Trigonométrie | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Convertir \(150°\) et \(225°\) en radians. (2 pts)
2. Convertir \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\dfrac{7\pi}{6}\) en degrés. (2 pts)
3. Donner sans calculatrice \(\cos\dfrac{\pi}{6}\), \(\sin\dfrac{\pi}{3}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{2}\). (2 pts)
4. Vérifier l'identité \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) pour \(x = \dfrac{\pi}{6}\). (1 pt)
1. \(150° = \dfrac{150\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\) ; \(225° = \dfrac{225\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{4}\).
2. \(\dfrac{2\pi}{3} = 120°\) ; \(\dfrac{7\pi}{6} = 210°\).
3. \(\cos\tfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) ; \(\sin\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) ; \(\cos\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}\) ; \(\sin\tfrac{\pi}{2} = 1\).
4. \(\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac34 + \dfrac14 = 1\). ✓
1. On donne \(\cos x = \dfrac{4}{5}\) et \(x\) dans le premier quadrant. Calculer \(\sin x\). (2 pts)
2. En déduire \(\cos(-x)\), \(\sin(-x)\) et \(\cos(\pi - x)\). (3 pts)
3. Calculer sans calculatrice \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\). (2 pts)
1. \(\sin^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\), donc \(\sin x = \dfrac35\) (positif dans le premier quadrant).
2. \(\cos(-x) = \cos x = \dfrac45\) ; \(\sin(-x) = -\sin x = -\dfrac35\) ; \(\cos(\pi - x) = -\cos x = -\dfrac45\).
3. \(\cos\tfrac{5\pi}{6} = \cos\!\left(\pi - \tfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\tfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}\). \(\sin\tfrac{5\pi}{4} = \sin\!\left(\pi + \tfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\tfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Résoudre sur l'intervalle \([0\,;2\pi[\) :
1. \(\cos x = \dfrac12\). (2 pts)
2. \(\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}\). (2 pts)
3. \(\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}\). (2 pts)
1. Solution évidente \(\tfrac{\pi}{3}\) ; l'autre est \(-\tfrac{\pi}{3}\) soit \(\tfrac{5\pi}{3}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).
2. \(x_0 = \tfrac{\pi}{3}\) et \(\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}\).
3. Les images d'abscisse \(-\tfrac{\sqrt2}{2}\) sont dans les 2ᵉ et 3ᵉ quadrants : \(\pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}\) et \(\pi + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{5\pi}{4}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right\}\).