Devoir Surveillé – Chapitre 9

Géométrie repérée | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : le plan est rapporté à un repère orthonormé. \(\vec n(a\,;b)\) est normal à \(ax+by+c=0\) ; droite par \(A\) normale à \(\vec n\) : \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\) ; cercle de centre \(\Omega(x_0\,;y_0)\), rayon \(r\) : \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\).

Exercice 1 — Droites et vecteurs normaux (7 points)

On considère la droite \(d : 3x - 4y + 6 = 0\) et le point \(A(2\,;3)\).

1. Donner un vecteur normal \(\vec n\) et un vecteur directeur \(\vec u\) de \(d\). (1,5 pt)

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite \(\Delta\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec m(1\,;2)\). (2 pts)

3. Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d'\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \(d\). (2 pts)

4. Le point \(B(-2\,;0)\) appartient-il à \(d\) ? Justifier. (1,5 pt)

1. Vecteur normal \(\vec n(3\,;-4)\) ; vecteur directeur \(\vec u(4\,;3)\).

2. \(1(x - 2) + 2(y - 3) = 0 \Rightarrow x + 2y - 8 = 0\).

3. \(d' \perp d\) : la direction de \(d\), soit \(\vec u(4\,;3)\), devient un vecteur normal de \(d'\). Équation : \(4(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \Rightarrow 4x + 3y - 17 = 0\).

4. \(3\times(-2) - 4\times 0 + 6 = -6 + 6 = 0\). L'égalité est vérifiée : \(B\) appartient à \(d\).

Exercice 2 — Projeté orthogonal et distance (6 points)

On donne le point \(M(6\,;1)\) et la droite \(d : x + 2y - 4 = 0\).

1. Donner un vecteur normal de \(d\). (1 pt)

2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(d\). (3 pts)

3. En déduire la distance de \(M\) à \(d\). (2 pts)

1. \(\vec n(1\,;2)\).

2. \(H(6 + t\,;1 + 2t)\). \(H \in d\) : \((6 + t) + 2(1 + 2t) - 4 = 0 \Rightarrow 6 + t + 2 + 4t - 4 = 0 \Rightarrow 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = -\tfrac45\). Donc \(H\left(6 - \tfrac45\,;1 - \tfrac85\right) = \left(\tfrac{26}{5}\,;-\tfrac35\right)\).

3. \(MH = |t|\times\|\vec n\| = \tfrac45\times\sqrt{1^2 + 2^2} = \tfrac45\sqrt5 = \tfrac{4\sqrt5}{5}\). (Ou directement \(MH = \sqrt{\left(6 - \tfrac{26}{5}\right)^2 + \left(1 + \tfrac35\right)^2} = \sqrt{\tfrac{16}{25} + \tfrac{64}{25}} = \sqrt{\tfrac{80}{25}} = \tfrac{4\sqrt5}{5}\).)

Exercice 3 — Cercle et tangente (7 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère le cercle \(\mathscr{C}\) d'équation \(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0\).

1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\) de \(\mathscr{C}\). (2,5 pts)

2. Vérifier que le point \(A(7\,;-4)\) appartient à \(\mathscr{C}\). (1,5 pt)

3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente \(T\) à \(\mathscr{C}\) au point \(A\). (2 pts)

4. Écrire l'équation du cercle de diamètre \([\Omega A]\). (1 pt)

1. \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\) ; \(y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1\). D'où \((x-3)^2 + (y+1)^2 = 9 + 1 + 15 = 25\). Centre \(\Omega(3\,;-1)\), rayon \(r = 5\).

2. \(\Omega A^2 = (7-3)^2 + (-4+1)^2 = 16 + 9 = 25 = r^2\). Donc \(A(7\,;-4) \in \mathscr{C}\).

3. Vecteur normal de \(T\) : \(\overrightarrow{\Omega A}(4\,;-3)\). Tangente : \(4(x - 7) - 3(y + 4) = 0 \Rightarrow 4x - 3y - 40 = 0\).

4. Centre = milieu de \([\Omega A]\) : \(\left(\tfrac{3+7}{2}\,;\tfrac{-1-4}{2}\right) = \left(5\,;-\tfrac52\right)\). \(\Omega A = 5\) donc \(r' = \tfrac52\), \(r'^2 = \tfrac{25}{4}\). Équation : \((x - 5)^2 + \left(y + \tfrac52\right)^2 = \tfrac{25}{4}\).