Devoir Surveillé – Chapitre 8

Calcul vectoriel et produit scalaire | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta = xx' + yy'\) (base orthonormée) ; \(\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0\) ; \(\|\vec u \pm \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 \pm 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2\) ; Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\).

Exercice 1 — Calculs et orthogonalité (7 points)

Dans un repère orthonormé, on donne \(\vec u\,(5\,;-2)\) et \(\vec v\,(-3\,;4)\).

1. Calculer \(\vec u \cdot \vec v\). (1,5 pt)

2. Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\) (valeurs exactes). (2 pts)

3. En déduire \(\cos\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\), puis une valeur approchée de \(\theta\) au dixième de degré. (2 pts)

4. Déterminer le réel \(k\) pour que \(\vec w\,(k\,;6)\) soit orthogonal à \(\vec u\). (1,5 pt)

1. \(\vec u \cdot \vec v = 5\times(-3) + (-2)\times 4 = -15 - 8 = -23\).

2. \(\|\vec u\| = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\) et \(\|\vec v\| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

3. \(\cos\theta = \dfrac{-23}{5\sqrt{29}} \approx -0{,}854\), donc \(\theta \approx 148{,}6°\) (angle obtus, cohérent avec un produit scalaire négatif).

4. \(\vec u \cdot \vec w = 5k + (-2)\times 6 = 5k - 12\). Orthogonalité : \(5k - 12 = 0\), soit \(k = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\).

Exercice 2 — Al-Kashi dans un triangle (7 points)

Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB = 6\), \(AC = 8\) et l'angle \(\widehat{A} = 60°\).

1. À l'aide de la formule d'Al-Kashi, calculer \(BC^2\), puis \(BC\) (valeur exacte). (3 pts)

2. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). (2 pts)

3. Le triangle est-il rectangle en \(A\) ? Justifier. (2 pts)

1. \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\times AB\times AC \times \cos\widehat{A} = 36 + 64 - 2\times 6\times 8\times \cos 60° = 100 - 96\times\tfrac12 = 100 - 48 = 52\). Donc \(BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21\).

2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AC\times\cos\widehat{A} = 6\times 8\times\cos 60° = 48\times\tfrac12 = 24\).

3. Non : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 24 \ne 0\), donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux et le triangle n'est pas rectangle en \(A\).

Exercice 3 — Cercle et ensemble de points (6 points)

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1\,;2)\) et \(B(5\,;2)\).

1. Déterminer les coordonnées du milieu \(O\) de \([AB]\) et la longueur \(AB\). (2 pts)

2. Déterminer l'ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M\) du plan tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\), en précisant son centre et son rayon. (2,5 pts)

3. Le point \(D(2\,;5)\) appartient-il à \(\mathcal{E}\) ? Justifier. (1,5 pt)

1. \(O\Big(\dfrac{-1+5}{2}\,;\,\dfrac{2+2}{2}\Big) = O(2\,;2)\). \(AB = \sqrt{(5-(-1))^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36} = 6\).

2. \(\mathcal{E}\) est le cercle de diamètre \([AB]\) : centre \(O(2\,;2)\), rayon \(\dfrac{AB}{2} = 3\).

3. On calcule la distance \(OD = \sqrt{(2-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{9} = 3\). Comme \(OD = 3 = \) rayon, \(D \in \mathcal{E}\). (Vérification : \(\overrightarrow{DA}(-3\,;-3)\), \(\overrightarrow{DB}(3\,;-3)\), \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB} = -9 + 9 = 0\). ✓)