbre à \(3\) niveaux, chaque nœud a une branche \(S\) (0,9) et une branche \(\overline{S}\) (0,1) ; \(2^3=8\) chemins.

2. \(P(SSS)=0{,}9^3=0{,}729\).

3. « Exactement un défaillant » = exactement deux succès. Chemins \(SS\overline{S}\), \(S\overline{S}S\), \(\overline{S}SS\), chacun \(0{,}9\times0{,}9\times0{,}1=0{,}081\). Total : \(3\times0{,}081=0{,}243\).